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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15.8 多缝多缝夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射 所谓多缝是指在一块不透光的屏上，所谓多缝是指在一块不透光的屏上，刻有刻有 N 条等间距、等宽度的通条等间距、等宽度的通光狭缝。光狭缝。夫琅禾费多缝衍射的装置如图所示。其每条狭缝均平行于夫琅禾费多缝衍射的装置如图所示。其每条狭缝均平行于 y1 方方向，沿向，沿 x1 方向的缝宽为方向的缝宽为 a，相邻狭缝的间距为，相邻狭缝的间距为 d，不透光缝宽度，不透光缝宽度 b, ,其关其关系如下：系
2、如下：d = a+b （也叫光栅常数也叫光栅常数）。）。光栅常数与光栅单位长度的刻痕数光栅常数与光栅单位长度的刻痕数 N 的关系：的关系：d = 1 / N。x1xPSdGP0L1L2ab“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2单缝衍射条纹单缝衍射条纹光栅衍射谱线光栅衍射谱线夫夫琅禾费单缝和多缝衍射的琅禾费单缝和多缝衍射的区别区别：双缝衍射双缝衍射单缝衍射单缝衍射“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础
3、、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3dabf 所以，利用平行光照射多缝时，其每一个单缝都要产生自己的衍射，所以，利用平行光照射多缝时，其每一个单缝都要产生自己的衍射，形成各自的一套衍射条纹。当形成各自的一套衍射条纹。当每个单缝等宽每个单缝等宽时，各套衍射条纹在透镜焦平时，各套衍射条纹在透镜焦平面上完全重叠，其总光强分布为它们的面上完全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加干涉叠加。 假设图中是线光源，则假设图中是线光源，则 N 个狭经受到平面光波的垂直照射。如果选个狭经受到平面光波的垂直照射。如果选取最下面的狭缝中心作为取最下面的狭缝中心作为 x1 的坐标原点，并只计的坐
4、标原点，并只计 x 方向的衍射。方向的衍射。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4多缝衍射的光强分布多缝衍射的光强分布11111i/1(1)i/i/i/222111(1)222i/ii2i(1)212i(1)2()d ddd = 1dsinsin2 sikxxflaaadNdkxxfkxxfkxxfaaadNdakxxfNaNE PCexCexexexCeeeexNCae (54)n2按照按照(22)式，观察屏上式，观察屏上 P 点的光场复振幅为：点的光场复振幅为：
5、11i (11, dd k xxyyfE xyCexy）/（） （22）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5式中式中2 sin (55)d220sinsin2( ) (56)sin2NI PI它表示在它表示在 x1 方向上相邻方向上相邻的两个间距为的两个间距为 d 的平行的平行等宽狭缝，在等宽狭缝，在 P 点产生点产生光场的光场的相位差相位差。相应于。相应于 P 点的光强度为：点的光强度为：式中，式中，I I0 0是单缝衍射是单缝衍射情况下情况下 P0 点的光强。
6、点的光强。 由上述讨论可以看出，平行光照射多缝时，其每个狭缝都特在由上述讨论可以看出，平行光照射多缝时，其每个狭缝都特在 P 点点产生衍射场，由于这些光场均来自同一光源，彼此相干，将产生干涉效产生衍射场，由于这些光场均来自同一光源，彼此相干，将产生干涉效应，使观察屏上的光强度重新分布。因此，多缝衍射现象包含有应，使观察屏上的光强度重新分布。因此，多缝衍射现象包含有衍射和衍射和干涉双重效应干涉双重效应。多缝干涉因子多缝干涉因子单缝衍射因子单缝衍射因子“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众
7、性治安防控工程”。6 由由(56)式可见，式可见，N 个狭缝的衍射光强关系式中包含有两个因子：一个个狭缝的衍射光强关系式中包含有两个因子：一个是单缝衍射因子是单缝衍射因子(sin/)2, ,另外一个因子是另外一个因子是sin(N/2)/sin(/2)2，根据以上公，根据以上公式的推导过程可以看出，它是式的推导过程可以看出，它是 N 个等振幅，等相位差的光束干涉因子。因个等振幅，等相位差的光束干涉因子。因此，此，多缝衍射图样具有等振幅，等相位差多光束干涉和单缝衍射的特征多缝衍射图样具有等振幅，等相位差多光束干涉和单缝衍射的特征。220sinsin2( ) (56)sin2NI PI20sin (
8、50)II222200sinsinsin2()=4cos (57)2sin2NI PII 为简单，以为简单，以双缝衍射双缝衍射情况予以说明。此时，情况予以说明。此时，N2，P 点的光强为：点的光强为：等振幅双光束干涉因子等振幅双光束干涉因子“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7(a)是等振幅是等振幅双光束干涉双光束干涉强度强度 分布分布 cos2(/2) 曲线；曲线；(b)是是单缝衍射单缝衍射强度分布强度分布 ( (sin / )2 曲线；曲线；(c)是是双缝衍射双
9、缝衍射强度分布曲线。强度分布曲线。根据上个式子，绘根据上个式子，绘出了如右图所示的出了如右图所示的d3a 情况下的双情况下的双缝衍射强度分布曲缝衍射强度分布曲线，其中线，其中: : 由该图可见，双缝衍射强度分布是由该图可见，双缝衍射强度分布是等振幅双光束干涉和单缝衍射等振幅双光束干涉和单缝衍射的共同作用结果的共同作用结果，实际上也可看作是等振幅双光束干涉受到单缝衍射，实际上也可看作是等振幅双光束干涉受到单缝衍射的的调制调制。abc“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。
10、8cos2(/2)10m= -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 /2sin2/201-3 -2 - 0 2 3I0(sin2/)cos2(/2)4I0 m=-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n= -2 -1 0 1 2 3“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9III1245-1-2-4-5如果只有衍射如果只有衍射：如果只有干涉：
