《高等数学（经济类）全书习题解答第4章（中值定理与导数应用）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学（经济类）全书习题解答第4章（中值定理与导数应用）.doc（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、习题解答习题 4.11. 验证罗尔定理对函数在区间上的正确性解： 因为在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得而知，. 由连续函数的介值定理知，确实存在使得2. 函数在区间上是否满足柯西中值定理的条件？若满足条件，求出定理中的.解容易验证在区间上满足柯西中值定理的条件又 ，而，即 ，化简上式得：，故3. 不用求出函数的导数，说明方程有几个根？并指出它们所在的区间.（1）解由于f(x)在(, )内连续、可导，且f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 0 所以 f(x)在0, 1、 1, 2、 2, 3上满足罗尔定理条件因此存在、，为的根由于得最高
2、次数为3，因此只有三个根，分别在(0, 1), (1, 2), (2, 3)内（2）解容易验证在区间上满足罗尔定理的条件，因此存在为的根（无数个）；其中4. 设实数满足，证明方程在内至少有一个实根证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导，且，所以满足罗尔定理的条件又，由罗尔定理知, 至少存在一点使得即方程在内至少有一个实根5. 利用中值定理证明下列不等式： （1） ；证明 (1)设, 则f(x)在b, a上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x( b, a), 使 f(a)-f(b)=f (x)(a-b), 即, 而 , 所以 （2） ；证明 （2）设f(x)=lnx, 则
3、f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x( a, b), 使 f(b)-f(a)=f (x)(b-a)， 即 . 因为 ， 所以 ， 所以. （3） ；证明 （3）设, 则在上连续, 在内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x, 使 , 即, 而 , 所以 （4） .证明 （4）设, 则在上连续, 在内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x, 使, 即：，因为，所以，从而所以 .6. 证明： 证明 设，因为 , 所以, 其中C是一常数. 取又因此 7. 若函数在区间内具有二阶导数，且，其中，证明：至少存在一点，使得证明：由题意可知在区间上连续, 在内可导，且
4、由罗尔定理，存在, 使类似地也存在, 使进一步，可知在区间上满足罗尔定理条件，因此存在，使得8. 设函数在闭区间上满足罗尔定理的条件，且不恒等于常数，证明：在内至少存在一点，使得证明：因为，且不恒等于常数，所以至少存在一点，使得不妨设，显然在闭区间上满足拉格朗日中值定理，于是至少存在一点，使得同理可证得情形9. f (x)在a, b上连续，(a, b)内可导，且f (a)=f (b)=0. 试证：在 内至少存在一点，使得证明：设，显然F(x)在a, b上连续，(a, b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理，至少存在一点，使得，即，从而10. 证明：若函数在内满足关系式，且，那么证明：
5、作辅助函数，易见在内连续可导，并且,所以, 其中C是一常数，即，. 又由知所以.习题 4.21.利用罗必达法则求下列极限：（1）；解：原式=.（2）；解：原式=.（3）；解：原式=.（4）； 解：原式=.（5）； 解：原式=-.（6）解：原式=.（7）解：原式=.（8）解：原式=.（9）；解：原式=2.（10）解：原式=（11）；解：原式=.（12）；解：原式=，又. 所以，原式=.（13）；解：原式=，又，所以，原式=.（14）；解：原式=，又=，所以，原式=（15）；解：原式=，又，所以，原式=（16）；解：原式=.（16）；解：原式=，又，所以，原式=.（18）；解：原式=e1.（19）
