初等数学研究第二章课件.ppt

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1、 第第2章章 式与不等式式与不等式讲授内容：讲授内容：1.解析式的基本概念；解析式的基本概念；2.不等式的有关概念和性质；不等式的有关概念和性质；3.不等式（组）的解法；不等式（组）的解法；4.不等式的证明；不等式的证明；5.几个著名的不等式；几个著名的不等式；(均值、柯西、排序、均值、柯西、排序、Jensen)6.不等式的应用不等式的应用.解析式解析式1.字母代表数字母代表数;2.式本身是代表数的符号，也表明对于式本身是代表数的符号，也表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号的符号.运算不同对解析式进行分类运算不同对解析式进行分类 第一第一 节节 基基

2、本本 概概 念念 第一第一 节节 基基 本本 概概 念念运算运算1.代数运算代数运算（开方）运算、指数为有理数的乘方、2.超越运算超越运算指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算代数式代数式超越式超越式恒等式恒等式 两个解析式两个解析式 f 和和 g 对于它们对于它们公共定义公共定义域的某个子集域的某个子集内的一切值都有相同的内的一切值都有相同的取值，记作取值，记作 f g，通常在不引起混，通常在不引起混淆的情况下也记作淆的情况下也记作f = g . 第一第一 节节 基基 本本 概概 念念恒等变换n 一个解析式转换成另一个与它恒等一个解析式转换成另一

3、个与它恒等的解析式的解析式，这种变换称为恒等变换.2131xxx 22()()ab abab 第一第一 节节 基基 本本 概概 念念恒等变换是代数式运算的重要依据恒等变换是代数式运算的重要依据 第第 五五 节节 不不 等等 式式1、不等式及其基本概念、不等式及其基本概念定义定义1 1用用不等号不等号联结两个解析式所成的式子，联结两个解析式所成的式子，称为不等式。称为不等式。 按不等号分类按不等号分类非严不等式非严不等式 、 、严不等式严不等式按解析式分类按解析式分类代数不等式代数不等式超越不等式超越不等式 第第 五五 节节 不不 等等 式式定义定义2 用不等号联结的两个解析式定义域的用不等号联

4、结的两个解析式定义域的交集交集，称为不等式的定义域。称为不等式的定义域。 按不等式解集与其定义域的关系分类按不等式解集与其定义域的关系分类绝对不等式绝对不等式定义域定义域 真子集真子集条件不等式条件不等式矛盾不等式矛盾不等式空集空集 第第 五五 节节 不不 等等 式式二、不等式基本性质二、不等式基本性质;)1 (abba对称性：;,)2(cacbba传递性：;) 3(cbcaba加法单调性：.0,;0,)4(bcaccbabcaccba乘法单调性： 第第 五五 节节 不不 等等 式式由基本性质得到的推论：由基本性质得到的推论：; 00, 0bdacdcba推论推论1;0, 0cbdadcba推

5、论推论2);(0Nnbabann推论推论3).(0Nnbabann推论推论4 第第 五五 节节 不不 等等 式式同解变形同解变形( 分式不等式分式不等式 ) 0)()(xgxf0)()(xgxf 0)()(xgxf.0)(0)()(xgxgxf且 第第 五五 节节 不不 等等 式式) 0( 0.)(0111或axaxaxaxFnnnn时，当0,2nan一般采用一般采用“零点分区穿线法零点分区穿线法”求解求解1）把）把F(x)因式分解；因式分解；2)在数轴上依次标出零点；在数轴上依次标出零点；3）从右上角开始，根据）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿奇穿偶不穿”原原则进行穿线。则进行穿线。 第第 五

6、五 节节 不不 等等 式式0)9)(7)(1() 1(12xxxx、解下列不等式：解下列不等式：12321022xxxx、同解变形（同解变形（ 绝对值不等式绝对值不等式 ）.x|a|x|)0( ,|;)0( ,|22aaxaxaaxaxaaax；或 第第 五五 节节 不不 等等 式式)()()(0)(),(| )(|xgxfxgxgxgxf)(-)()()(0)(),(| )(|xgxfxgxfxgxgxf或22)()(| )(| )(|xgxfxgxf例题例题5 解不等式：解不等式：4|1|3|xx 第第 五五 节节 不不 等等 式式 第第 五五 节节 不不 等等 式式例题例题4 解不等式：

