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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高等数学习题详解-第4章-微分中值定理与导数的应用第3章 导数与微分习题4-11验证下列各题的正确性，并求满足结论的的值：(1) 验证函数在区间上满足罗尔定理；(2) 验证函数在上满足拉格朗日中值定理；(3) 验证函数在区间上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然在上连续，在内可导，且，又 ，可见在内，存在一点使(2) 在上连续，即知在内可导，由得，即在内存在使拉格朗日
2、中值公式成立.(3) 显然函数在区间上连续，在开区间内可导，且于是满足柯西中值定理的条件.由于 令得取则等式成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2不求导数函数的导数, 判断方程有几个实根，并指出这些根的范围. 解 因为所以在闭区间和上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在内至少存在一点使即是的一个零点；又在内至少存在一点使即是的一个零点.又因为为二次多项式，最多只能有两个零点，故恰好有两个零点，分别在区间和.3设函数是定义在处处可导的奇函数，试证对任意正数a，存在, 使 .证 因处处可导，则在上应用拉格朗日中值定理：存在，使.由是奇函数，则上式为, 故有.4应用拉格朗日中值
3、定理证明下列不等式：(1) 当时, ;(2) 若, 则.证(1) 当时,设则在上满足拉格朗日定理的条件.故 由且得：.(2) 若,不妨设，令则在上满足拉格朗日定理的条件.故 从而.5应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式：(1) ;(2) .证(1) 设, 又 即(2)设,因为，所以 ,是常数.又 , 即故 .6设函数在0, 1上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点, 使证 作辅助函数则在上满足柯西中值定理的条件，故在内至少存在一点使即 习题4-21写出函数在处的四阶泰勒公式.解 ， 于是所求泰勒公式为其中在1与之间.2. 写出函数在处的带皮亚诺余项的阶泰勒公式.解 ， 于是所
4、求的带皮亚诺余项的阶泰勒公式为3求下列函数的带皮亚诺余项的阶麦克劳林公式：(1) ； (2) .解 (1)因为所以.(2) 由 知故 .4. 用泰勒公式计算下列极限：(1) ； (2) . 解 (1) 又从而(2) 又从而.5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：(1) ； (2) . 解 (1) 上式中，取得以代入得，(取小数点后四位)其误差 . (2) .取得 (取小数点后四位)其误差 习题4-31计算下列极限：(1) ； (2) ; (3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) ;(13) ; (14)
5、;(15) ; (16) ;(17) ; (18) ; 解 (1) ； (2) =-2; (3) ； (4) =1；(5) ； =3(6) =-1；(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) ;(13) ; (14) ;(15) ,又故=; (16) =,又,故=1;(17) ; (18) .2. 设,，,求.解 .习题4-41判断函数的单调性. 解 又 在内， 函数单调减少；在内， 函数单调增加.2判断函数在区间的单调性. 解 ,在区间，函数单调减少.3求下列函数的单调区间：(1) ； (2) ； (3) ； (4) .解 (1) 解方程得当时， 在上单调增加；当时
6、， 上单调减少；当时， 在上单调增加.(2) ,解方程得，在内，在内单调减少；在内，在单调增加.(3) 令解得在处不存在.在内，函数单调增加；在内，函数单调增加；故函数在内函数单调增加；在内，函数单调减少； 在内，函数单调增加. (4) ,令解得在内，函数单调增加；在内，函数单调减少；在内，函数单调减少；在内，函数单调增加.4当时，应用单调性证明下列不等式成立：(1) ；(2) .证 (1) 令, 则 . 当时, 在上单调增加， 当时，即，故.(2)设则在上连续，且在内可导， 在上单调增加， 当时，即又设因为在上连续，在内可导，且当时，又 故当时，所以综上，当时，有，证毕.5证明方程有且只有一
7、个小于1的正根.证 令，因在闭区间连续，且.根据零点定理在内有一个零点,即方程至少有一个小于1的正根.在内， 所以在内单调增加，即曲线在内与轴至多只有一个交点.综上所述，方程有且只有一个小于1的正根.6求下列曲线的凹凸区间及拐点：(1) ； (2) ； (3) ；(4) .解 (1)函数的定义域为 令得0+00+凹的拐点凸的拐点凹的所以，曲线的凹区间为,凸区间为拐点为和(2) 函数的定义域为 函数在处不可导，但时，曲线是凸的，时，曲线是凹的.故凹区间为，凸区间为，拐点为；(3) 函数的定义域为 , 令得在，曲线是凹的；在，曲线是凸的；在，曲线是凹的.因此凹区间为,，凸区间为，拐点为和.(4)
