系统的稳定性分析ppt课件.ppt

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1、 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 0引言：引言：1、稳定性是控制系统的首要问题。、稳定性是控制系统的首要问题。2、经典理论判稳方法及局限性。、经典理论判稳方法及局限性。A、直接判定：单入单出系统中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。B、间接判定：方程求解对非线性和时变通常很难。 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定

2、性分析 1线性系统稳定性分析的理论框架线性系统稳定性分析的理论框架 第一第一方法方法第二第二方法方法稳定性分析稳定性分析1892年俄国数学年俄国数学家李雅普诺夫家李雅普诺夫SISO的代数的代数分析方法分析方法解析解析方法方法Routh判据判据Houwitz判据判据根据根据SISO闭环特征闭环特征方程的系数判定系方程的系数判定系统的稳定性统的稳定性根据状态方程根据状态方程A阵判阵判定系统的稳定性定系统的稳定性 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 2 3、现代控制理论判稳方法：现代控制理论判稳方法：俄李雅普诺夫

3、稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。 李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。23岁大学毕业后留校工作，师从切比雪夫。35岁获博士学位并成为教授。43岁当选为圣彼得堡科学院通讯院士，而后分别当选为意大利国立林琴科学院，巴黎科学院外籍院士。 李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名。在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机算子等等。1857-1918 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统

4、的稳定性分析 3 3、现代控制理论判稳方法：现代控制理论判稳方法：4、本章内容：李氏第二法及其应用。本章内容：李氏第二法及其应用。李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李氏函数 V(x)，根据 V(x)的性质判稳。对任何复杂系统都适用。李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判稳间接法 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 44.1 基本定义基本定义0021)(),(),()(),(, 0),(xtxtxxxfxntxfntxtxfxuutxfxni初始状态维向量也是维向量，为则输入无关。种动态属性，与外部

5、稳定性是系统本身的一设一、系统：000)(,),()(xtxAxxtxttx如线性定常：解：几个稳定性概念几个稳定性概念 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 5 (, )0ef x t 如果对于所有t 总存在着ex则称为系统的平衡状态。定义 平衡状态：),(txfx 对于动态系统 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 6 平衡态 平衡态 平衡态 从定义可知, 平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。 由

6、于导数表示的状态的运动变化方向, 因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态, 如图所示。平衡状态的个数？ 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 7如果 A 非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态如果 A 奇异阵，则有无穷多个平衡点(1) 线性定常系统)()(tAxtx(2) 非线性系统0),(txfxe) 10(),10(),00(平衡点 不只一个，可能有多个例系统 中，有几个平衡点？3221211xxxxxxex皆为系统的平衡点0)(tAxe若xe为系统的平衡点，则 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定

7、2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 8三、范数：三、范数：衡量（度量）状态空间距离的大小向量 x 的长度称为向量 x 的范数：22221nxxxx0)()(2211，作限定在某一范围时，记与的距离为：与向量eeenneeexxxxxxxxxxxx）一个球，记作为半径的为球心，以表示以维状态空间中，几何意义：在(Sxne 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 9李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定在 f 作用下，x 偏离 xe 有三种有界x xe 无界

8、系统稳定的分类： 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 10 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 11 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要 就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。 上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处。 1李李氏氏意意

9、义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 12 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 13 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。 从工程意义来说, 渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为重要。 由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念, 只确定平衡态渐近稳定性

10、,并不意味着整个系统能稳定地运行。对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 14非线性系统，多个xe线性只要渐近稳定（只有一个xe )一定是整个状态空间的渐近稳定。xe 是渐近稳定，且其渐近稳定范围是整个状态空间。3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定 如果平衡状态 xe是稳定的，而且从所有初始状态出发的轨迹线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态 xe 大范围渐近稳定。 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学

11、机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 15 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 4.2 李雅普诺夫第一法4.2.1 线性系统的稳定判据线性定常系统（1） 平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵 A 的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性输出稳定性。 如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出输出稳定稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数： 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳

12、定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 17 试建立如图所示的小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一个平面内运动，其不考虑磨擦、摆杆的质量和空气阻力。解：建立平衡方程）（1sincos)(2umlmlymM )2(sincossincoscos22mgmlmlym 的极点全部位于s 的左半平面。应用：倒立摆 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 184321432143210001/10/100/)(0010000/000010 xxxxyuM