6、；解：原式=. 2.问与取何值时，有.解：因为极限为0，所以当x0时，分子极限为0，故3+a=0，a=-3，进一步，得3. 验证极限存在，但不能用罗必达法则计算出来解：原式=，所以，极限存在但是= 不存在，不能用罗必达法则4.设，其中具有二阶导数，并且，求解： .习题 4.31. 将多项式展开成的多项式解：因为， ，所以按的幂展开的多项式为 2. 应用马克劳林公式，按的幂展开函数解：因为， ， ，所以按的幂展开的多项式为 3. 求函数的阶带有拉格朗日型余项的马克劳林公式.解：因为，从而，4. 求函数的带有拉格朗日型余项的3阶马克劳林公式.解：，从而的3阶马克劳林公式为，5. 求函数按的幂展开的
7、带有皮尔诺型余项的阶泰勒公式.解：因为，所以6. 求函数的带有皮尔诺型余项的阶马克劳林展开式解：因为，从而.7. 求常数、的值以及的表达式，使下式成立 解：设，则 ，所以因此，8. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差： （1）；（3）解：（1）因为（介与之间），所以，而 （介与之间），因此. （2）；解：（2）因为，（介与之间），所以，而.（3）；解：（3）因为，（介与之间），所以 ，. 9.利用泰勒公式求下列极限:(1) (2) (3) 解(1) =0 (2) 设，则，故所以=1(3) 习题 4.41.确定下列函数的单调区间：（1）；解：（1）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表
8、得x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)y-0+0-y可见函数在(-, -1、1, +)内单调减少, 在-1, 1内单调增加（2）；解：（2）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)y-0+0-y可见函数在(-, -1、1, +)内单调减少, 在-1, 1内单调增加（3）；解：（3）函数的定义域为，令，得驻点，列表得：x(0, 1/2)1/2(1/2, +)y-0+y所以函数在(0, 1/2内单调减少, 在1/2, +)内单调增加（4）；解：（4）函数的定义域为，且， 令，得驻点，列表得：x(0, 1)1(1, 2)y+0-y所以函数在
9、0, 1内单调增加, 在1, 2内单调减少（5）；解：（5）函数的定义域为，且， 令，得驻点，列表得：x(-, -1)-1(-1, 1/2)1/2(1/2, +)y-0-0+y可见函数在(-, 1/2内单调减少, 在1/2, +)内单调增加（6）（）；解：（6）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：xy-0+0-y可见函数在, 内单调减少, 在内单调增加（7）；解：（7）函数的定义域为，且 令，得驻点，另外为函数的不可导点列表得：xy+不存在+0-不存在+y可见函数在, 内单调增加, 在内单调减少（8）；解：（8）函数的定义域为，且，令，得驻点，另外为函数的不可导点列表得：x(-, 0)0(
10、0, )(, +)y+不存在-0+y可见函数在, 内单调增加, 在内单调减少2.证明下列不等式：（1）当时，；证明：（1）设, 则f (x)在1, +)内连续因为所以f (x)在(1, +)内是单调增加的，从而当x1时f (x)f (1)=0, 即亦 . ()（2）当时，；证明：（2）设，则f (x)在0, p/2内连续，在(0, p/2)内可导因为所以f (x)在(0, p/2)内是单调增加的，从而当x0时f (x)f (0)=0, 即 再设，则g (x)在(0, p/2)内可导，并且所以g (x)在(0, p/2)内是单调减少的，从而当时，有，即，亦 综上所叙：当时， 有 （3）当时，；证
11、明：（3）设, 则f (x)在0, +)内连续因为所以f (x)在(0, +)内是单调增加的，从而当x0时f (x)f (0)=0, 即亦 . ()（4）当时，；证明：（4）设, 则f (x)在0, p/2)内连续因为， 令，由可知在0, p/2)是单调增加的，即从而，于是f (x)在0,p/2)内是单调增加的，有，即当时，（5）当时，；证明：（5）设，因为，故当时，单调增加，从而，即，亦即 ，.(6)当、为正整数，且时，证明：（6）设，则在上连续，且， 令，由 可知在（0, +)是单调减少的，即从而，于是f (x)在（0, +)是单调减少的因此当、为正整数，且时，有亦即 .3. 设常数，讨论
12、方程在内实根的个数解：设，则令，得驻点，当时，在上单调增加，；当时，在上单调减少，.故由零点定理知，在，内分别至少有一零点，由单调性，方程在内实根的个数为2.4. 单调函数的导函数是否必为单调函数？解：单调函数的导函数不一定是单调函数如，因为，并且在任何有限区间内只有有限个零点，因此在内为单调增加函数，但它的导函数在内却不是单调函数5. 求下列函数的极值：（1）； 解： (1) 函数的定义域为(-, +), 且 , 驻点为 列表x(-, 0)0(0, 1)1(1, +)y+0-0+y 7极大值6极小值 可见函数在x=0处取得极大值7, 在x=1处取得极小值6. （2）； 解：（2）函数的定义域
