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1、浅论数学高考题目中的导数 【摘要】导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于各种数学问题的研究.在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现.其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究.【关键词】导数；高考；导数的应用.1.引言导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于函数问题、不等式问题、解析
2、几何问题等等数学问题的研究，并为此提供新的视角、新的方法、新的途径.就目前而言，导数在教学中的主要目标是导数的本质及其应用，导数依旧是学生必须掌握的一个重要知识.由于导数其知识内涵的基础性及其应用的广泛性，使得导数不仅成为了高中数学的一个创新点，更成为了数学高考中的一个“熟客”. 在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现，其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究.2.导数的相关知识2.1 导数的概念导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量
3、的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.2.2 导数的定义设函数在点附近有定义，当自变量在处有增量时，相应地函数取得增量；如果与之比当时极限存在且有限，即极限存在且有限，则称这个极限值为函数在点处的导数，记为.2.3 导数与导函数如果函数在开区间内每一点都可导，就称函数在区间内可导.这时函数对于区间内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数的导函数，记作, , .导函数简称导数.2.4 导数的
4、几何意义函数在点的导数的几何意义：表示函数曲线在点的切线斜率,即该函数的曲线在这一点上的切线斜率.2.5 求导公式及法则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；导数的几何意义（10）；（11）；（12）其中；（13）；（14）；（15）；（16）.为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（为底时直接导数，为底时乘以），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式.3.导数的应用3.1以导数为工具研究函数的部分性质3.1.1 判断函数的单调性
5、利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想一般地，在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减如果在某个区间内恒有，则是常数函数注意：在某个区间内，是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如在内是增函数，但时.也就是说，如果已知为增函数，解题时就必须写.求函数单调区间的步骤：确定的定义域；求导数；由（或）解出相应的的范围当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数3.1.2函数极值的判定如果在两侧符号相同，则不是的极值点；如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.
6、3.1.3 求函数的极值确定函数的定义域；求导数；在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值3.1.4 求函数的最值如果在上的最大值（或最小值）是在内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是在内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在的端点或处取得，极值与最值是两个不同的概念求在上的最大值与最小值的步骤：求在内的极值；将的各极值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3.1.5实际问题实际生活中经常遇到求利润
7、最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题3.2 利用导数的几何意义求解函数的切线方程函数在点的导数的几何意义：表示函数曲线在点的切线斜率,即该函数的曲线在这一点上的切线斜率.这样，我们就可以求出函数在某点的切线斜率，随后只需要运用点斜式就可以求出切点为的切线方程.3.3 利用导数求解一些不等式问题3.3.1利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道，如果函数在某个区间内其导数值小于（或大于）0，则此函数在这个区间上单调递减（或递增）.因此在一些不等式问题中
8、，我们往往可以通过构造一个函数的方式，以导数的方法确定函数在一个区间上的单调性，再利用函数的单调性达到证明不等式的目的.即将不等式问题转化为了函数的单调性问题.3.3.2 利用导数得出函数的最值来证明不等式求函数的最值是导数一个重要的作用.因此在求证不等式问题的时候，我们可以先构造相应的韩式，再通过导数求出此函数的最值，若该函数的最大值（或最小值）都能使不等式成立，则可知此不等式恒成立，即将不等式问题转化为了函数的最值问题.3.3.3 利用导数解不等式解不等式的一般目的是求参数的取值范围或者求自变量的取值范围，着一些问题也往往可以通过导数的相关知识来解决.在具体题目中，这类问题一般与函数相交汇