7、解不等式：2|3|2|1|xxx含多个绝对值的不等式，一般采取含多个绝对值的不等式，一般采取零点分段去绝对值零点分段去绝对值进行求解。进行求解。 第第 五五 节节 不不 等等 式式例题例题6 解不等式：解不等式：为参数。其中axax, 2|a|最小距离时，不等式无解；）当分类讨论：2|a|10).2a-2,2a2(-2|a|)20 时，解集为当4|3-x|1-x|2|x|1x|思考： 第第 五五 节节 不不 等等 式式解绝对值不等式小结解绝对值不等式小结 1.解绝对值不等式主要是通过解绝对值不等式主要是通过同解变形同解变形去掉去掉绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一绝对值符号转化成为一元一

8、次，一元二次，一元高次不等式（组），进行求解。元高次不等式（组），进行求解。A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般、对含有三个以上绝对值的不等式，一般采用零点分段法。采用零点分段法。都是实数。、其中dcbamcxbxaxeg,|d-x|:| 第第 五五 节节 不不 等等 式式形结合的方法求解。为正常数，一般采用数其中、形如mm),m(|b-x|a-x|B 第第 五五 节节 不不 等等 式式同解变形同解变形同解。与，的定义域为)()()()()()()(DM)()(xxgxxfxgxfMxxgxf定理定理2同解。与，的定义域为)()()()()()(0)(,)(DM)()(xxgxxfxgxfx

9、Mxxgxf定理定理3同解。与，的定义域为)()()()()()(0)(,)(DM)()(xxgxxfxgxfxMxxgxf定理定理3 第第 五五 节节 不不 等等 式式的解。都有的任意解证对；都有的任意解证对)()(,)()()()(2)()()()(,)()(100bgbfbxxgxxfaagaafaxgxf证明思路：证明思路： 第第 五五 节节 不不 等等 式式同解变形（同解变形（ 无理不等式无理不等式 ）. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xg

10、xf)()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式)()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxf)()(xgxf同解变形（同解变形（ 无理不等式无理不等式 ）)()(xgxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式思维训练思维训练;02)1(12xxx、22,0()32,223)35,(2,1),2(1、答案：16522xxx、12132xx、的取值范围是（）。则实数，的解集为、不等式aa|2x|3-x|1作业：作业：84页，第34题温故而知新温故而知新1、绝对值不等式、绝对值不等式2、无理不等式、无理不等式同解变形同解变形 第第 五五 节节 不不 等等 式式1

11、、解绝对值不等式小结、解绝对值不等式小结 1.解绝对值不等式主要是通过解绝对值不等式主要是通过同解变形同解变形去掉去掉绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一元高次不等式（组），进行求解。元高次不等式（组），进行求解。A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般、对含有三个以上绝对值的不等式，一般采用零点分段法。采用零点分段法。都是实数。、其中dcbamcxbxaxeg,|d-x|:| 第第 五五 节节 不不 等等 式式形结合的方法求解。为正常数，一般采用数其中、形如mm),m(|b-x|a-x|B 第第 五五 节节 不不 等等 式式2、无理不等式的同解变形无

12、理不等式的同解变形. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf. 0)(, 0)();()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf)()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式)()(, 0)(, 0)(2xgxfxgxf)()(xgxf)()(xgxf2、无理不等式的同解变形无理不等式的同解变形 第第 五五 节节 不不 等等 式式1、指数、对数不等式的解法、指数、对数不等式的解法212113xx）1)2(loglog)2212xx113xx1 ,0(3,(答案：.0202,0 xx

