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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高考数学知识点易错点整理高考数学考前106个温馨提醒（知识、方法与例题）高考数学（知识、方法与易错题）整理一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集（1）设集合，集合N，则_；（答：）（2）设集合，则_（答：）2、条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况如：，如果，求的取值。（答：a0）3、含n个元素的集合的子集个数为,真子集个
2、数为;非空真子集的个数为；如：满足集合M有_个.（答：7）4、；5、AB=AAB=BABCUBCUAACUB=CUAB=U；6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.如：已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围.（答：）7、原命题:;逆命题:;否命题:；逆否命题:；互为逆否的两个命题是等价的. 注意：命题的否定与它的否命题的区别:命题的否定是；否命题是如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数，则是奇数”；否定是“若和都是偶数，则是奇数”；命题“p或q”的否定是“P且Q”，“p且q”的否定是“P或Q”熟悉逻辑推理,条件关系,集合关系的互相转化.如：“”是
3、“”的 条件（答：充分非必要条件）8、若且;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）; 二、函数与导数9、指数式、对数式：，如：的值为_. (答：)10、二次函数解析式三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c（a0）(对称轴？顶点？当b=0时为偶函数)；顶点式f(x)=；零点式(轴?)；区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数的定义域、值域都是闭区间，则 （答：2）实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号；11、反比例函数:平移(中心为(b,a)；12、双勾函数是奇函数：当；当，13、单调性定义法；导数法；如：已知函数在区间上
4、是增函数，则的取值范围是_.(答：)；注意：能推出为增函数，但反之不一定.如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件.注意：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如：已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）复合函数：由同增异减判定；图像判定.作用:比大小,解证不等式；注意定义域；如：函数的单调递增区间是_(答：（1,2）).14、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|)；f(x)是奇函数f(-x)=-f(x)；定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是该函数为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件. 15
5、、周期性.（1）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”.函数满足，则是周期为2的周期函数；函数满足，则；函数满足，则.如：(1)设是上的奇函数，当时，则等于_(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_ (答：)；（2）类比“三角函数性质”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；如：已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根.（答：5）16、常见的图象变换函数的图象是把函数的
6、图象沿轴向左或向右平移个单位得到的.如：要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到。(答：；右)；函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的；如：将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么（ ）(答：C) 函数的图象是把函数的图象沿轴伸（）缩（）为原来的得到的.如：（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_(答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_(答：)函数的图象是把函数的图象沿轴伸（）缩（）为原来的倍得到的.17、函数的
7、对称性.满足条件的函数的图象关于直线对称.如：已知二次函数满足条件且方程有等根，则_. (答：)点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为.特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为.如：己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是_.（答：）注：若f(ax)f(b+x),则图像关于直线x=对称；两函数y=f(a+x)与y=f(
8、bx)图像关于直线x=对称.提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如：已知函数.求证：函数的图像关于点成中心对称图形.曲线关于点的对称曲线的方程为.如：若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则_.（答：）形如的图像是双曲线，对称中心是点.如：已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，3）对称，则a的值为_（答：2）的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.如：（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R
9、上的奇函数，则函数的图象关于_对称.（答：轴）18、求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究.几类常见的抽象函数：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，；三角函数型： - .如：已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则_（答：0）（2）赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究.如：（1）若，满足，则的奇偶性是_（答：奇函数）；（2）若，满足，则的奇偶性是_（答：偶函数）；19、反函数:函数存在反函数的条件：一一映射；奇函数若有反函数则反函数是奇函数；周期函数、定义域为非单元素集的偶函数
10、无反函数；互为反函数的两函数具相同单调性；f(x)定义域为A,值域为B,则 (xB), (xA).原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域.如：已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_（答：（1,3）；20、题型方法总结()判定相同函数:定义域相同且对应法则相同.()求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法:已知所求函数的类型.如：已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 .（答：）（2）代换（配凑）法：已知形如的表达式，求的表达式.如：（1）已知求的解析式。（答：）（2）若，则函数=_（答：）；（3）若函数是定义在R上的