11、如果只有干涉：干涉、衍射均有之：干涉、衍射均有之：缺缺级级缺缺级级-1-212-22衍射条纹的形成衍射条纹的形成N=5; d=3a“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1022sin2sin2N22sin22022sinsin2sin2NIN=4 , d=3 a-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6m=-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6n=-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2/2“雪亮工程是以区（县）、乡（
12、镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11I1245-1-2-4-5N=3缺缺级级缺缺级级245-1-4-5I1-2缺缺级级缺缺级级N=4I1245-1-2-4-5缺缺级级缺缺级级N=51245-1-2-4-5N=2I缺缺级级缺缺级级N不同的光栅光强不同的光栅光强d=3a“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12I1245-1-2-4-5缺缺级级缺缺级级N=2双缝衍射双
13、缝衍射缺缺级级缺缺级级I125-1-2-5336-60I124-1-2-4336-60缺缺级级缺缺级级d=3ad=4ad=5a“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13 综上所述，多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，它可看作是等振幅、综上所述，多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，它可看作是等振幅、等相位差多光束干涉受到单缝衍射的调制。等相位差多光束干涉受到单缝衍射的调制。需要指出的是，单缝衍射因子需要指出的是，单缝衍射因子只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则因源于狭缝的
14、周期性排列，只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则因源于狭缝的周期性排列，与单缝本身的性质无关。与单缝本身的性质无关。 因此，如果有因此，如果有 N 个性质相同，但形状与上述狭缝有异的孔径周期排个性质相同，但形状与上述狭缝有异的孔径周期排列。列。则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子。此时，。此时，只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即是这种只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即是这种周期性孔径衍射的光强度分布。周期性孔径衍射的光强度分布。为了清楚起见，下图给出了夫琅禾费单缝和五种多缝
15、为了清楚起见，下图给出了夫琅禾费单缝和五种多缝的衍射图样照片（的衍射图样照片（N 分别等于分别等于1、2、3、5、6、20）。）。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14多缝衍射图样特性多缝衍射图样特性(i)多缝衍射的强度极值多缝衍射的强度极值多缝衍射主极大多缝衍射主极大 由多光束干涉因子可以看出，当由多光束干涉因子可以看出，当2 0, 1, 2, mm或或sin (58)dm时，多光束干涉因子为极大值，称此时的多缝衍射时，多光束干涉因子为极大值，称此时的多缝衍射为
16、为主极大主极大。 多缝衍射图样特性可以由多光束干涉和单缝衍射特性确定。多缝衍射图样特性可以由多光束干涉和单缝衍射特性确定。2 sin (55)d由于由于多缝衍射主极大强度为多缝衍射主极大强度为:22M0sin (59)IN I它们是单缝衍射在各级主极大位置上所产生强度的它们是单缝衍射在各级主极大位置上所产生强度的N 2 倍倍，其中，零级主，其中，零级主极大的强度最大，等于极大的强度最大，等于 N 2I0。2 lim sin(/2)/sin( /2)mNN“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的
17、“群众性治安防控工程”。15N = 2m=dsin / m=dsin / N 很大很大m=dsin / N = 4主极大明条纹位置由缝间干涉决定。主极大明条纹位置由缝间干涉决定。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16() 0, 1, 2, ; 1, 2, 12NNmmmmN当当 N / 2 等于等于 的整数倍，而的整数倍，而 / 2 不是不是 的整数倍，即的整数倍，即或或sin (60)mdmN时，多缝衍射强度最小，为零。比较时，多缝衍射强度最小，为零。比较(58
18、)式和式和(60)式可见，在两个主极大之式可见，在两个主极大之间，有间，有( (N1) )个极小。个极小。多缝衍射极小多缝衍射极小假设假设 N=2，那么，那么 m=1, 因此因此 = ，3，5，由由( (60) )式，相邻两个极小式，相邻两个极小( (零值零值) )之间之间( (m1) )的角距离的角距离 为为: : (61)cosNdsin (60)cos 1 cosmmdmdNNmNd “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17I1245-1-2-4-5N=3缺缺
19、级级缺缺级级245-1-4-5I1-2缺缺级级缺缺级级N=4I1245-1-2-4-5缺缺级级缺缺级级N=51245-1-2-4-5N=2I缺缺级级缺缺级级N不同的光栅光强不同的光栅光强d=3a“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18多缝衍射次极大多缝衍射次极大2sin12N 由多光束干涉因子可见，在相邻两个极小值之间，除了由多光束干涉因子可见，在相邻两个极小值之间，除了是主极大外，还可能是强度极弱的次极大。在两个主极大之是主极大外，还可能是强度极弱的次极大。在两个
