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1、2.2.22.2.2等差数列的性质等差数列的性质 读教材读教材填要点填要点 等差数列的常见性质有等差数列的常见性质有amanapaq(nm)d(2)mnpq ；(4)若若m，p，n成等差数列，则成等差数列，则am，ap，an也成等差数列；也成等差数列；(1)anam ；(3)对称性：对称性：a1ana2an1a3an2； (5)若数列若数列an成等差数列，则成等差数列，则an pnq(p、qR)； (6)若数列若数列an成等差数列，则数列成等差数列，则数列anb(，b为常数为常数)仍为等差数列；仍为等差数列；(7)an和和bn均为等差数列，则均为等差数列，则anbn也是等差数列；也是等差数列；
2、 例例1已知四个数成等差数列，它们的和已知四个数成等差数列，它们的和为为26，中间两项的积为，中间两项的积为40，求这四个数，求这四个数法一：法一：法二：法二： 悟一法悟一法 对于项数有限的等差数列，用对于项数有限的等差数列，用“对称设项对称设项”的方法来设的方法来设项能达到化多为少的目的项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时特别是在已知其和时)，三个数的，三个数的“对称设项对称设项”是是xd，x，xd；五个数是；五个数是x2d，xd，x，xd，x2d；四个数则是；四个数则是x3d，xd，xd，x3d等等等等跟踪训练跟踪训练 1三个数成等差数列，和为三个数成等差数列，和为6，积为，积为24
3、，求这三个数，求这三个数解析：法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad.依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，故三个数为2,2,6或6,2，2.法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d，依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24.得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2，2. 利用等差数列的通项公式或性质解题利用等差数列的通项公式或性质解题 等差数列等差数列an中，如果中，如果a511，a8
4、5，求数列的通项公式求数列的通项公式跟踪训练跟踪训练2数列数列an各项的倒数组成等差数列，如果各项的倒数组成等差数列，如果a3 1，a5 1，求，求a11. 3. 在等差数列在等差数列an中，中，ars，asr(rs，r，sN*)， 求求ars.法二：法二： 利用等差数列的性质解题利用等差数列的性质解题 已知等差数列已知等差数列an中，中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式，求此数列的通项公式解析：法一：a1a72a4，a1a4a73a415，a45.又a2a4a645，a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得：d2.若d2，ana4(n4)d
5、2n3；若d2，ana4(n4)d132n.法二：a1a72a4，a1a4a73a415，a45，a2a62a410.又a2a4a645，a2a69，从而a2，a6可看成方程x210 x90的两根，an2n3或an132n.跟踪训练跟踪训练4在等差数列在等差数列an中，中，a5a1340，则，则a8a9a10的值为的值为()A72B60C48D36解析：法一：设此数列的首项为a1，公差为d，则a5a13a14da112d2a116d40，即a18d20.a8a9a10a17da18da19d3a124d3(a18d)60.B法二：可以应用等差数列的性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则am
6、anapaq，所以有a8a10a5a132a940，故a8a9a1060.故选B.5.(2011重庆高考重庆高考)在等差数列在等差数列an中，中，a3a737，则，则a2a4a6a8_.解析：解析：a2a8a4a6a3a7，a2a4a6a82(a3a7)74.答案：答案：74有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。6在等差数列在等差数列an中，已知中，已
7、知a1a4a739，a2a5a833，则，则a3a6a9的值为的值为()A30 B27C24 D21答案：B 等差数列的综合等差数列的综合 已知无穷等差数列已知无穷等差数列an，首项，首项a13，公差公差d5，依次取出项数被，依次取出项数被4除余除余3的项组成数列的项组成数列bn(1)求求b1和和b2；(2)求求bn的通项公式；的通项公式；(3)bn中的第中的第110项是项是an的第几项？的第几项？题型四：题型四：解析：(1)a13，d5，an3(n1)(5)85n.数列an中项数被4除余3的项是an的第3项，第7项，第11项，这些项组成一个新的等差数列(第二问中加以证明)，其首项b1a37，
8、b2a727.(2)设an中的第m项是bn的第n项，即bnam，则m34(n1)4n1，bnama4n185(4n1)1320n (nN*).bnbn120(n2，nN*)，bn是等差数列，其通项公式为bn1320n.(3)b11013201102187，设它是an中的第m项，则218785m，则m439.点评：数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系1在做等差数列题时，注意利用结论：若mnpq，则amanapaq，提高解题速度因这个结论来源于通项公式，故直接用通项公式也可做出，但所用时间相差很远2解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法3注意一个数列的变式为等差数列的应用；如一个数列的倒数，一个数列加一个数组成一个等差数列，一个数列开方等