13、xx)4,2(答案： 第第 五五 节节 不不 等等 式式方法一方法一（指数、对数不等式）（指数、对数不等式）同底法：不等式两边同底法：不等式两边化为同底化为同底，再利用，再利用指数、对数函数的指数、对数函数的单调性进行同解变形单调性进行同解变形。)()(; 0)(; 0)()(log)(log);()(1) 1)()(xgxfxgxfxgxfxgxfaaaaaxgxf时， 第第 五五 节节 不不 等等 式式).()(; 0)(; 0)()(log)(log);()(10)2)()(xgxfxgxfxgxfxgxfaaaaaxgxf时，当 第第 五五 节节 不不 等等 式式巩固与提高巩固与提高）

14、，（：例题1, 0192-3212322xxxxxxxx），（解题思路：1, 046212322xxxxxxxx. 4621231; 462123102222xxxxxxxxxx时，同解于当时，同解于当），答案：（,1()5192-0 第第 五五 节节 不不 等等 式式思维训练思维训练.0228)2;03loglog)122xxaaxx解题思路解题思路：（：（换元法换元法）;032,log2yyyxa则有令),1(010)2);,(101) 1:33aaaaaa），时，不等式的解集为（当），时，不等式的解集为（当答案方法二方法二（指数、对数不等式）（指数、对数不等式）换元法换元法：0)(log

15、, 0)(xfafax形如巩固与提高巩固与提高2)22(log) 122(log:1012124xxx例题2)22(log) 122(log2112122xxx2 1) 12()log12(log22xx; 2) 1(,) 12(log2yyyx则令作业作业)2(1 log) 1(log2)2xaxaa1)(log)12xx0228)3xx温故而知新温故而知新指数不等式、对数不等式的解法指数不等式、对数不等式的解法同底法同底法换元法换元法 第第 五五 节节 不不 等等 式式三角不等式的解法三角不等式的解法.2)414cos()414cos(),2,0(111xnxnnx解不等式为正整数，）、设

16、（例题解题思路：利用解题思路：利用和差化积公式同解变形和差化积公式同解变形为为)(2)4cos(cos2xn22)4cos()(10 xn式化为为偶数时，当 第第 五五 节节 不不 等等 式式22)4cos()(10 xn式化为为偶数时，当223)2,0(,24442xxkxk又因为22)4cos()(20 xn式化为为奇数时，当 x2回顾和差化积公式：回顾和差化积公式： 第第 五五 节节 不不 等等 式式|cos|sin|2xx 、法一：不等式两边平方，得法一：不等式两边平方，得21sin01sin2cossin2222xxxx02cosx法二：法二：,434|Zkkxkx答案：回顾二倍角公

17、式：回顾二倍角公式： 第第 五五 节节 不不 等等 式式)1arcsin(arcsin123xx）（例解题思路：解题思路：的单调性进行求解利用xyarcsinxxxx1,111,11反三角函数反三角函数： 第第 五五 节节 不不 等等 式式三角不等式解法总结三角不等式解法总结利用利用三角函数的恒等变形、单调性、三角函数的恒等变形、单调性、数形结合数形结合求解求解和差化积、积化和差、两角和差化积、积化和差、两角和差公式、二倍角公式、诱和差公式、二倍角公式、诱导公式、万能公式导公式、万能公式 第第 五五 节节 不不 等等 式式零点分区穿线法的推广零点分区穿线法的推广0)2|(|) 1(ln1xxx

18、、解解:; 0)(1010 xfx时，当; 0)(2120 xfx时，当; 0)(230 xfx时，当。012综上所述，原不等式的解集为综上所述，原不等式的解集为).,2(），则定义域为（令0),2|)(|1(ln)(xxxxf 第第 五五 节节 不不 等等 式式零点分区穿线法的推广零点分区穿线法的推广1)把不等式所有项一到一边，令其为函数把不等式所有项一到一边，令其为函数f(x)；2)确定确定f(x)的定义域；的定义域；3)解解f(x)=0,得出零点；得出零点；4)判断判断f(x)在各区间上的正负；在各区间上的正负；5)确定解集确定解集. 第第 五五 节节 不不 等等 式式为锐角。解不等式：