13、为(-, +), 且 , 驻点为 列表x(-,-3/2)-3/2(-3/2,-1/2)-1/2(-1/2, 1)1(1, +)y+0-0+0+y 0极大值-27/2极小值可见函数在x=-3/2处取得极大值0, 在x=-1/2处取得极小值-27/2 . （3）；解：（3）函数的定义域为(-1, +), 且 令，驻点为 列表x(-1, 0)0(0, +)y-0+y 0极小值 可见函数在x=0处取得极小值0.（4） ；解：（4）函数的定义域为(-, +), 且 , 驻点为，不可导点为列表x(-,-a)-a(-a,0)0(0, a)a(a, +)y-不存在+0-不存在+y 0极小值极大值0极小值可见函
14、数在处取得极小值0, 在处取得极大值 .（5）；解：（5）函数的定义域为(-, +), 且 ,驻点为，不可导点为列表x(-,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2, 5)5(5, +)y-不存在+0-0+y 0极小值极大值0极小值可见函数在处取得极小值0, 在处取得极大值 . （6） （）；p解：（6） , 驻点为列表x(-p / 2,p / 4)p / 4(p / 4, +p / 2)y+0-y 极大值可见函数在处取得极大值 .（7）；解：（7）函数的定义域为(-, +), 且 ，驻点为 ，由于，知为极大值；，知为极小值（8） .解：（8）函数的定义域为, 且 ，驻点为,列表x(0, 12
15、/5)12/5(12/5, +)y-0+y -1/24极小值可见函数在处取得极小值 .6. 问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值解：,， 要使函数在处取得极值, 必有, 即 ， . 当时, . 因此, 当时, 函数f (x)在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为.7. 求下列函数的最大值或最小值，如果都存在，均求出：（1），；解：（1），令, 得驻点为（其中不在定义域内）计算函数值得 ，.经比较得出函数的最大值为，最小值为.（2），；解：（2），在内，函数的驻点为，不可导点为. 计算函数值得，.经比较得出函数的最大值为，最小值为.（3），；解：（3），令, 得驻点
16、为计算函数值得 , , 经比较得出函数的最大值为，最小值为.（4），；解：（4），令, 得驻点为（其中不合）列表得 x(0, 1)1(1, +)y+0-y 极大值所以函数在x=1处取得极大值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极大值也就是最大值, 即函数在x=1处取得最大值, 最大值为.（5），. 解：（5），令, 得驻点为列表得x(-, )(, 0)y-0+y 极小值所以函数在处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在处取得最小值, 最小值为.8.把长为的线段截为两段，怎样截法能使以这两个线段为边所组成的矩形的面积最大?解：设截得一段长为x，则另一段长为l-x
17、，, 令得(0, +)内唯一驻点. 因为, 所以为极大值点, 同时也是最大值点.因此从中点处截，能使面积最大。9.从一块边长为的正方形铁皮的各角上截去相等的方块，作成一个无盖的盒子，问截去多少，方能使作成的盒子容积最大?解：设截去边长为x的方块，则盒子容积为, 令，因为，所以是(0, +)内唯一驻点. 因为, 所以为极大值点, 同时也是最大值点。因此截去边长为的小方块，能使作成的盒子容积最大。10.某厂每批生产某种商品个单位的费用为(元)，得到的收入为(元)，问每批生产多少个单位产品时利润最大?解： 令得(0, +)内唯一驻点x=250. 因为, 所以x=250为极大值点， 同时也是最大值点。
18、因此，每批生产250个单位产品时利润最大.11.设某厂每天生产某种产品单位时的总成本函数为(元), 问每天生产多少个单位的产品时，其平均成本最低?解：, 令得(0, +)内唯一驻点x=140. 因为, 所以x=140为极小值点, 同时也是最小值点.因此, 每日生产140个单位的产品时,平均成本最低.12.某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为，且最大需求量为6，其中表示需求量，表示价格.求使收益最大的产量、最大收益和相应价格.解： (0x6) 令得(0, +)内唯一驻点x=2. 因为, 所以x=2为极大值点， 同时也是最大值点。因此，使收益最大的产量x=2、最大收益、相应价格.
