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1、二、系统解法：零输入响应和零状态响应二、系统解法：零输入响应和零状态响应一、经典解法：微分方程的求解一、经典解法：微分方程的求解复习：复习：零输入响应：零输入响应：为齐次解，初始条件不跃变，即为齐次解，初始条件不跃变，即)0()0()0()0( yyyyxx零状态响应：零状态响应：令初始状态为零，即令初始状态为零，即0)0()0( yy零状态响应零状态响应 = = 齐次解齐次解+ +特解特解由系数匹配法定由系数匹配法定)0()0( yy、.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应的概念及求解一、冲激响应的概念及求解主要内容：主要内容：二、阶跃响应的概念及求解二、阶跃响应的概念及求解
2、 重点：重点：冲激响应和阶跃响应的求解冲激响应和阶跃响应的求解冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应n2.2.1 冲激响应冲激响应n一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号为单位冲激信号(t)所引起的响应称为所引起的响应称为单位冲激响单位冲激响应，简称冲激响应，用应，简称冲激响应，用h(t)表示表示。亦即，冲激响应。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号是激励为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示。其示意图如下图所示。 冲激响应示意图冲激响应示意图 0t(t)(1)线 性 非 时变 系 统(t)h(
3、t)(0) 0th(t)0一、冲激响应一、冲激响应1.定义：当激励定义：当激励f(t)= (t)时时LTI系统的零状态响应系统的零状态响应激励激励f(t)= (t)；系统的零状态响应。系统的零状态响应。2.求解：求解： 将冲激信号的作用转换为系统的初始条件，冲激信号的作用转换为系统的初始条件， 然后求冲激响应。然后求冲激响应。思路：思路：冲激响应用冲激响应用h(t)表示。表示。（1 1）写出系统微分方程。）写出系统微分方程。（2 2）写出微分方程的齐次解。）写出微分方程的齐次解。（3）在微分方程中利用）在微分方程中利用 (t)匹配的方法定初匹配的方法定初 始条件，即：始条件，即：h(0+)（4
4、 4）将初始条件代入，确定待定系数，得到）将初始条件代入，确定待定系数，得到 冲激响应。冲激响应。步骤：步骤：n1.1.冲激平衡法冲激平衡法n冲激平衡法是冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲根据此规则即可求得系统的冲激响应激响应h(t)。 n例例: :已知某线性时不变系统的动态方程式为已知某线性时不变系统的动态方程式为( )3 ( )2 ( )(0)dy ty tf ttdt试求系统的冲激响应试求系统的冲激响应h(t)
5、。 n解解: :根据系统冲激响应根据系统冲激响应h(t)的定义，当的定义，当f(t)=(t)时，时，即为即为h(t)，即原动态方程式为即原动态方程式为n由于动态方程式右侧存在冲激信号由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应这样冲激响应h(t)必为必为Aetu(t)的形式。考虑到该动的形式。考虑到该动态方程的特征方程为态方程的特征方程为( )3 ( )2 ( )(0)dh th tttdt30)0()0( yy、解得解得A=2，因此，系统的冲激响应为因此，系统的冲激响应为)(2)()
6、(2)(3)(3)()(2)(3)(33333ttAttAetAetAettAetAedtdttttt n特征根特征根1=-3，因此可设因此可设 ，式，式中中A为待定系数，将为待定系数，将h(t)代入原方程式有代入原方程式有)()(3tAetht )(2)(3tetht n2. .等效初始条件法等效初始条件法n系统冲激响应系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。等效初始条件法。冲激响应冲激响应h(t)是系统在零状态是系统在零状态条件下，受单位冲激信号条件下，受单位冲激信号(t)激励所产生的响应，激励所产生的响应，它属于零状态响应。它属于零状态响应
7、。 n例例: :已知某线性非时变已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为系统的动态方程式为n y(t)+3y(t)=2f(t)，t0n试求系统的冲激响应试求系统的冲激响应h(t)。n解解: :冲激响应冲激响应h(t)满足动态方程式满足动态方程式n h(t)+3h(t)=2(t)，t0 n由于动态方程式右边最高次为由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左故方程左边的最高次边的最高次h(t)中必含有中必含有(t)，故设故设n n因而有因而有 n将将h(t)与与h(t)分别代入原动态方程有分别代入原动态方程有n n解得解得 A=2，B=-6)()()(tBtAth )(2)()3()()(2)
