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1、 自由振动自由振动微分方程0m xc xkx20nxx/nkrad sm2nfHzsinnxAt22200nxAx00arctannxx单自由系统的振动分析 无阻尼自由振动方程： 方程解： 固有圆频率固有圆频率： 固有频率固有频率：MCK0 例：求倒摆的振动微分方程和固有频率22sintansin32MLLmLMgKaamgL22203MK amL gMmL 222/3nMK amL gradsMmLmgMg系统运动方程：化简上式，得振动微分方程：固有频率：弹簧等效并联并联kKeq2串联串联Ox2/kKeql 以静平衡位置为原点，列运动微分方程： 单自由度有阻尼自由振动220nnxxxmgxc
2、xkxm mkn固有圆频率固有圆频率mkc2阻尼比阻尼比0kxxcxm 单自由度有阻尼自由振动txBe2220nn 22221,224412nnnn 运动方程的解常系数线性齐次微分方程通解特征方程解得其特征根为220nnxxx单自由度有阻尼自由振动121n 当时，12ntxBB t e解的讨论：解的讨论：121当时， 、都是负实数2212111212nnttttxBeB eBeB e 21,21n不属于振动不属于振动不属于振动不属于振动单自由度有阻尼自由振动1当时222211121112nnnnnjtjtjtjttxB eB eeB eB e cossinj tetjtcossinj tetj
3、t21dn 有阻尼固有圆频率21,21nj)sin(tAexdtn12BB与共轭1212cossinntddxeBBtj BBt单自由度有阻尼自由振动cossinj tetjt100tg x100tg x)sin(tAexdtn单自由度有阻尼自由振动对数衰减率33sinsinn initid itTiTd ixAetxAet33nTiiTxex3ln3iniTxTxit3itTlnini TxTx对数衰减率对数衰减率单自由度有阻尼自由振动利用对数衰减率求阻尼比2122dnnTlnini TxTx224简谐激励下的强迫振动sinmx cx kxFt( )( )( )hsx txtxt 振动微分方
4、程 F： 激振力幅值 ：激振力频率通解齐次方程通解非齐次方程特解单自由度系统简谐激励下的强迫振动 振动微分方程 齐次方程通解 A：振幅 ：阻尼比 ：有阻尼固有圆频率 ：相位角sinmx cx kxFt( )sin()nthdx tAet21dn 简谐激励下的强迫振动 振动微分方程 用复指数法求特解 sinmx cx kxFt( )sx tcossinj tetjt jtFtFe设激振力假定方程的特解为( )j tsx tXe简谐激励下的强迫振动假定方程的特解为式中 为复振幅。代入振动微分方程有X2()j tj tmj ck XeFe2jFXXekmj c式中X为振幅，是复振幅 的模，即 222
5、2()FXXkmcX( )j tsx tXe从而得到为相角，是复振幅 的幅角，有X12tancarctgXkm简谐激励下的强迫振动方程的通解为2222( )( )( )sin()sin()()nhstdx tx tx tFAettkmc由初始条件 可以确定待定参数A和 000,0 xxxx( )jtj tsx tXeXe因此，方程的特解简谐激励下的强迫振动 随着时间的增加，xh(t)将趋于消失，所以将有式中，等效静位移 频率比 振幅放大因子2222( )( )sin()()sFx tx ttkmc22222222220222()(1)(1)(2)nFFXkmckckX0XF k22201(1)
6、(2)XMX/n 简谐激励下的强迫振动22201(1)(2)XMX/n 等效静位移0XF k简谐激励下的强迫振动*2*max201 21121dMdMM共振条件旋转不平衡质量引起的强迫振动22222 22 22()(1)(2)memeMXkMc单自由系统单自由系统 emtoMmxo2222()(sin)d xdMmmxetcx kxdtdt 系统的振动微分方程2sinM xc xkxmet( )sin()x tXt方程稳态响应可表示为：对比参考力载荷强迫振动 2222()FXkmc2me系统的振动放大因子为：2222(1)(2)MXme*2*2max0111 2121dXMdmeXMMme22
7、222 22 22()(1)(2)memeMXkMc基础运动引起的强迫振动单自由系统单自由系统 ()()mxk xyc xy 系统的振动微分方程为mx cx kx cy ky( )jtx tX e用复指数法求解，用yejt代换ysint，设2jkj cXYXekmj c代入上述方程得基础运动引起的强迫振动式中X为振幅， 为响应与激励之间的相位差32222tan14 22221 (2)(1)(2)XY2jkj cXYXekmj c( )sin()x tXt稳态响应为（虚部）22221(2)(1)(2)XY振动放大因子基础运动引起的强迫振动X/Y和 以 为参数，随 变化的曲线如下图所示当 和 时，