19、13.某工厂生产某产品，日总成本C中固定成本为100个单位，每多生产1个单位产品，成本增加20个单位，该商品的日需求量为，其中p为产品单价。求日产量为多少时工厂日总利润最大?解：L=pQ-C=20(17-Q)Q-(100+20Q)=-20Q2+320Q-100 令得(0, +)内唯一驻点Q=8. 因为, 所以Q=8为极大值点， 同时也是最大值点.因此, 日产量为8个单位时, 工厂日总利润最大.14.某商场每年销售出某商品2400件(设商场均匀销售)，每件成本150元，一件产品库存一年所需库存费为其成本的2%，每次订货需花费100元，问全年分多少批定货产品的定货费与库存费之和最小，并求出最小费用
20、.解：设全年订货费与库存费之和为C，批次为x，则 , 令得(0, +)内唯一驻点x=6. 因为, 所以x=6为极小值点, 同时也是最小值点。因此，全年分6批订货费用之和最小，最小费用为C(6)=1200元. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租当月租金定为1000元时，公寓能全部租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，问房租定为多少元时可获得最大收入？解：设房租定为x元, 纯收入为R元. 当x1000时, R=50x-50100=50x-5000, 且当x=1000时, 得最大纯收入45000元. 当x1000时, , . 令R=0得
21、(1000, +)内唯一驻点x=1800. 因为, 所以x=1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R=57800. 因此, 房租定为1800元可获最大收入.习题 4.51. 求下列曲线的凹凸区间与拐点（1）； 解：（1）函数的定义域为(-, +), 且，. 令y=0, 得. 列表得x(-, )(, +)y-0+y拐点所以曲线在(-,内是凸的, 在, +)内是凹的, 拐点为 (,).（2）；解：(2) 函数的定义域为(-, +), 且， .令y=0, 得. 列表得x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)y-0+0-yln2拐点ln2拐点可见曲线在(-, -1和1, +)内是凸
22、的, 在-1, 1内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(3) ；解：(3) 函数的定义域为，且，列表得x(-, 0)(0, +)y+-y可见曲线在(-,0)内是凹的, 在(0, +)内是凸的（4）；解：(4) 函数的定义域为, 且， .令y=0, 得. 列表得x(-, -1)(-1, 2)2(2, +)y-0+y拐点可见曲线在(-, -1)和(-1, 2内是凸的, 在2, +)内是凹的, 拐点为 (2, ).（5）； 解：(5) 函数的定义域为, 且， .令y=0, 得，不可导点为列表x(-, -2)-2(-2, 0)0(0, +)y-0+不存在-y拐点1拐点可见曲线在(-
23、, -2和0, +)内是凸的, 在-2, 0内是凹的, 拐点为、.（6）； 解：(6) 函数的定义域为, 且， .令y=0, 得，不可导点为列表x(-, -1/5)-1/5(-1/5, 0)0(0, +)y-0+不存在+y拐点1非拐点可见曲线在(-, -1/5内是凸的, 在-1/5, 0和0, +)内是凹的, 拐点为2. 问和为何值时，点是曲线的拐点？解： y=3ax2+2bx, y=6ax+2b . 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, 3.已知函数在点处取得极值，且点是曲线的拐点，求常数的值解
24、：，依条件有，即，解之得： 4.证明曲线有三个位于同一直线上的拐点证明：令，得.当时，因此曲线在内是凸的当时，因此曲线在内是凹的当时，因此曲线在内是凸的当时，因此曲线在内是凹的所以曲线有拐点、由于 ，因此这三个拐点位于同一直线上5.求下列曲线的渐近线：（1）； 解：（1），所以函数有水平渐近线和铅直渐近线（2）；解：（2），所以函数有水平渐近线 （3）；解：（3），所以函数有铅直渐近线x =1、x =-1（4）；解：（4），所以函数有水平渐近线和铅直渐近线（5）解：（5），所以函数有铅直渐近线x =1、x =-16*.求下列曲线的渐近线：（1）； 解：，所以函数有铅直渐近线x =1=1=a，b