11、奇函数，且当时，那么当时，=_（答：）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域.（3）方程的思想：对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组.如：（1）已知，求的解析式.（答：）（2）已知是奇函数，是偶函数，且+=,则= （答：）.（）求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?；偶次根式被开方数?；对数真数?底数?；零指数幂的底数?)；实际问题有意义；若f(x)定义域为a,b,复合函数fg(x)定义域由ag(x)b解出；若fg(x)定义域为a,b,则f(x)定义域相当于xa,b时g(x)的值域；如：（1）若函数的定义域为，则的定义域为 .（答：）；（2）若
12、函数的定义域为，则函数的定义域为_.（答：1,5）（）求值域配方法：如：求函数的值域。（答：4,8）；逆求法（反求法）：如：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围（答：（0,1）；换元法：如：（1）的值域为_。（答：）；（2）的值域为_（答：）（令，.运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：的值域.（答：）；不等式法：利用基本不等式求函数的最值.如：设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（答：）.单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.如：求，的值域.（答：、）；数形结合：根据函
13、数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.如：（1）已知点在圆上，求及的取值范围.（答：、）；（2）求函数的值域.（答：）；判别式法：如：（1）求的值域.（答：）（2）求函数的值域.（答：）（3）求的值域.（答：）导数法：如：求函数，的最小值.（答:48）分离参数法：用2种方法求下列函数的值域：；（）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.（）恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.af(x)恒成立af(x)max,;af(x)恒成立af(x)min; （）任意定义在R上函数都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即f（x）其中g（x）是偶函数，h（x）
14、是奇函数O 1 2 3 xy如：（1）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_（答：）；（2）设的定义域为，对任意，都有，且时，又，求证为减函数；解不等式.（答：）21、导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率.Vs/(t)表示t时刻即时速度,a=v(t)表示t时刻加速度.如：一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_（答：5米/秒）22、导数应用:过某点的切线（即使点在曲线上）不一定只有一条；如：已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程.（答：或）.研究单调性步骤:分析y=定义域;求
15、导数;解不等式f/(x)0得增区间;解不等式f/(x)0得减区间;注意f/(x)=0的点；如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围_.（答：）；求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；）；（2）已知函数在区间1,2 上是减函数，那么bc有最_值_.（答：大，）（3）方程的实根的个数为_.（答：1）特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不
16、充分条件.（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为_（答：7）三、数列22、an=(注意验证a1是否包含在an的公式中)23、 如：若是等比数列，且，则 （答：1）24、首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理；(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？求一般数列an的最大、最小项的方法（函数思想）：an+1-an= 如：an= -2n2+29n-3； (an0) 如：an=； an=f(
17、n) 研究函数f(n)的增减性 如：an=；如：（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）25、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=等比数列中an= a1 qn-1;当q=1,Sn=na1 当q1,Sn=26、常用性质：等差数列中, an=am+ (nm)d, ;当m+n=p+q,am+an=ap+aq；等比数列中，an=amqn-m; 当m+n=p+q ，aman=apaq；如：（1）在等比数列中，公比q是整数，则= （答：512）；（2）各项均为正数的等比
18、数列中，若，则 （答：10）；27、常见数列：an、bn等差则kan+tbn等差；an、bn等比则kan(k0)、anbn、等比；an等差,则(c0)成等比，bn(bn0)等比,则logcbn(c0且c1)等差。28、等差数列三数可设为a-d,a,a+d；四数可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d；等比三数可设a/q,a,aq； 如：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）29、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m -
19、 S3m、仍为等差数列；等比数列an的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列.如：公比为-1时，、-、-、不成等比数列.30、等差数列an,项数2时,S偶-S奇nd，；项数2n-1时,S奇-S偶an ;，.31、求和方法：公式法、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.分组法：如：an=2n+3n ；错位相减法求和：如：an=(2n-1)2n；裂项法求和：如：求和： （答：）倒序相加法求和：如：求证：；已知，则32、求通项方法：（1）已知数列的前n项和，求通项，可利用公式：；如：数列满足，求（答：）（2）先猜后证；（
20、3）递推式为 (采用累加法)； (采用累积法)；如：已知数列满足，则=_；（答：）（4）构造法：形如、（为常数）的递推数列；如：已知，求（答：）； （5）倒数法：形如：的递推数列都可以用倒数法求通项如：已知，求（答：）；已知数列满足=1，求（答：）；（6）此外对数法,不动点法,特征方程法等.33、常见和：，四、三角34、与终边相同的角的集合(=2k+)；弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad)；如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：2） 35、函数y=b（）五点法作图；振幅?相位?初相?周期T=,频率?=k时奇函数;=k+时偶函数；对称轴处y取最
21、值,对称中心处值为0（余弦正切可类比）如：（1）函数的奇偶性是_（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则（答：5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_.（答：、）（4）已知为偶函数，求的值.（答：）变换:正左移负右移；b正上移负下移; 36、正弦定理：2R=；余弦定理：a=b+c-2bc,;内切圆半径：r=；面积公式：术语：坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度.方位角的取值范围是：0360,方向角等.37、同角基本关系：如：（1）已知，则_；（答：）（2）_（答：）38、诱导公式简记：奇变偶不变,符号
