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1、阶段方法技巧训练（一）阶段方法技巧训练（一）专训专训2 2圆中常用的作辅助圆中常用的作辅助 线的八种方法线的八种方法习题课习题课 在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧关重要圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时角是直角；证切线时“连半径，证垂直连半径，证
2、垂直”以及以及“作垂直，证半径作垂直，证半径”等等1方法方法作半径，巧用同圆的半径相等作半径，巧用同圆的半径相等1如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD 的顶点的顶点A，D在半圆在半圆O上，顶点上，顶点B，C在半圆在半圆O的直径的直径 上；小正方形上；小正方形BEFG的顶点的顶点F在半圆在半圆O上，上，E点在半点在半 圆圆O的直径上，点的直径上，点G在大正方形的边在大正方形的边AB上若小正上若小正 方形的边长为方形的边长为4 cm， 求该半圆的半径求该半圆的半径如图，连接如图，连接OA，OF.设设OAOFr cm，ABa cm.在在RtOAB中，中
3、，r2 a2，在在RtOEF中，中，r242 ， a216164a .解得解得a18，a24(舍去舍去)r2 8280.r14 ，r24 (舍去舍去) 即该半圆的半径为即该半圆的半径为4 cm.解：解：22a骣桫242a骣桫+ +24a24a282骣桫555 在有关圆的计算题中，求角度或边长时，在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题用特殊三角形的性质来解决问题2方法方法连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2如图，圆内接三角形如图，圆内接三角形ABC的
4、外角的外角ACM的平分线的平分线 与圆交于与圆交于D点，点，DPAC，垂足是，垂足是P，DHBM， 垂足为垂足为H.求证：求证：APBH.如图，连接如图，连接AD，BD.DAC、DBC是是DC所对的圆周角所对的圆周角DACDBC.CD平分平分ACM，DPAC，DHCM，DPDH.在在ADP和和BDH中，中，ADP BDH. APBH.证明证明：90.DAPDBHDPADHBDPDH行行 ， 本题通过作辅助线构造圆周角，然后利本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用用“同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等”得到得到DACDBC，为证两三角形全等创造了条件，为证两三角形全等创造了条件3作直径，巧用
5、直径所对的圆周角是直角作直径，巧用直径所对的圆周角是直角方法方法3如图，如图， O的半径为的半径为R，弦，弦AB，CD互相垂直，互相垂直， 连接连接AD，BC. (1)求证：求证：AD2BC24R2；(1) 如图，过点如图，过点D作作 O的直径的直径DE，连接，连接AE，EC，AC. DE是是 O的直径，的直径， ECDEAD90. 又又CDAB，ECAB. BACACE. BCAE. BCAE. 在在RtAED中，中，AD2AE2DE2， AD2BC24R2.证明证明：(2)若弦若弦AD，BC的长是方程的长是方程x26x50的两个根的两个根 (ADBC)，求，求 O的半径及点的半径及点O到到
6、AD的距离的距离(2)如图，过点如图，过点O作作OFAD于点于点F. 弦弦AD，BC的长是方程的长是方程x26x50的两个根的两个根 (ADBC)， AD5，BC1.解：解：由由(1)知，知，AD2BC24R2，52124R2.R .EAD90，OFAD，OFEA.又又O为为DE的中点，的中点，OF AE BC . 即点即点O到到AD的距离为的距离为 .26212121212 本题作出直径本题作出直径DE，利用，利用“直径所对的圆周直径所对的圆周角是直角角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带构造了两个直角三角形，给解题带来了方便来了方便4证切线时辅助线作法的应用证切线时辅助线作法的应用方法方