25、=2，所以x+时曲线有斜渐近线y = x +2（2）；解：=+，=0所以x-时曲线有水平渐近线=1=a，b=ln1=0，所以x+时曲线有斜渐近线y = x（3）；解：，所以函数有铅直渐近线x =0= e =a，（原已改为）b=ee0，（作变换方便）所以曲线有斜渐近线y = ex 习题 4.61.作出下列函数的图形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(有斜渐近线).解：略习题 4.71. 生产某产品，每日固定成本为100元，每多生产一个单位产品，成本增加20元，该产品的需求函数为，试写出日总成本函数和总利润函数，并求边际成本函数和边际利润函数解日总成本函数为，日边际成本函数为由得，于是，日总
26、利润函数为 日边际利润函数为2.某商品的需求量Q为价格p的函数 （1）求时的边际需求，并说明其经济意义；（2）求时的需求弹性，并说明其经济意义；（3）求时，若价格下降2%，总收益是增加还是减少？变化百分之几？ 解（1）因为边际需求函数为，故当时的边际需求为，其经济意义为：当价格为6时，价格上涨1个单位，需求量约减少24个单位（2）因为需求弹性函数为 故当时的需求弹性为，其经济意义为：当价格为6时，价格上涨1%，需求量约减少1.85%（3）由有即当价格为6时，价格再下降2%时，总收益约增加1.69%3.求下列函数的弹性(其中、为常数)：(1) (2) (3) (4)解：(1) (2) (3) (
27、4) 4.指出下列需求关系中，价格取何值时，需求是高弹性或低弹性的: (1) (2) 解：(1) x0 0p41，时,需求是高弹性的时,需求是低弹性的(2) 0得p 10所以，当 10 p 20时，高弹性，降低价格反而使总收益增加.9. 设某产品的需求函数为Q=Q(p)，收益函数为R=pQ，其中p为产品价格，Q为需求量(产品的产量)，Q(p)是单调减函数。如果当价格为p0对应产量为Q0时，边际收益，收益对价格的边际效应，需求对价格的弹性，求p0和Q0 . 解由R=pQ得，将代入得故 又由R=pQ得，将代入得故 10.某商品进价为a(元/件)，根据以往经验，当销售价为b(元/件)时，销售量为c件
28、(a, b, c均为正常数，且)，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价，试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。解：设p表示降价后的销售价，x为增加的销售量，L(x)为总利润，则 ， 解得从而 令得唯一驻点 ，所以x0为极大值点，也是最大值点。 故定价为(元)时得最大利润 (元)11. 设在上连续，在内二阶可导，过点与的直线与曲线相交于点，其中，证明在内至少存在一点，使得证明：因为在和上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在和，分别使得， ，由于点在弦上，故有从而有 ， 由即题设条件知，在上满足罗尔定理条件，故存在，使，这就证明了在内至少存在一点，使得12. 设在上连续，在内可导，且、，证明: 对任意实数，在内存在，使证明：设函数，不妨假设，则，故，由连续函数的介值定理知，存在使，,于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使，即有由于，故有 .13.已知函数在区间上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使得证明：设辅助函数，则在区间上连续，在内可导，且，于是从而在上满足罗尔定理条件，故存在，使，即有.故有，亦即.14. 设是大于1的常数，且，证明对任意，有证明：设辅助函数，则在上二阶可导，且 ，令得到唯一驻点. 因为，所以是的极小值点，也是最小值点从而，当时，有，即 .50