20、主极大之间，有间，有( (N2) )个次极大，次极大的位置近似由个次极大，次极大的位置近似由220002220.0453sin22MIIIN II即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的 4.5。此外，。此外，次极大的宽度随着次极大的宽度随着N 的增大而减小的增大而减小。当当 N 很大时，很大时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。在在 N / 2 3 / 2 时，衍射强度为时，衍射强度为: :决定决定.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化
21、为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19I1245-1-2-4-5N=3缺缺级级缺缺级级245-1-4-5I1-2缺缺级级缺缺级级N=4I1245-1-2-4-5缺缺级级缺缺级级N=51245-1-2-4-5N=2I缺缺级级缺缺级级N不同的光栅光强不同的光栅光强d=3a“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20(ii)多缝衍射主极大角宽度多缝衍射主极大角宽度22 (62)cosNd该式表明，狭缝数该式表明，狭缝数 N
22、愈大，主极大的角宽度愈小。愈大，主极大的角宽度愈小。多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是，主极大的条纹角宽度为，主极大的条纹角宽度为: : (61)cosNd245-1-4-5I1-2缺缺级级缺缺级级N=4I1245-1-2-4-5缺缺级级缺缺级级N=5“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21 由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，所以存在由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，所以存在缺级现象缺级现象。对于某。对于某一级干涉主
23、极大的位置，如果恰有一级干涉主极大的位置，如果恰有sin /0，即相应的衍射角，即相应的衍射角 同时满足同时满足sin 0, 1, 2, sin 1, 2, dmmann (iii)缺级缺级或或dmna则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级缺级。缺级缺级sin 1, 2, (51)nna单缝衍射的暗条纹单缝衍射的暗条纹sin (58)dm多缝干涉的亮条纹多缝干涉的亮条纹“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。223
24、2mdabmnnaaba1, 2, 3,n 故故33, 6, 9, mn 1245-1-2-4-5I缺缺级级缺缺级级-22“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23()多缝衍射图样特性多缝衍射图样特性 从以上讨论可以看出，在多缝衍射中，随着狭缝数目的增加，衍射从以上讨论可以看出，在多缝衍射中，随着狭缝数目的增加，衍射图样有两个显著的变化：图样有两个显著的变化：一是光的能量向主极大的位置集中一是光的能量向主极大的位置集中( (为单缝衍射的为单缝衍射的 N2 倍倍) )；
25、二是亮条纹变得更加细而亮二是亮条纹变得更加细而亮( (约为双光束干涉线宽的约为双光束干涉线宽的 1 / N) )。对于一个对于一个 N104 的多缝来说，这将使主极大光强增大的多缝来说，这将使主极大光强增大108 倍，条纹宽度倍，条纹宽度缩为万分之一。缩为万分之一。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24例例1 1：用波长为：用波长为500nm500nm的单色光垂直照射到每毫米有的单色光垂直照射到每毫米有500500条刻痕的条刻痕的光栅上，求：光栅上，求： 1)1)
26、第一级和第三级明纹的衍射角；第一级和第三级明纹的衍射角； 2)2)若缝宽与缝若缝宽与缝间距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。间距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。 由光栅方程由光栅方程 mdsin可知：第一级明纹可知：第一级明纹m=1m=1 25. 010210500sin691d821401第三级明纹第三级明纹m=3 m=3 75. 01021050033sin693d534803md63102500/101解：解：1)1)光栅常量光栅常量 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治
27、安防控工程”。252)2)理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角=/2=/2，41050010296maxdm第第2 2、4 4级明纹不出现，从而实际只能看到级明纹不出现，从而实际只能看到5 5条明纹。条明纹。 即最多能看到第即最多能看到第4 4级明条纹级明条纹)(adnm 考虑缺级条件考虑缺级条件d/a=(a+a)/a=2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。26例题例题2 2 波长为波长为60006000的单色光垂直入
28、射在一光栅上，第二级明的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在纹出现在sinsin 2 2=0.2=0.2处，第处，第4 4级为第一个缺级。求级为第一个缺级。求(1)(1)光栅上相光栅上相邻两缝的距离是多少？邻两缝的距离是多少？ (2) (2)狭缝可能的最小宽度是多少？狭缝可能的最小宽度是多少？(3)(3)按上述选定的按上述选定的a a值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？解解: : （1 1）mdsinmmd6sin14nmadnmmda5 . 14min（2）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。27max1sinmm ，106 . 06maxmmdm在在-90-900 0 90 900 0范围内可观察到的明纹级数为范围内可观察到的明纹级数为 m=0,m=0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 9,9,共共1515条明纹条明纹（3 3）由光栅方程，理论上能看到的最高级谱线的极限，）由光栅方程，理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角对应衍射角=/2=/2