8、函数的定义域为 , , ,令得在处不存在，在，曲线是凸的；在，曲线是凹的；在，曲线是凹的；故凹区间为,，凸区间为，拐点为.7利用函数的凹凸性证明：若，则不等式成立.证 令()，则所要证明的不等式改写为.因此问题转化为要证明在内为凹.由，因，故在内为凹，于是不等式成立.习题4-51求下列函数的极值：(1) ；(2) ; (3) ; (4) ;(5) ; 解 (1) ,令得驻点列表讨论如下：00极大值极小值所以, 极大值极小值.(2) ,令得驻点列表讨论如下：100极小值极大值所以, 极小值极大值.(3) 函数的定义域为，令得驻点，在内，在内单调减少；在内，在单调增加.所以,有极小值.(4) 令解
9、得在处不存在.在内，函数单调增加；在内，函数单调增加； 在内，函数单调减少； 在内，函数单调增加. 因此，有极大值极小值.(5) 由得驻点因故在处取得极小值，极小值为因考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:当取 左侧邻近的值时, 当取右侧邻近的值时, 因的符号没有改变，故在处没有极值.同理，在处也没有极值. 2. 设是函数的极值点，则为何值？此时的极值点是极大值点还是极小值点？并求出该值. 解 由,因是极值点，故,得=2,又,所以，是极大值点，极大值为：3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值：(1) , ;(2) , ;(3),.解 (1)解方程得计算.比较得最大值,最小值.(2) ,令得，
10、计算，.从而得最大值,最小值.(3) ，令在得驻点计算，.故得到，最大值为，最小值为 .4. 求下列曲线的渐近线：(1) ;(2) .解 (1)因, 得水平渐近线因 得铅直渐近线(2) 因, 得水平渐近线 因, 得铅直渐近线5. 作出下列函数的图形：(1) ；(2) ;(3) ;(4) .解 (略)AB甲变压器CD输电干线2km3km6km6. 设A、B两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？解 设变压器设在输电干线距C点x km处，由已知条件可得电线的总长度为求导，令，在内，得为唯一驻点,容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距
11、C点2.4 km处，所需电线最短.习题4-61某钟表厂生产某类型手表日产量为件的总成本为(元)， (1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？解 (1) 日产量为100件的总成本为(元)平均成本为(元). (2) 日产量为件的平均成本为，令，因，故得唯一驻点为.又，故是的极小值点，即当日产量为200件时，平均成本最低，最低平均成本为 (元).(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为 ，令，得唯一驻点为，此时，因此，要使利润最大，日产量应为400件，此
12、时的最大利润为(元)相应的平均成本为(元).2设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量(条)与其成本C的关系为(元),现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量. 解 利润函数为，求导，令，因，故得唯一驻点为，此时，因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为(元).3. 设某种商品的需求函数为, 求当需求量时的总收入, 平均收入和边际收入，并解释其经济意义. 解 设需求量件价格为的产品收入为由需求函数 得代入得总收入函数平均收入函数为 边际收入函数为 当时的总收入为 平均收入为 边际收入为 ，其经济意义是：当需求量为300件时，每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入.4设某工
13、艺品的需求函数为 (P是价格，单位：元, 是需求量，单位：件), 成本函数为 (元).(1) 求边际利润函数, 并分别求和时的边际利润，并解释其经济意义. (2) 要使利润最大，需求量应为多少? 解 (1) 已知，则有边际利润函数为当时的边际利润为当时的边际利润为可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元.(2) 令得故要使利润最大，需求量件，此时最大利润为 (元).5设某商品的需求量与价格P的关系为(1) 求需求弹性，并解释其经济含义; (2) 当商品的价格(元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？解 (1) 需求弹性为需求弹性为负, 说