8、(3)()(ttABtAttAtBtA )()(tAth )(2)(tth n3.3.其它方法其它方法n系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。的外部激励无关。但系统的冲激响应但系统的冲激响应h(t)可以可以由冲激信号由冲激信号(t)作用于系统而求得。在以上两种作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应求解系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系的过程中，都是已知系统的动态方程。统的动态方程。 例例2.2-1 求二阶求二阶LTI系统的冲激响应。系统的冲激响应
9、。)()(6)(5)(tftytyty 分析：根据冲激响应的概念，该题目隐含了以分析：根据冲激响应的概念，该题目隐含了以下条件：下条件：0)0()0()()(yyttf)()(6)(5)(tththth 0)0()0(hh)()()(32teethtt解解例例2.2-2 求二阶求二阶LTILTI系统的冲激响应。系统的冲激响应。)(3)(2)()(6)(5)(tftftftytyty 解：利用系统的线性和微分性质求解解：利用系统的线性和微分性质求解)()(6)(5)(111tththth 设设则则)(3)(2)()(111thththth )()(6)(5)(111tththth 0)0()0(
10、11hh)()()(1tBtAth )()(1tAth0)(1th51BA0)0(1)0(11hh)()()(321teethtt)(3)(2)()(111thththth )()()(321teethtt)()32()()()()32()(3232321teeteeteethtttttt)()()94()()32()()94()(3232321tteeteeteethtttttt )()()63()(32tteethtt左边为左边为n阶，右边为阶，右边为m阶的微分方程：阶的微分方程：)()(6)(5)(tftytyty )()()(32teethtt当当n m时：时：当当n =m时：时：)(
11、3)(2)()(6)(5)(tftftftytyty )()()63()(32tteethtth(t)具有自由响应（齐次解）的形式。具有自由响应（齐次解）的形式。h(t)有自然响应的形式并含有冲激有自然响应的形式并含有冲激 (t)。n2.2.2 阶跃响应阶跃响应n一线性非时变系统，一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用简称阶跃响应，用g(t)表示表示。阶跃响应是激励为单。阶跃响应是激励为单位阶跃函数位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图时，系统的零状态响应，
12、如图2.17所示。所示。 线 性 非 时变 系 统g(t)(0) 001tu(t)g(t)0tu(t)阶跃响应示意图阶跃响应示意图 二、阶跃响应二、阶跃响应1 1. .定义：当激励定义：当激励f(t)= (t)时时LTILTI系统的零状态响应系统的零状态响应激励激励f(t)= (t)；系统的零状态响应。系统的零状态响应。阶跃响应用阶跃响应用g(t)表示。表示。2.阶跃响应和冲激响应的关系：阶跃响应和冲激响应的关系： dttdgthdhtgt 对于同一个对于同一个LTI系统系统3. 阶跃响应的求法：阶跃响应的求法： 1）经典法；）经典法； 2）从冲激响应求阶跃响应。）从冲激响应求阶跃响应。n如果
13、描述系统的微分方程式是如果描述系统的微分方程式是ny(n)(t)+an-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) ，n将将 代入，可求得其特解代入，可求得其特解n上的特征根上的特征根i(i=1，2，n)均为单根，则系统的阶均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式跃响应的一般形式(nm)为为 )(00tab )()(ttf )()()(001tabectgtniii 信号的时域分解信号的时域分解一、信号分解为冲激信号的叠加：一、信号分解为冲激信号的叠加：在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分在信号分
14、析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。的一个实例。 )()()2()2()()()()0( ktkftftftft0 f(t)t)()()2()2()()()()0( ktkftftftfkktkftf)()()( dtftf)()()(0 任意任意f(t)可用无穷多个冲激
15、函数之和（积分）表示。可用无穷多个冲激函数之和（积分）表示。二、信号分解为阶跃信号的叠加：二、信号分解为阶跃信号的叠加：tf(t) t 0 .)1(.2)(20)(0.)(tkttkftkftttftfttftfttfftf dtftfttkttkftkftkttkftkftttftfttftfttfftftnk,01.)1(.2)(20)(0.)(时当 三、偶分量与奇分量三、偶分量与奇分量)()(tftfee)()(tftfoo)()(21)()()(21)()()()()(21)()(21)()()()(21)(tftftftftftftftftftftftftftftftftfoeoe