19、例题xxxx,cot33sin2cos2)14(2)2, 0(,cot33sin2cos2)(xxxxxxf为锐角，所以由于解题思路：令0)sin32)(sin(cosxxx。 。0423-+- 第第 五五 节节 不不 等等 式式.1322)1(logxaxxxa的不等式）解关于（例题 第第 五五 节节 不不 等等 式式作业作业41)2sin(sin1、)1arccos()21arccos(2xx、)2 , 0(,2sincos22sin223xxxx其中、不等式的证明（一）不等式的证明（一）1、比较法、比较法2、综合法（由因导果）、综合法（由因导果）3、分析法（由果寻因）、分析法（由果寻因）

20、放缩法、反证法、换元法、放缩法、反证法、换元法、数学归纳法、构造法数学归纳法、构造法 第第 五五 节节 不不 等等 式式 第第 五五 节节 不不 等等 式式比较法比较法.000babababababa1）作差比较法）作差比较法2）作商比较法）作商比较法.111,0,0bababababababa则若 第第 五五 节节 不不 等等 式式思维训练思维训练.)(,122224442cbacbaacbcba求证：均为正数，且、已知法一法一：（作差法）：（作差法）)( 2222)(222222222222222444accabbcacbacbacba证明：证明：acb22)( 2)( 222222222

21、222cacaacaccaacaccab 第第 五五 节节 不不 等等 式式0,222baacca、又 0)(222accaac成立。时均为正数，且、当22224442)(,cbacbaacbcba法二法二：（分析法）：（分析法）4222242244442222444222)(cbcacbbaacbacbacba只需证，要证证明证明：0222222acbcba只需证0)(22222cacaacacb只需证0)(22accaac只需证0,222baacca、又 0)(22accaac所以原命题成立。所以原命题成立。 第第 五五 节节 不不 等等 式式. 2121, 0222aaaaa求证：、已知

22、证明思路证明思路：（分析法）：（分析法）不等式比较复杂，两端难不等式比较复杂，两端难以消去或者已知条件太少，以消去或者已知条件太少，已知与要证的式子联系不已知与要证的式子联系不明显。明显。221122aaaa只需证：210aaa，所以由222)221(1aaaa所以只需证.021)2-2(）（只需证aa 第第 五五 节节 不不 等等 式式.3100)1()1()1(;, 1,53222ccbbaacbaRcba求证、）、已知（例题证明：证明：.382111,3100)1()1(1222222222cbacbaccbbaa只需证）要证（22222222222222211cacbbacbaacbc

23、abcbacba)1.(31222cba即 第第 五五 节节 不不 等等 式式) 2.(27)1( 3)( 9)111)()(3232222abcabccbacbacba.382111,21222222cbacba）式可得）、（由（所以原命题成立所以原命题成立 第第 五五 节节 不不 等等 式式满足条件个实数）设有（例题nxxxn,.,74211., 0.2222121nnxxxxxx.1,.,max,.,min2121nabxxxbxxxann求证：并记证明：证明：,01,1abnnab只需证要证,0.22221abnxxxn只需证0)()(,.,max,.,min22121bxaxabxb

24、axxxxbxxxaiiiinn0.21nxxx又0).)( -.212222122221abnxxxbaxxxabnxxxnnn原命题成立。原命题成立。 第第 五五 节节 不不 等等 式式.3, 15cbacbacba求证：满足、已知正数).2()()(21,),21,0(),21,0(),11lg()(621212121xxfxfxfxxxxxxxf）（求证：且、若、已知函数 第第 五五 节节 不不 等等 式式放缩法放缩法反证法反证法换元法换元法不等式的证明（二）不等式的证明（二） 第第 五五 节节 不不 等等 式式放缩法：借助放缩法：借助不等式的传递性不等式的传递性。.,)(,（缩小）只

25、需证要证；放大只需证要证bcababcaba常见的技巧：常见的技巧：1）舍掉（或添加）一些项；）舍掉（或添加）一些项；2）在分式中放大或缩小分子、分母；）在分式中放大或缩小分子、分母；3）应用基本不等式放缩；）应用基本不等式放缩；4）应用函数的单调性进行放缩；）应用函数的单调性进行放缩； 第第 五五 节节 不不 等等 式式.471.312111222n、求证：证明思路证明思路：（：（从第三项开始拆项放缩从第三项开始拆项放缩）kkkkk111)1(112运用： 第第 五五 节节 不不 等等 式式) 11(21.312112nn、证明：)1(2122221:kkkkkkkk运用.102152)3(

