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1、等差数列等差数列 知识回顾知识回顾等差数列 几何意义几何意义通项通项公差公差定义定义AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数. . . . .【说明说明】AAA数列数列 an 为等差数列为等差数列an+1-an=d或或an+1=an+dd=an+1-an公差是公差是 唯一唯一 的常数。的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点等差数列各项对应的点都在同一条直线上都在同一条直线上.一、判定题：下列数列是否是等差数列？. 9 ，7，5，3，, -2n+11， ；. -1，11，23，3
2、5，,12n-13，；. 1，2，1，2，；. 1，2，4，6，8，10， ；. a, a, a, a, ， a， ；复习巩固：复习巩固： (1)等差数列等差数列8，5，2，的第，的第5项是项是 AA AAAAAAA (2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第n项是项是A -4an = -5+(n-1).(-4)10【说明说明】 在等差数列在等差数列an的通项公式中的通项公式中 a1、d、an、n 任知任知 三三 个，个，可求出可求出 另外一个另外一个二、填空题：二、填空题：简言之“知三求四知三求四”(3)已知已知an为等差数列，为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则，则n
3、=等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，12345678910123456789100等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100推广后的通项公式推广后的通项公式 daamn(n-m)dmnaamn 【说明】求公差的公式相当于【说明】求公差的公式相当于 .两点连线的斜率公式两点连线的斜率公式等差中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：为一个
4、等差数列：（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5（3）-12， ，0 （4）0， ，032-60 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项。2baA 【说明说明】 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 等差数列的性质等差数列的性质1. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2ca
5、b 2b= a+c4.在在等差数列等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 1 1、已知：数列的通项公式为、已知：数列的通项公式为 a an n=6n-1 =6n-1 问这个数列是等问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？分析：由等差数列定义只需判断分析：由等差数列定义只需判断an-an-1(n2，nN) 的结果是否为常数。的结果是否为常数。解：解：a an n-a-an-1n-1=6n-1-6(n-1)-1=6(=6
6、n-1-6(n-1)-1=6(常数常数) )aan n 是等差数列，其首项为是等差数列，其首项为a a1 1=6=61-1=5,1-1=5,公差为公差为6.6.例题分析例题分析练习：已知数列的通项公式为练习：已知数列的通项公式为 a an n=pn+q=pn+q. .其中其中p p、q q 是常是常数且数且p p00，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？其首项与公差分别是多少？例例2 .在在等差数列等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20例题分析例题分析(2）已知）已知 a3+a11=
7、10，求，求 a6+a7+a8(3) 已知已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523分析：分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ， 解解 、 得得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或或d= _2或或2, 从而从而a14= _3
8、或或31课堂练习课堂练习1 1. .等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a -5-5， -3-3a +2 2，则，则 a 等于（等于（ ) ) A . -. -1 1 B . . 1 1 C . .-2 -2 D. 2B2. 在在数列数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an= -4 -353. 在在等差数列等差数列an中中 若若a59=70，a80=112，求，求a101； d=2,a101=154研究性问题研究性问题2.已知已知an为等差数列，若为
9、等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求，求a 3 ?1. 若若a12=23，a42=143， an=263，求，求n.3. 三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积为积为12，求此三数，求此三数. .d= 4n=72a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27设这三个数分别为设这三个数分别为a-d a，a+d，则，则3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6 【说明说明】 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 小结：小结：1. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2cab 2b= a+c4.在在等差数列等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 5. 在等差数列在等差数列an中中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 =