22、看象限(注意：公式中始终视a为锐角)39、重要公式： ；;；如：函数的单调递增区间为_（答：）巧变角：如，等.如：（1）已知，那么的值是_.（答：）；（2）已知为锐角，则与的函数关系为_.（答：）40、辅助角公式中辅助角的确定：(其中)如：（1）当函数取得最大值时，的值是_(答：)；（2）如果是奇函数，则= (答：2)；五、平面向量41、向量定义、向量模与夹角、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量是)、共线向量、相等向量.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）42、加、减法的平行四边形与三角形法则：;43、,44、向量数量积的性质：设两个非
23、零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；如：已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：或且）；45、向量在方向上的投影：cos；46、和是平面一组基底，则该平面任一向量(唯一)；特别：，则是三点P、A、B共线的充要条件.如：平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_（答：直线AB）47、在中，为的重心，特别地：为的重心；为的垂心； 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；SAOB;如：（1）若O是所在平面内一点，且满足，则
24、的形状为_（答：直角三角形）；（2）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_（答：2）；（3）若点是的外心，且，则的内角为_（答：）；48、P分的比为,则=；0内分；0且-1外分；向量式：；若1，则(+)；设P(x,y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则;中点重心(注:对空间向量也适用)49、点按平移得,则或 函数按平移得函数方程为：如：（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点 _.（答：（，）；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_.（答：）注：将向量按平移,会变化吗?为什么?六、不等式50、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：若ab0，则.即不等
25、式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变.如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论.如：已知，则的取值范围是_.（答：）；51、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；(8)图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.如：（1）设，比较的大小.（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号）；（2）设，试比较的大小。（答：）52、常用
26、不等式：（1）若，（当且仅当时取等号）；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）.如：如果正数、满足，则的取值范围是_（答：）基本变形： ； ；注：一正二定三取等；积定和最小,和定积最大.常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数的最小值 .（答：8）若若，则的最小值是_（答：）；正数满足，则的最小值为_（答：）；53、(何时取等？)；54、证法：比较法:差比:作差-变形(分解或通分配方)-定号.；商比综合法-由因导果;分析法-执果索因;反证法-正难则反.放缩法方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；利用常用结论：（）；（）
27、； （程度大）（）；（程度小）换元法：常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；最值法：如：afmax(x),则af(x)恒成立.55、解绝对值不等式：几何法(图像法)定义法(零点分段法);两边平方；公式法：|f(x)|g(x) ;|f(x)|0)参数方程:;直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 72、若(x0-a)2+(y0-b)2r2),则P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外) 73、直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，r相离;d=r相切;dr+R两圆相离;dr+R两圆相外切;|Rr|dr
28、+R两圆相交;d|Rr|两圆相内切;db0);参数方程；定义:=e2c；e=,a2=b2+c2；长轴长为2a，短轴长为2b；焦半径左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦点弦,右焦点弦；准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=；=,当P为短轴端点时PF1F2最大；近地a-c远地a+c；78、双曲线：方程(a,b0)；定义:=e1;|PF1|-|PF2|=2a0,Ax+By+C0表示直线斜上侧区域;Ax+By+C0,Ax+By+C0表示直线斜右侧区域;Ax+By+C0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM=;对抛物线y2=2px(p0)有KAB；84、轨
29、迹方程：直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法,点差法等.85、解题注意：考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误；求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法；焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程；运用假设技巧以简化计算：如：中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax2+Bx21;共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数,0);抛物线y2=2px上点可设为(,y0
30、);直线的另一种假设为x=my+a;解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.记得(椭圆),(双曲线)86、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,（8）给出,等于已知是的平分线/（9）平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）
31、在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；(14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;九、排列、组合、二项式定理87、计数原理：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出
32、的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合如：（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90）；88、排列数公式:=n(n
33、1)(n2)(nm1)=(mn,m、nN*),0!=1; =n!; n.n!=(n+1)!n!;89、组合数公式：=（mn）,;90、主要解题方法：优先法：特殊元素优先或特殊位置优先.如：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300）；.捆绑法：如：（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 （答：2880）；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20）；插空法：如：（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24）；（2）