26、310050100100 C求证：例题证明思路：证明思路：.10121511021521005010010050100100CC，只需证要证10099.654321!50!502!100210010050100Cmambabmba时，当0,0放缩技巧：放缩技巧：|1|1|ba|1|ba|4bbaa、证明不等式：mambabmba时，当0,0放缩技巧：放缩技巧：|bababa反证法反证法 先假设结论不成立，由此出发，先假设结论不成立，由此出发，推出与题设或已知结论相矛盾推出与题设或已知结论相矛盾的结的结果，从而说明结论成立。果，从而说明结论成立。 命题的结论中出现命题的结论中出现“存在存在”、“

27、不存不存在在”、“唯一唯一”、“不唯一不唯一”、“有理有理”、“无理无理”，“相等相等”、“至多至多”、“至至少少”，常考虑用反证法证明。常考虑用反证法证明。. 0, 0, 0, 0, 0, 0) 8( 5cbaabccabcabcba求证：设例题. 000, 0:acbaabc，不妨设假设至少有一个小于，都不为、则因为证明. 00622bccbxx必有数根时，有两个不相等的非零实、求证：当,.0, 0)30, 00, 0, 0)200, 0, 0) 12222222cbxxcbxxcbcxcbxxcb若的实数根矛盾；与题中方程有两个非零解得化为则若矛盾；化为则若证明证明:, 0bc假设综上所

28、述，假设不成立，所以原命题成立。综上所述，假设不成立，所以原命题成立。. 1,7于中，至多有一个数不小三个数都是正整数，求证：在、已知nmpcmpnbpnmapnm. 1, 11:ba，不妨设于假设至少有两个数不小证明换元法（三角换元、代数换元）换元法（三角换元、代数换元）目的：减少目的：减少不等式中变量的个数不等式中变量的个数，从而化，从而化难为易，化繁为简。难为易，化繁为简。;2 , 0,cos,sin,) 1222ayaxayx可设若;2 , 0,sin,cos, 1)22222byaxbyax可设若.0 ,sin,cos),0()322arryrxaayx可设若2,0,sin,-1)4

29、2xx对于.)(1, 1098222baxbxax求证：）、设（例题20.|3b-8ab-3a|, 4,92222求证：、已知baRba)1.(1.3121110nnn、证明：是无理数。求证：是无理数，是正有理数，、设bababa,11 第第 五五 节节 不不 等等 式式不等式的证明（三）不等式的证明（三）数学归纳法数学归纳法构造法构造法 第第 五五 节节 不不 等等 式式数学归纳法数学归纳法第一数学归纳法第一数学归纳法第二数学归纳法第二数学归纳法反向数学归纳法反向数学归纳法螺旋式数学归纳法螺旋式数学归纳法 适用范围：证明与适用范围：证明与自然数有关的命题。自然数有关的命题。 第第 五五 节节

30、 不不 等等 式式第一数学归纳法第一数学归纳法1）验证当）验证当n=1时命题成立。时命题成立。2）假设当）假设当n=k时命题成立，证明时命题成立，证明n=k+1命题成立。命题成立。根据根据1）、）、2）得，对一切正整数命）得，对一切正整数命题成立。题成立。（归纳奠基）（归纳奠基）（归纳递推）（归纳递推）直观解释直观解释多米诺骨牌效应多米诺骨牌效应 第二数学归纳法第二数学归纳法1）验证当）验证当n=1时命题成立。时命题成立。（归纳奠基）（归纳奠基）2）假设当）假设当n k时命题成立，时命题成立，证明证明n=k+1命题成立。命题成立。 （归纳递推）（归纳递推）根据根据1）、）、2）得，对一切正整数