7、法4如图，如图，ABC内接于内接于 O，CACB，CDAB且且 与与OA的延长线交于点的延长线交于点D. 判断判断CD与与 O的位置关的位置关 系，并说明理由系，并说明理由CD与与 O相切，理由如下：相切，理由如下：如图，作直径如图，作直径CE，连接，连接AE.CE是直径，是直径，EAC90.EACE90.CACB，BCAB.ABCD，ACDCAB. BACD.又又BE，ACDE.ACEACD90，即，即OCDC. 又又OC为为 O的半径，的半径，CD与与 O相切相切解解：5遇弦加弦心距或半径遇弦加弦心距或半径方法方法5如图所示，在半径为如图所示，在半径为5的的 O中，中，AB，CD是互相是互
8、相 垂直的两条弦，垂足为垂直的两条弦，垂足为P，且，且ABCD8，则，则OP 的长为的长为() A3 B4 C3 D422C同类变式同类变式6【中考中考贵港贵港】如图所示，如图所示，AB是是 O的弦，的弦， OHAB于点于点H，点，点P是优弧上一点，是优弧上一点， 若若AB2 ，OH1， 则则APB的度数是的度数是_36遇直径巧加直径所对的圆周角遇直径巧加直径所对的圆周角方法方法7如图，在如图，在ABC中，中，ABBC2，以，以AB为直径的为直径的 O分别交分别交BC，AC于点于点D，E，且点，且点D是是BC的中点的中点(1)求证：求证：ABC为等边三角形为等边三角形(1) 如图，连接如图，连
9、接AD， AB是是 O的直径，的直径， ADB90. 点点D是是BC的中点，的中点， AD是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线 ABAC. ABBC，ABBCAC， ABC为等边三角形为等边三角形证明证明：(2)求求DE的长的长(2)如图，连接如图，连接BE. AB是直径，是直径， AEB90，BEAC. ABC是等边三角形，是等边三角形， AEEC，即，即E为为AC的中点的中点 D是是BC的中点，故的中点，故DE为为ABC的中位线的中位线 DE AB 21.解解：12127遇切线巧作过切点的半径遇切线巧作过切点的半径方法方法8如图，如图， O是是RtABC的外接圆，的外接圆，ABC90，
10、 点点P是圆外一点，是圆外一点，PA切切 O于点于点A，且，且PAPB.(1)求证：求证：PB是是 O的切线；的切线；(1) 如图，连接如图，连接OB，OAOB， OABOBA. PAPB， PABPBA. OABPABOBAPBA. 即即PAOPBO. 又又PA是是 O的切线，的切线，PAO90. PBO90. OBPB. 又又OB是是 O的半径，的半径， PB是是 O的切线的切线证明证明：(2)已知已知PA ，ACB60，求，求 O的半径的半径(2)如图，连接如图，连接OP， PAPB， 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 OAOB， 点点O在线段在线段AB的垂直平分线上的
11、垂直平分线上 OP为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线解解：3又又BCAB，POBC. AOPACB60.由由(1)知知PAO90.APO30. PO2AO.在在RtAPO中，中，AO2PA2PO2，AO23(2AO)2.又又AO0，AO1， O的半径为的半径为1.8巧添辅助线计算阴影部分的面积巧添辅助线计算阴影部分的面积方法方法9【中考中考自贡自贡】如图所示，点如图所示，点B，C，D都在都在 O上，上， 过点过点C作作ACBD交交OB的延长线于点的延长线于点A，连接，连接CD， 且且CDBOBD30，DB6 cm.3(1)求证：求证：AC是是 O的切线；的切线；(1)如图，连接如图，连接
12、CO，交，交DB于点于点E， O2CDB60. 又又OBE30， BEO180603090. ACBD，ACOBEO90. 即即OCAC. 又又点点C在在 O上，上， AC是是 O的切线的切线证明证明：(2)求由弦求由弦CD，BD与与BC所围成的阴影部分的面积所围成的阴影部分的面积 (结果保留结果保留)(2)OEDB，EB DB3 cm. 在在RtEOB中，中，OBD30， OE OB. EB3 cm， 由勾股定理可求得由勾股定理可求得OB6 cm.解解：312123又又CDBDBO，DEBE， CEDOEB，CDE OBE.SCDESOBE.S阴影阴影S扇形扇形OCB 626(cm2)60360