13、lMxxxxMlgMmMmgxxxx4321432143210001101001100100001000010 xxxxyuxxxxxxxx设 M = 1，m = 0.1，l = 1 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 19 a=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0a = 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 11 0 eig(a)ans = 0 0 3.3166 -3.3166系统矩阵存在正极点，系统不稳定 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦

14、门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 4.2.2 非线性系统的稳定性设系统的状态方程为： 为其平衡状态； 为与 同维的矢量函数，且对工具有连续的偏导数。 为讨论系统在 处的稳定性，可将非线性矢量函数 在 邻域内展成泰勒级数，得： 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 式中， 为级数展开式中的高阶导数项。而称为雅可比(Jacohian)矩阵。 若令 ，可得系统的线性化方程： 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定

15、性分析系统的稳定性分析 在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论： 1) 如果线性化后系数矩阵 A 的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式在平衡状态 是渐近稳定的，而且系统的稳定性与 无关。 2) 如果 A 的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。 3)如果 A 的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态 的稳定性将取决于高阶导数项 ，而不能由A的特征值符号来确定。 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 23能量函数能量函数小干扰小干扰具有

16、一定势能具有一定势能势能、动能和热能势能、动能和热能相互转化相互转化趋向平衡点趋向平衡点能量为零能量为零 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 24能量函数能量函数1、如图所示的电路，L和C为两个储能元件，电路平衡后，令 u(t) = 0。)()()()()(tuutRidttdiLtidttduCcc解：由电路性质得 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 25)(010112121tuLxxCLLRxxcuxtix21),

17、(设0)0()0(21xx)()()()()(tuutRidttdiLtidttduCcc初始状态 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 26)(21222121CxLxwww1122xLxxCxdtdww电感储存的能量电容储存的能量电路中的总能量能量随着时间的推移的变化率222221)(21CxtCuwc212121)(21LxtLiw2121112)1()1(RxxLxLRLxxCCx考察电路存储的能量 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性

18、分析系统的稳定性分析 2721Rxw00ex讨论：如果 R = 0, , i, uc相互振荡，总量不变。如果 R0， , 能量逐渐减小, 最终趋向于0。0w 0w 最终结果基本思想：从能量的观点，如果一个系统是渐近稳定的，其系统中储存的能量趋向于零关键问题：如果找到一个完全表示系统能量的函数 V (x)？表明系统趋向于平衡点，渐近稳定00iuc0w 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 28虚构能量函数虚构能量函数 V (x)李氏函数李氏函数 既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足3个条件：dtxdVxV

19、)()(1、V (x) 为任一标量函数，x为系统的状态变量，是 t 的函数2、V (x) 是正数（正定的）反映能量的大小3、 连续一阶偏导，反映能量变化速度的大小，负值为能量减小李氏直接法：利用 的符号性质来直接判断系统在平衡点是否稳定。)()(xVxV、 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 29（一）标量函数（一）标量函数 V (x) 的符号、性质的符号、性质1、V (x)为正定是指：对所有在域中非零的 x, 有 V (x) 0，且在 x = 0 处有 V(0) = 0。2、V (x)为半正定是指：对所有

20、在域中非零的 x, 有 V(x) 0，且在 x = 0 处有 V(0) = 0。问题：如何判断 的符号？)()(xVxV、2221)(xxxV222121433)(xxxxxV 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 30TTxxxxxxxxVxxxxxxV)(,)()(2),(,)(132123221212221，、0,)0,(Tx例：判断下列函数的正定性：解： 1、V (x) 是正定的，只有 x = 0 时，才有 V (x) = 0 2 、在 x = 0 之外还存在向量 x，使 V (x) = 0，如因此

21、V (x) 为半正定。 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 31 )3()(2232221nxxxxxV0)0(0)()()()(4VxVxVxVxV，且半负定）是半正定，则半负定（若、3、V(x)为负定是指：除V(0) = 0 之外，所有非零的 x 都使 V(x) 0。例如若 V (x) 正定，则 V (x)负定。 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 32nnnnnnnnnxxxpppppppppxxxxxxV2121