9、，解不等式时经常使用到的知识点就是如何求解函数的单调性和最值，结合函数的单调性和函数的最值，再分析题目要求之后，就可以列出一些相关的不等式，从而求解.归根结底，这一类问题依旧借助导数在求函数单调性和最值问题上的便利性，但两个相交汇的知识也会给题目带来不少变化，需要注意的地方不少，经常需要分类讨论，这是一种有一定难度的题型，在做此类问题的过程中需要细心分析，以确定最佳的分类标准.3.4 利用导数求函数中某些未知参数取值范围的问题导数常与函数相结合，而在函数中，也经常出现一些未知的参数.因此利用导数求解函数中的参数取值范围问题也屡见不鲜.这一类问题也是一种相当灵活的题型，主要运用到的知识点依旧是利
10、用导数求函数的单调性和最（极）值的方法.3.4.1 此类问题常见题型、考法并已知函数在某区间的单调性或已知函数的最（极）值，参数在函数的表达式上（或参数在区间边界上），求参数取值范围；已知不等式在某区间上恒成立，参数在函数的表达式上（或参数在区间边界上），求参数的取值范围；已知函数图像的交点情况，求参数的取值范围；开放性问题，求参数的取值范围.3.4.2 含参不等式恒成立问题中，求未知参数取值范围的一般方法分离参数：通过恒等变形，将参数分离出来，若恒成立，只需求出，则必有；反之，若，只需求出，则有.从而将问题转化为函数最值问题.分类讨论：在给出的不等式中，如果两变量无法通过恒等变形分别置于不等
11、式的两边，可以考虑通过分类讨论的思想来解决.确定主元：在给出的含有两个变量的不等式中，我们习惯的将变量看做主元，而把变量看做参数.但在某些题目中，这种思路反而更加繁琐，此时不妨试下改换思路，反其道而行，将变量看做主元，而把变量看做参数，可能这一新的思路可以大幅简化解题的难度与过程的繁琐.当然，这一方法要根据实际情况，而非任意胡来.4.导数在高考中的常考知识点与题型4.1 利用导数研究函数的单调性考情聚焦：1导数是研究函数单调性有力的工具，今年各地市高考中的单调性问题，几乎均用它解决2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，
12、属中高档题目考点分析：利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3） 若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数的定义域内解(或证明)不等式或. 若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解例1 (2012年新课标，文科，21)设函数.（）求的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，(xk) f(x)+x+10，求k的最大值解：（）的定义域是，若，则，所以在上是增函数若，令，即，则当时，,所以在上是减函数；当时，所以在上是增函数.（）略例2 (2012年福建，理科，20) 已知函数（）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取
13、值范围，使曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.解：（）求导可知，所以有，即曲线在处的切线斜率.所以，即此时有，令可得.所以时，有；时，有，即的单调递减区间为，单调递增区间为.（）略（见例8）4.2 利用导数研究函数的极值与最值问题考情聚焦：1.导数是研究函数极值和最值问题的重要工具，几乎是历年各省各市高考中极值与最值问题求解的不用方法. 2. 此类问题常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属于高档题.考点分析：利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域;（2）求导数;（3）若求极值，则先
14、求方程的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程的根的大小或存在情况，从而求解.（4）将函数的极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个即最小值.例3 (2012年新课标，理科，21)已知函数满足（）求的解析式及单调区间；（）若，求的最大值.解：（）略（）由（1），；所以直线在指数函数的图像下方，或与其相切.这里只需考虑相切的情形，设切点坐标为，根据，所以过切点的切线方程可写为，即，故.因此.记，则.所以当时，在上是增函数；时，在上是减函数.因此，当时有最大值，即，此时.综上可得的最大值为.4.3 利用导数研究函数的图象考情聚焦：
15、1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值(最值)、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠2常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现属于较难题考点分析：这一部分内容比较灵活，需要学生对导数的相关知识都有所了解，并可以将之相交汇，灵活变通的运用所学知识点.例4 (2011年浙江，文科，10)设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是( ) 解：设，所以，又因为为的一个极值点，所以，即.所以，当时，即对称轴所在的直线方程为；当时，即对称轴所在直线应大于1或小于-1，故选D
16、.例5 (2012年汉南，理科，10)已知函数，则的图像大致为（ ）解：,即或均有，故排除，答案为.4.4 实际生活中的优化问题考情聚焦：本类题型在考查考生对导数在实际问题中的应用的掌握情况，考查考生的运算求解能力和推理论证能力能力要求是考生的建模能力试题难度中等偏难，属于难题针对本题总结如下规律：问哪个量，哪个量就是自变量，涉及最大最小的量为函数建立函数模型是时要结合实际意义，同时要注明自变量的取值范围，即定义域在利用导数求解时，要注意遵循导数求最值的步骤进行作为规范作答，要注意下结论考点分析：优化问题一般是以求极值和最大（最小）为目的，能灵活的掌握导数在此种地方的用法，基本可以解决问题，不
