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1、线性空间线性空间(小结小结) 一、线性空间一、线性空间 1. 线性空间的概念线性空间的概念 2. 线性空间的性质线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是 唯一的； ) 1(0,00orkk (2)二、基、坐标与维数二、基、坐标与维数1 1基本概念：基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性表示（组合）；向量组等价； 线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵. .2 2基本结论基本结论(1) 线性相关性的有关结论线性相关性的有关结论. . 2nVnm mn). 在在 维维线线性性空空间间中中，任任意意 个个线线性性无无关关 的的向向
2、量量都都做做成成V V的的一一个个基基；任任意意 （个个 线线性性无无关关的的向向量量都都可可扩扩充充为为V V的的一一个个基基； 任任意意个个向向量量都都是是线线性性相相关关的的312n12nn,Vn, （ ）若若在在线线性性空空间间V V中中有有 个个线线性性无无关关的的向向量量 且且中中任任意意向向量量都都可可由由它它线线 性性表表示示，则则V V是是 维维的的，就就是是 V V的的一一组组基基. .1212121212121122nnnnnnnn(4) ,V,x ,x ,xy , y , yxyxyAxy 设设 和和 是是线线性性空空间间 的的两两组组基基，A A是是 到到 的的过过渡
3、渡矩矩阵阵，（）和和（） 分分别别是是向向量量在在这这两两组组基基下下的的坐坐标标，则则A A是是可可逆逆 的的，且且三、线性子空间及其形成三、线性子空间及其形成1基本概念：基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2基本结论基本结论：1（ ） 线线 性性 空空 间间 V V的的 非非 空空 子子 集集 W W做做 成成 V V的的 子子 空空 间间 的的 充充 分分 必必 要要 条条 件件 为为 W W对对 V V的的 两两 种种 运运 算算 封封 闭闭 . .2VV（ ）线线性性空空间间的的两两个个子子空空间间的的交交( (和和) )仍仍为为的的子
4、子空空间间121212123VVVdim(V )dim(V )dim(VV )dim(VV ) （ ）（维维数数公公式式）若若，是是线线性性空空间间的的两两个个子子空空间间， 则则1212121212124nnmnmndimL(,)rank(,)L(,)L(,), （ ） ， 向向量量组组 与与 等等价价5UVWV=UW,WU （ ）设设是是线线性性空空间间的的一一个个子子空空间间，则则存存在在一一个个子子空空间间使使得得此此时时称称为为的的余余子子空空间间. . 12601 2siijj iiV ,V ,VVaWVbcVV,(i, ,t )d dimWdimV（ ）设设是是线线性性空空间间
5、的的子子空空间间， 则则下下列列条条件件等等价价： ( ( ) ) 是是直直和和； （ ）零零向向量量的的表表示示法法唯唯一一； （ ）； （ ）四、线性空间的同构四、线性空间的同构 1. 同构的定义同构的定义2. 同构映射的基本性质：同构映射的基本性质： (1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性线性空间的同构映射保持零元，负元，线性 组合，线性相关性；组合，线性相关性； (2) 同构映射把子空间映成子空间；同构映射把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和线性空间的同构关系具有反身性，对称性和 传递性；传递性；(4) 数域数域P上两个有限维线性空间同构当且仅当
6、它们上两个有限维线性空间同构当且仅当它们 有相同的维数，因而，每一个数域有相同的维数，因而，每一个数域P上的上的n维线维线 性空间都与线性空间性空间都与线性空间 同构同构. nP本章的本章的重点重点是线性空间的概念，子空间的和，是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；基与维数；难点难点是线性空间定义的抽象性，是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和线性相关和子空间的直和.本章的本章的基本题型基本题型主要有：线性空间，子空间主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：可用下图来说明： 线线 性性 空空 间间 线性相关性线性相关性子空间子空间 极大无关组极大无关组子空间的交与和子空间的交与和 基、维数和坐标基、维数和坐标 子空间的直和子空间的直和同构同构 余子空间余子空间