8、 ，与 无关；021X Y 当 时 ，有减振效果，但阻尼小位移响应反而大。2XY22221(2)(1)(2)XY当 时 ，振动被放大，阻尼大时共振小。2XY隔振l隔振积极隔振：把振源与地基隔离开来以减少它对 周围的影响而采取的隔振措施。消极隔振：为了减少外界振动对设备的影响而采取的隔振措施。积极隔振 经隔振装置传递到地基的力有两部分： 弹簧传给地基的力 阻尼传给地基的力sin()sFkxkXtcos()dFcxc Xt 和 频率相同相位差sFdF2222()()1 (2)TFkXc XkX传给地基的力的最大值传给地基的力的最大值由于在 作用下，系统稳态响应的振幅为则sinFt222(1)(2)
9、FXk222221 (2)1 (2)(1)(2)TFFkX22221 (2)(1)(2)TFFTF评价积极隔振效果的指标是力的传递系数力的传递系数积极隔振隔振后系统稳态响应的振幅为 评价消极隔振效果的指标为 22221 (2)(1)(2)XY22221 (2)(1)(2)DXTY位移传递系数位移传递系数消极隔振 位移传递系数 和力传递系数 的表达式是完全相同的。 令 ， 叫做传递系数，随 和 的变化曲线如下图。DTFTFDRTTTRT22221 (2)(1)(2)RT传递系数1）无论阻尼比为多少，只有在 时才有隔振效果；2 2）对于某个给定的 值，当阻尼比减小时，传递系数也减小。2两点主要结论
10、：两点主要结论：消极隔振与积极隔振非简谐激励作用下的系统响应各种非简谐激励（一）周期激励作用下的强迫振动任意周期激励F(t)总可以展开为傅里叶级数（三角级数）01a(t)=cossin2nnnFan tbn t( )mxcxkxF t()( )F tTF t0002( )tTtaF t dtT002( )costTntaF tn tdtT002( )sintTntbF tn tdtT其中：n=1,2, t0可以任意选取=2/T为周期激励的基频（一）周期激励作用下的强迫振动 对于线性系统，应用叠加原理，各激励力共同作用所引起的系统稳态响应等于各激励力单独作用时引起的系统各稳态响应的和。 于是，稳
11、态响应为：022221cossin( )212nnnnnan tbn tax tkknn 1221nntgn 为相角01a(t)=cossin2nnnFan tbn tl 1.由频率为 与 的两个简谐运动所组成的运动是周期为 的非简谐周期运动。l 2.频率为 、 、 、的运动响应为高次谐波，频率为 的项为基波。（一）周期激励作用下的强迫振动2342 总结与说明22 2022221cossin( )212nnnnnan tbn tax tkknn =2/T为周期激励的基频（二）任意激励作用下的振动响应非简谐非周期任意激励举例（二）任意激励作用下的振动响应t冲击激励下振动系统的响应 很短。 过后，
12、物体来不及发生位移，但获得了初速度。由冲量定理，有：dd( )0Fdmxm系统在 时刻突然受到冲击，脉冲冲量为 。Fdt解得：( )( )Fxdm（二）任意激励作用下的振动响应( )0 x( )( )Fxdm000sincosntndddxxxetxt有阻尼系统自由振动解0( )sinntddxFetdmtt（二）任意激励作用下的振动响应( )0 x( )( )Fxdm有阻尼系统自由振动解tt0( )sinntddxFetdm（二）任意激励作用下的振动响应0(0)xx任意激励下振动系统的响应原理：把任意激励分解为许多脉冲。线性系统满足叠加原理，可 积分得到系统对任意激振力的响应。0(0)xx(
13、)00001( )cossin( )sin()nntttndddddxxx texttFetdm自由衰减振动Duhamel积分tt0( )sinntddxFetdm（二）任意激励作用下的振动响应例初始时系统静止求：无阻尼系统对如左图激励的响应00000sin()cos()1 costnntnnFxtdmFtkFtk解：F(t)()00001( )cossin( )sin()nntttndddddxxx texttFetdm（二）任意激励作用下的振动响应例01 cos0nFxttk在阶跃载荷作用下，无阻尼系统响应的第一项为静变形，第二项为简谐振动。（二）任意激励作用下的振动响应10tt 当时，系统响应与上例相同；例求：无阻尼系统对如左图激励的响应解：1tt当时，1100011sin0 sincoscosttnntnnnnFxtdtdmmFtttk分段法：（二）任意激励作用下的振动响应010111 cos0coscosnnnFtttkxFtttttk 01 cos0nFxttk