31、命题成立。）得，对一切正整数命题成立。., 1,)16( 111nnnnabbabanNnRba求证：、已知例题.1111.,0)17(22442nxxxxxxNnxnnnnnn都有证明：对任意例题证明思路：证明思路：分奇数、偶数分奇数、偶数用数学归纳法求证用数学归纳法求证)1.(1.312113nnn、证明：成立。时，要证）当证明：221102212211,221121n成立，有）假设当kkkn1.312112111.31211kk11kk构造法构造法 通过构造通过构造函数、图形、方程、数列、函数、图形、方程、数列、向量向量等证明不等式。等证明不等式。)1()1ln(4xxx、证明：的最值问

32、题。转化成求构造证明思路：)(,)1ln()(xfxxxf.23, 1, 0,)14(5222yxzzxyzyxxyzzyx求证：设例题.),(),(利用内积公式构造向量证明思路：yxzxzyqyxzzxyzyxp时成立。为常数，等号当且仅当）（是任意实数，则、设),.,2 , 1(),.)(.(.,.,622221222212221121nikkabbbbaaabababaaaaiinnnnn),.,(),.,()(:2121nnbbbqaaap构造向量法一证明思路柯西不等式柯西不等式p、q共线时等号成立。共线时等号成立。.|)|(|cos|)|(|.cos|)|(|.,cos|222222

33、2qpqpqpqpqpqpqp）（）得（两边平方，. 1ln1-111tttt时，证明：、当思维训练思维训练.11,),(,21a0a,23)(211n2naNnafaxxxfnnn证明：满足设数列、已知不等式的证明不等式的证明1、比较法、比较法2、综合法（由因导果）、综合法（由因导果）3、分析法（由果寻因）、分析法（由果寻因）4、放缩法、放缩法5、反证法、反证法6、换元法、换元法7、数学归纳法、数学归纳法8、构造法、构造法 第第 五五 节节 不不 等等 式式 第第 五五 节节 不不 等等 式式几个著名不等式几个著名不等式柯西、均值、柯西、均值、排序、排序、Jensen不等式不等式时成立。为常

34、数，等号当且仅当）（是任意实数，则设),.,2 , 1(),.)(.(.,.,22221222212221121nikkabbbbaaabababaaaaiinnnnn),.,(),.,()(:2121nnbbbqaaap构造向量法一证明思路p、q共线时等号成立。共线时等号成立。.|)|(|cos|)|(|.cos|)|(|.cos|2222222qpqpqpqpqpqpqp）（）（柯西不等式柯西不等式柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式),.,(),.,(2121nnbbbqaaap向量：.|)|(|.|22qpqpqpqp）（p、q共线时等号成立共线时等号成立时成立。为常数，等号当且仅

35、当）（是任意实数，则设),.,2 , 1(),.)(.(.,.,22221222212221121nikkabbbbaaabababaaaaiinnnnn柯西不等式柯西不等式法二法二：时，命题成立；当0)1ia不全为零时，当ia)22222211)(.)()()(nnbxabxabxaxf构造函数).().( 2).(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaa00)(, 0).(22221xfaaaani而且不全为零，得由的最大值。求满足、设实数例题yxpyxyx2,623622思路思路:适当的配凑，直接应用柯西不等式适当的配凑，直接应用柯西不等式2134)2()3(2

36、12323222yxyxyxp.21ABCRABC5222cbaRzyxcbapzyxp外接圆的半径，证明：是的距离，、到三边是、内的一点，是设例题RabcCabSSczbyax4sin21)(2，三角形面积利用cczbbyaaxzyx111两次利用柯西不等式两次利用柯西不等式柯西不等式一般用柯西不等式一般用来证明不等式，求最值来证明不等式，求最值排序不等式排序不等式则有设有两个有序数组,.,.321321nnbbbbaaaanjnjjnnnbabababababa.21211121nnbababa.2211全相等时，等号成立。全相等或当且仅当的任何一排列，是其中iinbanjjj,.2 ,

37、1,.,21记忆方法：记忆方法：同序和乱序和反序和排序不等式的证明排序不等式的证明njnjjnnnbabababababa.21211121nnbababa.2211证明思路：证明思路：1S,S,S式其余项保持不变得到和中的此项调整成把项，中含有则中，不妨设在乱序和nnjkjnnknbabaSbabanjnn11SS0，即得，SS逐步调整法逐步调整法排序不等式的应用排序不等式的应用）各不相同。（分钟接满水，个接水者需要第，水，现只有一个水龙头个人各拿一只水桶去接、有10,.,2 , 1101ittiii？等待的最少时间是多少间最少？从而使他们等待的总时个人的顺序，问：如何安排这10109212