14、明商品价格上涨1%时, 商品需求量将减少1.39%.(2) 当商品价格(元)时, 这表示价格(元)时, 价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%.6某商品的需求函数为(是需求量，P是价格)，求：(1) 需求弹性； (2) 当商品的价格时的需求弹性, 并解释其经济意义. 解 (1) 需求弹性为；(2) ,说明当时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %；，说明当时，价格与需求变动幅度相同；,说明当时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %.7已知某商品的需求函数为(是需求量，单位：件，P是价格，单位：元).(1) 求时的边际需求, 并解释其经济含
15、义. (2) 求时的需求弹性, 并解释其经济含义.(3) 当时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解 设需求弹性刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱.(1) 当时的边际需求它说明当价格为5元,每上涨1元,则需求量下降10件.(2) 当时的需求弹性它说明当时, 价格上涨1%, 需求减少1%.(3) 由 .又 ,于是由，得所以当时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值.(4) 由 所以当时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%.复习题4（A）1设函数在闭区间a, b上连续，在开区间(a
16、, b)内可导，则下式中不一定成立的是 A. ；B. ；C. ()；D. ().答：C2当x=时，函数取得极值，则a= A-2BCD2答：B3若在区间I上，则曲线在I是 A单调减少且为凹弧；B单调减少且为凸弧；C单调增加且为凹弧；D单调增加且为凸弧.答：D4曲线y= A既有水平渐近线，又有垂直渐近线；B只有水平渐近线；C有垂直渐近线x=1；D没有渐近线.答：C5用中值定理证明下列各题：(1) 设函数在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，且在(a, b)内，试证：对任意实数k, 存在使得.(2) 设函数在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，试证：存在，使得证 (1)
17、对任意实数k，设，显然在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，且，故在a, b 应用罗尔定理，存在使，即，整理得，即.(2)设，在闭区间a, b上应用拉格朗日中值定理，即令，故有 ，.6求函数的麦克劳林公式. 解 =7. 计算下列极限：(1) ； (2) ; (3) ； (4) .解 (1) ； (2) ；(3) 而，所以 原式=；(4) 所以 原式=.8问为何值时，点(-1,1)是曲线的拐点，且是驻点？解 ，由已知，得，得，点(-1,1)代入曲线方程：，得9. 证明方程 在区间内有两个实根.证令，（1）当时，即函数单调增加，而，例如，因此，函数在内有且只有一个零点，即方程在内有且
18、只有一个根；（2）当时，即函数单调减少，又，即于是，因此，所以函数在内有且只有一个零点，即方程在内有且只有一个根；综上，即证方程 在区间内有两个实根.10确定函数的单调区间，并求其在区间的极值与最值. 解 ,令得驻点列表讨论如下：100极大值极小值所以, 函数在，单调增加，在单调减少，极小值，极小值；又，因此得最大值,最小值. （B）1. 设，则有（）A是极大值；B是极小值；C是的极值；D点是曲线的拐点.答： D2. 设，则（）A是极值点，但(0, 0)不是曲线的拐点；B是极值点，且(0, 0)不是曲线的拐点；C不是极值点，但(0, 0)是曲线的拐点；D不是极值点，且(0, 0)也不是曲线的拐
19、点.答：B3. 设，证明方程有且只有一个小于的正根.证：因，则，即令，显然在连续，由，所以方程在内至少有一实根，又，在内，所以，于是，即函数在单调增加，至多与x轴有一个交点；因此，方程有且只有一个小于的正根.4. 设,，证明对任意，恒有.证 由，知单调减少，对任意，在上应用拉氏定理知,使在上应用拉氏定理知，使单调减少, 所以. 证毕. 5. 当时，证明不等式成立.证 令，当时，,又,()，故在单调增加， 由，故在有且只有一个零点，设为k.易知在内，在内, 因此点x=k必为的极小值点.从而在内，单调减少，即有时，于是有()在内，单调增加，即有时，于是有()因在和内，是函数的极小值，所以.综上即得，在内，于是，当时，不等式成立. 证毕.6. 已知，函数在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，证明在(a, b)内至少存在使得.证 在区间a, b上应用拉氏定理知，在(a, b)内至少存在一点使得，又，在a, b上满足柯西中值定理的条件，故在(a, b)内至少存在一点，使整理得：.因此得到，在(a, b)内至少存在使得. 证毕.-