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1、一、基本概念二、基本结论三、基本算法一、基本概念一、基本概念 矩阵，可逆的矩阵，可逆的 矩阵，秩；矩阵，秩； 矩阵的初矩阵的初等变换及标准形，等变换及标准形， 矩阵的等价；行列式因子，矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形矩阵的有理标准形.二、主要结论二、主要结论 （定理定理1） 一个一个 的的矩阵矩阵 可逆可逆nn ( )A 是一个非零常数是一个非零常数.( )A 1. 矩阵可逆的等价刻画矩阵可逆的等价刻画矩阵的乘积矩阵的乘积. （定理（定理6） 可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等( )A ( )A 2.（定理定理2）
2、任意一个非零的任意一个非零的 的的 一矩阵一矩阵sn ( )A 都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵 12( )( )( )00rddd 其中其中 1,( ) (1,2, )irdir 是首项系数为是首项系数为1的的多项式多项式，且且1( )( ) (1,2,1).iiddir 称之称之为为的的标准标准形形.( )A （定理定理5） 矩阵矩阵 、 等价等价 ( )( )AB( )( )AB、 有相同的不变因子有相同的不变因子. 3. 等价矩阵的刻画等价矩阵的刻画( )( )AB、 有相同的行列因子有相同的行列因子. 存在一个存在一个 可逆矩阵可逆矩阵 与一个与一个 可逆可逆( )P s
3、s nn ( )( ) ( ) ( ).BPAQ 推论推论：两个：两个 的的 矩阵矩阵 、 等价等价 sn ( )( )AB矩阵矩阵 ，使，使 ( )Q 4. 相似矩阵相似矩阵设设 ，则，则A与与B相似相似 ,n nA BP 特征矩阵特征矩阵 与与 等价等价.EA EB 定理：定理：推论推论: :设设 则则 相似相似 ,n nA BP ,A B特征矩阵特征矩阵 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB E-E-AB与与、 有相同的行列因子有相同的行列因子. 结论结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；则它们就有相同
4、的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论结论2、两个同级数字矩阵相似、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.相同的不变因子相同的不变因子.它们有相同的初等因子它们有相同的初等因子.设设 ，则，则A与与B相似相似 ,n nA BP 特征矩阵特征矩阵 与与 等价等价.EA EB 特征矩阵特征矩阵 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB E-E-AB与与、 有相同的行列因子有相同的行列因子. A与与B有相同的初等因子有相同的初等因子.A与与B有相同的不变因子有
5、相同的不变因子.A与与B相似的等价刻画相似的等价刻画: (定理定理9) 设设 将特征矩阵将特征矩阵 进行进行,n nAC EA 初等变换化成对角形初等变换化成对角形12( )( )( )( )nhhDh 然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子的全部初等因子. （定理定理10）每一个复矩阵）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵都与一个若当形矩阵相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是相似，且这个
6、若当形矩阵除去若当块的排序外是 被矩阵被矩阵A唯一决定的，它称为唯一决定的，它称为A的若当标准形的若当标准形.5 5、若当标准形存在定理、若当标准形存在定理变换，在变换，在 V中必定存在一组基，使中必定存在一组基，使 在这组基下在这组基下 的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去定理定理10换成线性变换的语言即为换成线性变换的语言即为（定理定理11）设是复数域上）设是复数域上n维线性空间维线性空间V的线性的线性 若当块的排序外是被唯一确定的若当块的排序外是被唯一确定的. 的初等因子全是一次的的初等因子全是一次的.A3.特殊情形特殊情形（定理定理12）
7、复矩阵）复矩阵 A与对角矩阵相似与对角矩阵相似的不变因子没有重根的不变因子没有重根.A（定理定理13）复矩阵）复矩阵 A与对角矩阵相似与对角矩阵相似.PAP 数数 域域上上 的的 n nn n方方 阵阵在在 数数 域域上上相相 似似 于于 唯唯 一一 的的 一一 个个 有有 理理 标标 准准 型型 ， 称称 为为定定 理理 1 14 4 有有 理理 标标 准准 型型的的.5P 设设是是数数域域 上上n n维维线线性性空空间间的的线线性性变变换换，则则在在中中存存在在一一组组基基，使使在在该该基基下下的的矩矩阵阵是是有有理理标标准准型型，并并且且这这个个有有理理标标准准型型由由唯唯一一决决定定，
8、称称定定理理1 1 有有的的理理标标准准型型为为三、基本算法三、基本算法(题目基本类型题目基本类型)2、求、求 矩阵的两种因子：行列式因子、矩阵的两种因子：行列式因子、 不变因子不变因子 1、会利用、会利用 矩阵的初等变换化矩阵的初等变换化 矩矩 阵为标准型阵为标准型 111:( )( )( ),( )( )(i=2,3, ,r)iiiDdDdD 行行列列式式因因子子与与不不变变因因子子之之间间的的关关系系3、求数字矩阵的两种因子：不变因子、求数字矩阵的两种因子：不变因子、初等因子初等因子E-A , 方方法法一一: :( (1 1) )求求出出特特征征矩矩阵阵的的全全部部不不变变因因子子( (
9、2 2) ) 对对不不变变因因子子因因式式分分解解 分分解解式式中中全全部部 一一次次因因式式方方幂幂( (相相同同的的按按出出现现的的次次 数数计计算算) )E-A , 方方法法二二: :( (1 1) )把把特特征征矩矩阵阵化化成成对对角角形形矩矩阵阵( (2 2) ) 把把对对角角线线上上的的所所有有进进行行因因式式分分解解分分解解式式中中全全部部一一次次因因式式方方幂幂( (相相同同 的的按按出出现现的的次次数数计计算算) )4、求复矩阵的若当标准型、求复矩阵的若当标准型E-A ( (1 1) )求求出出特特征征矩矩阵阵的的全全部部初初等等因因子子( (2 2) )写写出出每每个个初初等等因因子子对对应应的的若若当当块块( (3 3) )写写出出若若当当标标准准型型5、求数域、求数域P上矩阵的有理标准型上矩阵的有理标准型E-A ( (1 1) )求求出出特特征征矩矩阵阵的的全全部部初初等等因因子子( (2 2) )写写出出每每个个不不等等于于1 1的的初初等等因因子子对对应应 的的伴伴侣侣阵阵( (3 3) )写写出出有有理理标标准准型型