38、.910tttt思路：等候的总时间：利用排序不等式利用排序不等式求证：是互不相同的正整数，）设（例题naaa,.,7221.21.2112221naaann证明思路：排序不等式，缩小分子进行证明思路：排序不等式，缩小分子进行放缩放缩.23,83yxzxzyzyxRzyx证明：、设）（例题排序不等式：排序不等式：常用于常用于与顺序无关的一组数乘积的证明中。与顺序无关的一组数乘积的证明中。适用于适用于分式、乘积式不等式分式、乘积式不等式的证明。的证明。 作业：课本作业：课本84-85页，第页，第45、50题题温故而知新温故而知新 第第 五五 节节 不不 等等 式式时成立。为常数，等号当且仅当）（是

39、任意实数，则设),.,2 , 1(),.)(.(.,.,22221222212221121nikkabbbbaaabababaaaaiinnnnn柯西不等式柯西不等式|)(222qpqpqpqp柯西不等式一般用柯西不等式一般用来证明不等式，求最值来证明不等式，求最值排序不等式排序不等式 第第 五五 节节 不不 等等 式式则有设有两个有序数组,.,.321321nnbbbbaaaa同序和乱序和反序和全相等时，等号成立。全相等或当且仅当iiba常用于常用于与顺序无关的一组数乘积的证明与顺序无关的一组数乘积的证明中。中。均值不等式均值不等式naaanaaaaaaaaanaaannnnnnn22221

40、21212121.1.11,.,则个正数设有.HnnnnQAG常记为调和平均数（调和平均数（harmonic mean ）几何平均数（几何平均数（geometric mean ）算术平均数（算术平均数（arithmetic mean ）平方平均数（平方平均数（quadratic mean ）平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数记忆的方法：记忆的方法：.,G121210naaaaaaAnnnnn即证先证证明思路：成立。时，要证当222121aaaan成立时，有假设当kaaaaaaknkkk.21211.121kaaaakkAA1.121kaaaakkkkaaaakkkk21).)(1() 1

41、(121kAkaaaakk2) 1().(1212) 1(.121kAkkaaaakk.1.11,H22121n0nnnnaaaaaanG即证在证nnnnaaanaaaaaaa.11.11,.,2121321只需证都是正数，.,A322221021naaanaaaQnnnn即证证naaanaaann222221.21）只需证（naaanaaaaaaannnn2222121222.2.2.2121只需证思维训练思维训练且满足、）、已知（例题,21Rcba1111122222222ddccbbaa.91abcd求证：在利用均值不等式求出证明思路：令dcbaxddxaa,1,.,1422122Jen

42、sen不等式不等式有、如果对任意）的函数，是定义在开区间（设),(,)(21baxxbaxf2)()()2(2121xfxfxxf）内的下凸函数。是（则称baxf,)(为严格下凸函数。时等号成立，则称当且仅当)(21xfxx Jensen不等式不等式有）内的任意则对于（）内的严格下凸函数，是区间（设,.,)(1210nxxxbabaxfnxfxfxfnxxxfnn)(.)()().(2121.21时等号成立当且仅当nxxx）内严格上凸，则有在（若baxf,)(20nxfxfxfnxxxfnn)(.)()().(2121法二：判断下凸函数、上凸函数法二：判断下凸函数、上凸函数.),0)(0)(II Ixxfxfff）的充要条件是为下凸函数（上凸函数上则在上的二阶可导函数，为区间设.6737373, 1,9333cbacbaRcba求证：、已知例题不等式。再利用严格上凸。上的图像特点在思路：判断Jensenxxy0,3利用利用Jensen不等式证明均值不等式不等式证明均值不等式.2121naaaaaannn要证为上凸函数，则设)(,ln)(xfxxfnaaanaaannln.lnln).ln(2121则naaan).ln(21由函数单调性得证由函数单调性得证