17、过如何从题目中提炼出数学模型，构造出合适的函数却颇为考验学生的数学功底.例6 （2010年湖北，理科，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求此最小值解：（）设隔热层的厚度为cm，由题设，每年能源消耗费用.再由，得.因此.因为建造费用为，所以（）因为，所以我们可以得到，令
18、，解得或（舍去）.当时，；当时；所以是的最小值点，且.因此，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元.4.5 利用导数的几何意义解决有关切线方程问题考情聚焦：1利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为今年各省市高考命题的热点2常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属简单题考点分析：（1）导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（2）求曲线切线方程的步骤：求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为.注：(1)当曲线在点处的切线平行于Y轴(此时导数不存在
19、)时，由切线定义可知，切线方程为；(2)当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解例7 (2012年全国，文科，13)曲线在点处的切线方程为 解：根据导数的几何意义知，曲线在点处的切线的斜率为.因此，所求切线方程为，即.4.6 利用导数求函数中某些未知参数取值范围的问题考情聚焦：导数常与函数相结合，而在函数中，也经常出现一些未知的参数.因此利用导数求解函数中的参数取值范围问题也屡见不鲜.这一类问题也是一种相当灵活的题型，主要运用到的知识点依旧是利用导数求函数的单调性和最（极）值的方法.考点分析：这一部分内容比较灵活，需要学生对导数的相关知识都有所了解，并可以将之相交汇，灵活变通的运用所学知识
20、点.例8 (2012年福建，理科，20) 已知函数（）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.解：（）略（见例2）.（）设切点为，由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，令，故曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点等价于函数只有唯一零点.因为，且（1）若，当时，即时，；当时，即时，故只有唯一一个零点.由的任意性可知，不合题意，故舍去.（2）若，令，则.令，得，记，则当时，从而在区间上单调递减；同理可知在上单调递增.若，由时，；时，.可知在上单调递增.所以函数在上有且只有一个零点.若，由于在上单调递增，且，则当时
21、有，；任取，则有.又当时，易知,而在上面的式子中，.由于，则必存在，使得.所以，故在内存在零点，即在上至少有两个零点.若，同并利用，可证函数在上至少有两个零点.综上所述，当时，曲线上存在唯一点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.参考文献1 高慧明.“导数及其应用”高考命题分析与思考. 试题与研究：高中文科综合 2012年第2期 J0009-J0014页. 共6页.2 范召霞. 2011年高考导数及其应用考情调研. 数理化学习：高中版 2011年第12期 13-16页,共4页.3 郭振. 导数应用题型与高考走势.中学教研：数学版 2008年第2期 16-19页,共4页4 李怀军 侯伟.导数
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23、数的应用. 读写算（教育教学研究）. 2011年第20期. 154-154页,共1页9 常佩佩. 探讨高考导数出题点. 青年与社会：中外教育研究 2012年第5期 153-153页,共1页.10 蔡勇全 肖顺银 肖 军. 透视高考考查导数的六大热点. 中学生理科应试：高中 2012年第3期 10-12页,共3页The analysis of derivative in the College Entrance ExaminationLIN Yao-yong 105012009082 Advisor：WANG Xiao-zhenMajor in Pure and Applied Mathemat
24、ics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】Derivative entering high school math textbooks have been for many years, it has brought new vigor and vitality for the traditional secondary school teaching. Derivative is a very good way to discuss mathematical problems; it can be very widely
25、 used in the discussion of a variety of mathematical problems. In recent years of the college entrance examination, derivative is often combined with the knowledge of the equation, function, inequality and appeared in various forms. It makes the college entrance more exciting. This article made some analysis and research to Derivative-related knowledge and common questions in the college entrance examination.【Keywords】Derivative; college entrance examination; Applications of Derivatives.