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1、第三章 微分中值定理及导数的应用一、判断题1. 若定义在上，在内可导，则必存在使。（ ）2. 若在上连续且，则必存在使。（ ）3. 若函数在内可导且，则必存在使。（ ）4. 若在内可导，则必存在，使。（ ）5. 因为函数在上连续，且，所以至少存在一点使。（ ）6. 若对任意，都有，则在内恒为常数。（ ）7. 若对任意，都有，则在内。（ ）8. 若，则导函数有3个不同的实根。（ ）9. 若，则导函数有3个不同的实根。（ ）10. 若则。（ ）11. 若在内，都可导，且，则在内必有。（ ）12. 函数在R上是严格单调递减函数。（ ）13. 因为函数在处不可导，所以不是的极值点。（ ）14. 函数在
2、的领域内有，所以在处取得极小值。（ ）15. 函数在严格单调增加。（ ）16. 函数在严格单调增加。（ ）17. 方程在内只有一个实数根。（ ）18. 函数在严格单调增加。（ ）19. 函数在严格单调减少。（ ）20. 若则必为的极值点。（ ）21. 若为极值点则必有。（ ）22. 在处有，所以是的极值点。（ ）23. 若为曲线的拐点，则必有。（ ）24. 若，则必为函数曲线的拐点。（ ）25. 若在I上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I上是凹的。（ ）26. 曲线在区间（0,1）内是凸的。（ ）27. 曲线的图形处处是凹的。（ ）28. 曲线的拐点。（ ）29. 曲线在内是凸的，在内是
3、凹的。（ ）30. 曲线有水平渐近线。（ ）二、选择题1. 若在内可导，是内任意两点，且，则至少存在一点使（ ）A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中2. 函数在满足罗尔定理条件的等于（ ）A.-1B.0C.1D. 3. 函数在满足拉格朗日中值定理条件的等于（ ）A.B.0C.1D. 4. 函数在区间内满足罗尔定理的（ ）A.0B. C.D.15. 下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是（ ）A. B.不存在C.D.6. 函数（ ）A.在R上单调减少B.在R上单调增加C.在上单调减少D.在上单调增加7. ，则（ ）A.在内单调增加B.在内单调增加C.在内单调减少D.在内单调增加8. 函数（
4、）A.没有极值B.既有极大值也有极小值C.只有极大值D.只有极小值9. 若在区间内函数，则在内（ ）A.单调递减且凹的B.单调增加且凸的C.单调增加且凹的D.单调递减且凸的10. 若，在内，则在内有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ， 11. 要使点为曲线的拐点则值应为（ ）A. B. C. D. 12. 点是曲线的拐点，则（ ）A.B.C.D. 13. 曲线在（ ）A.在内是凸的，内是凹的B.在内是凸的，内是凹的C.在内是凸的，内是凹的D.在内是凸的，内是凹的14. 2是函数在上的（ ）A.极大值B.极小值C.最大值D.最小值15. 函数在上的最大值点及最小值点分别是（ ）A.1，0B.1
5、，2C.2，0D.2，1 16. 设则在内曲线单调（ ）A.递增凹的B.递减凹的C.递增凸的D.递减凸的17. 当，则曲线（ ）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线18. 曲线（ ）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线19. 曲线的渐近线（ ）A.为垂直渐近线，为水平渐近线B.为垂直渐近线，为水平渐近线C.为垂直渐近线，为水平渐近线D.为垂直渐近线，为水平渐近线三、填空题1. 若函数在上可导，则至少存在一点使得 。2. 函数在内满足罗尔中值定理的点是 。3. 函数在内满足罗尔中值定理
6、的点是 。4. 函数在内满足拉格朗日中值定理的点是 。5. 函数在内满足拉格朗日中值定理的点是 。6. 函数在内满足柯西中值定理的点是 。7. 函数在内满足柯西中值定理的点是 。8. 函数在区间内满足拉格朗日中值定理的点是 。9. 函数，在区间内满足柯西中值定理的点是 。10. 函数在上严格单调 。11. 函数在内的最大值点是 。12. 函数的极大值点是 ，极小值点是 。13. 曲线在区间 上是凸的。14. 曲线的拐点是 。15. 曲线的水平渐近线为 。16. 曲线的垂直渐近线为 。17. 曲线的水平渐近线为 。18. 曲线的水平渐近线为 。19. 曲线的斜渐近线为 。20. 曲线的垂直渐近线
7、为 。21. 曲线的斜渐近线为 。四、求解题1. 求函数的单调性和极值。2. 求函数的单调性和极值。3. 求函数的单调性和极值。4. 求函数的单调性。5. 求函数的单调区间并求极值。6. 求函数的单调区间并求极值。7. 求函数在上的最值。8. 求函数在上的最大值和最小值。9. 求在上的最值。10. 求在的最值。11. 求曲线的凸凹性及其拐点。五、证明题1. 设证明：2. 设，3. 证明。4. 设证明：5. 证明当时，。6. 当时，。7. 当时，。 8. 当时，9. 证明在内只有一个零点。六、应用题1. 一个房产公司有50套公寓需要出租，当租金每套每月为1000元时，公寓会全部租出，当租金每月增
8、加50元时，就会有一套公寓租不出去。租出去的房子需要每套花费100元的维护费。问房租定为多少可获得最大收入？2. 有一块边长为的正方形铁片，在每个角剪去一个边长同样的小正方形，然后将四角折起来，做成无盖的方盒。问为了使盒子体积最大，剪去小正方形的边长为多少的？3. 已知若每英亩种植20棵核桃树，则每年每棵树可以平均收获坚果60磅。据此估算核桃树的种植，若每英亩增加种植一棵树（最多增种15棵），则平均每棵树年减产量减少2磅。问每英亩种植多少棵树会使亩产最大？最大亩产是多少？4. 某工厂要建造一个容积为立方米的带盖圆柱体，问半径r和高h如何确定，则所用的材料最省？5. 某工厂要建造一个容积为立方米
9、的无盖圆柱体，问半径r和高h如何确定，则所用的材料最省？6. 要建一个体积为立方米的无盖圆柱形的桶，底面用铜制，侧壁用铁制，已知每平方米铁片造价是元，每平方米铜片造价是5元，问该桶的底面半径r多大时总造价最低，最低总造价是多少元？7. 某地区的防空洞的截面拟建成一个矩阵加一个半圆（矩形的宽及半圆的直径重合），截面的面积为5平方米。问底宽为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时最省材料？8. 铁路线上段的距离为100千米。工厂距处为20千米，。为了运输的需要，在线上一点处向工厂修建一条公里。已知铁路上每千米货运的运费及公路上每千米货运的运费比为3：5。为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在离开点距离多少？第 7 页