《椭圆经典练习题.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆经典练习题.doc(6页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除椭圆及其性质1.方程表示椭圆0,0,且;是,中之较大者,焦点的位置也取决于,的大小。举例 椭圆的离心率为,则= 解析:方程中4和哪个大哪个就是,因此要讨论;()若04,则,=,得=;综上:=3或=。巩固若方程:x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆,则a的允许值的个数是A1个B .2个C.4个D.无数个2椭圆关于x轴、y轴、原点对称;P(x,y)是椭圆上一点,则|x|a,|y|b,a-c|PF|a+c,(其中F是椭圆的一个焦点),椭圆的焦点到短轴端点的距离为a,椭圆的焦准距为,椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2,通经是过焦点最
2、短的弦。举例1 已知椭圆(0,0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若BFBA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为 。解析:|AB|2=2+2,|BF|=,|FA|=+,在RtABF中,(+)2=2+2+2化简得: 2+-2=0,等式两边同除以2得:,解得:=。注:关于,,的齐次方程是“孕育”离心率的温床。举例2 已知椭圆(0,0)的离心率为,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后,所得的新的椭圆的一条准线的方程为=,则原来椭圆的方程是 。解析:原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点,在x轴上,直线=为新椭圆的上准线,故新椭圆的焦准距为,原来椭圆的焦准距也为,于是有:= ,=
3、 ,由解得:=5,=3。巩固1一椭圆的四个顶点为A1,A2,B1,B2,以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点,的椭圆的离心率为 。巩固2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为(A) (B) (C) (D)迁移椭圆上有n个不同的点P1,P2,P3,Pn,椭圆的右焦点F,数列| PnF|是公差大于的等差数列,则n的最大值为 ( )A198 B199 C200 D2013.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。举例1已知Q:(x-1)2+y2=16,动M过定点P(-1,0)且与Q相切,则M点的轨迹方程是:解析:P(-1,0)在Q内,故M与Q内切,记
4、:M(x,y),M的半径是为r,则:|MQ|=4-r,又M过点P,|MP|=r,于是有:|MQ|=4-|MP|,即|MQ|+|MP|=4,可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆,a=2。举例2 若动点P(x,y)满足|x+2y-3|=5,则P点的轨迹是:A圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线解析:等式两边平方,化简方程是最容易想到的,但不可行,一方面运算量很大,另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项,这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是,仔细观察方程后,就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离,而等式右边则是两点间的距离的5倍;为了让等式左边变成点到直线的距离,可以两边同除以,于是
5、有:=,这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了,只需将方程再变形为:,即动点P(x,y)到定点A(1,2)与到定直线x+2y-3=0的距离之比为,其轨迹为椭圆。巩固1 已知圆为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为 .巩固2设x、yR,在直角坐标平面内,=(x,y+2),=(x,y-2),且|+|=8,则点M(x,y)的轨迹方程为 。提高已知A(0,7),B(O,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。迁移 P为直线x-y+2=0上任一点,一椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 。4
6、研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时,往往用定义;会推导并记住椭圆的焦半径公式。举例1 如图把椭圆的长轴AB分成8分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点,F是椭圆的一个焦点,则_解析:P1与P7,P2与P6,P3与P5关于y轴对称,P4在y轴上,记椭圆的另一个焦点为F/,则|P7F|=|P1F/|, |P6F|=|P2F/|,|P5F|=|P3F/|,K于是|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35. 举例2 已知A、B是椭圆上的两点,F2是椭圆的右焦点,如果 AB的中点到椭圆左准线距离为,则椭圆的方程 .解析: =,记AB的
7、中点为M ,A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1,M1,由椭圆第二定义知:|AF1|=e|AA1|,|BF1|=e|BB1|,于是有:e(|AA1|+|BB1|)=,而e=|AA1|+|BB1|=3a2|MM1|=3a,又|MM1|=,得a=1,故椭圆方程为。巩固1 椭圆的两焦点为F1,F2,以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分,则椭圆的离心率为 。巩固2已知F1、F2是椭圆的左右焦点,点是此椭圆上的一个动点,为一个定点,则的最大值为 ,的最小值为 。提高 过椭圆左焦点F且斜率为的直线交椭圆于A、B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率e=_5研究椭圆上一点与两焦点
8、组成的三角形(焦点三角形)问题时,常用椭圆定义及正、余弦定理。举例已知焦点在轴上的椭圆F1,F2是它的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得,则的取值范围是 。解析:思路一:先证一个结论:若B为椭圆短轴端点,则F1PF2F1BF2。记F1PF2=,|PF1|=r1, |PF2|=r2,cos=又()2=,cos=cosF1BF2,当且仅当r1=r2时等号成立,即F1PF2F1BF2。题中椭圆上存在点P,使得F1PF2=900,当且仅当F1BF2900,即cosF1BOba=,b(0, .思路二:用勾股定理:r1+r2=2a r12+r22=4c2 ,由得:2r1r2=4b2,又2r1r2r12+r2
9、2 b2c2=4-b2 即b(0, .思路三:用向量的坐标运算:记P(x0,y0),=(-c-x0,-y0), =(c-x0,-y0),=c2-x02+y02=0(b2+4)x02=4(c2-b2),注意到:0x024,04(c2-b2)4(b2+4)即04-2b2b2+4,得b(0, .巩固1椭圆的焦点为、,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是_。 巩固2已知P是椭圆上一点,F1和F2是焦点,若F1PF2=30,则PF1F2的面积为( )ABCD46椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时,可以减少一个变量,或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了,而无需再借助圆的
10、方程来体现横纵坐标之间的关系;如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。举例若动点()在曲线上变化,则的最大值为( )ABCD2解析:本题可以直接借助于椭圆方程把x2用y表示,从而得到一个关于y 的二次函数,再配方求最值;这里用椭圆的参数方程求解:记x=2cos,y=bsin, =4cos2+2bsin=f(),f()=-4sin2+2bsin+4=-4(sin-)2+, sin-1,1若0101b4,则当sin=1时f()取得最大值2,故选A巩固椭圆上的点到直线2x-y+3=0距离的最大值是_。答 案1巩固B, 2、巩固1,巩固2B,迁移C, 3、巩固1 ,巩固2 ,提高 ,迁移 ,4、巩固1 e=-1,巩固26+,提高;5、巩固1,巩固2 B; 6、巩固【精品文档】第 6 页