22、22221112112121,),(（二）二次型定义及其表达式（二）二次型定义及其表达式 f (x, y)= ax2 + 2bxy + cy2 每项次数都是二次的矩阵表示：pxxT注意： p 为是实对称矩阵 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 332222211nnxaxaxa22122121410 xxxxxx212221212410),(xxxxxxV例题：将如下函数，化成二次型212141110 xxxx二次型的标准型：只含有平方项的二次型，如： 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学

23、机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 34nnnnnnnTxxppppppxxpxxxV121112111,)(（三）二次型（三）二次型 V (x) 正定性的赛尔维斯特正定性的赛尔维斯特(Sylvester)准则准则p 阵为实对称阵 0, 0, 02221121111pppppp准则：V (x)正定的充分必要条件是矩阵 p 的所有主子式为正，即如果 P 的所有主子行列式为非负的，则 V(x) 半正定 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 35313221232221422410

24、)(xxxxxxxxxxV3213211121412110)(xxxxxxxV01121412110, 041110, 010判断下列二次型函数的正定性解：应用塞尔维斯特准则各阶主子式均大于零，所以 V (x) 为正定 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 36 ),(txVx4.2 李氏判稳定理李氏判稳定理定理： 设系统 ，平衡状态为 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V (x)，并且满足条件： (1) V (x, t) 是正定的 (2) 是负定的那么，该系统在原点处的平衡状态为渐近稳定的。0),0(),(

25、tftxfx ),(txV若 时，有 。则当满足上述条件时，系统在原点的平衡状态为大范围（全局）渐近稳定。 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 37)()(22212122221121xxxxxxxxxxIppxxxxxVT,)(2221例题：尝试确定如下系统在 ( 0, 0 ) 点处的是否渐近稳定？解：设系统的能量函数为因此，系统是渐近稳定的，而且是大范围渐近稳定。0)0(, 0)() 1 (VxV221122)()2(xxxxxV0)(22221xx，负定 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学

26、机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 38 李氏稳定性定理的意义李氏稳定性定理的意义)(xV（1）物理意义： V (x) 代表问了系统储存的能量。 为系统运动使其自身能量变化的速度， 表明系统能量逐渐衰减到零。 0)(xV（2）几何意义： 设 取,)()(2122212221ccCxxxVxxxV， 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 39txV, 0)(V (x) 代表x到原点的距离 代表x点趋向原点的速度。半径代表能量的大小 )(xV当 时，能量衰减到0，系统回到平衡点 2李

27、李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 40 pxxxVT)(注意： （1）李氏判稳定理不是必要条件，即若找不到这样的V (x)，并不一定代表系统是不稳定的。 （2）李氏函数不唯一，只要满足3个条件即可。最简形式是二次型 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 41定理定理： 设系统 ，平衡状态为 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，并且满足条件： (1) V (x, t) 是正定的 (2) 是半负定的 (3) 在 x0 时，不

28、恒为0那么，该系统在原点处的平衡状态为渐近稳定的。0),0(),(tftxfx ),(txV),(txV，ctxVtxV),(0),(说明： （1） ，则 系统能量保持不变，不趋向于原点，非渐近稳定，而是李氏稳定。 （2） 只在某一时刻暂时为0，其他时刻均为负，表明系统能量的衰减不会终止。所以为渐近稳定。),(txV 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 4221221xxxxx021xx2221)(xxxV例：系统 ，试确定系统在平衡点的稳定性。解：首先确定平衡点的位置。0212xxx00ex原点为系统的平衡点

29、。设李氏函数为：0)()1(xV221122)()2(xxxxxV02)(222221221xxxxxx 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 43)( xV 考察在 x0 时， 是否不恒为0),(txV 假设0),(txV例：系统 ，试确定系统在平衡点的稳定性。222)(xxV21221xxxxx解：02 xCx 1由状态方程 1得：由状态方程 2得：01x在 x0 时, 不恒为0，系统渐近稳定。0021xx因此，x为( 0, 0 )时，才有0),(txV 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电

30、系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 44定理： 设系统 ，平衡状态为 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V (x)，并且满足条件： (1) V (x, t) 是正定的 (2) 是半负定的那么，该系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下稳定。0),0(),(tftxfx ),(txV 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 45定理： 设系统 ，平衡状态为 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V (x)，并且满足条件： (1) V (x, t) 是正定的 (2) 是正定的那么，该系统在原点

31、处的平衡状态为不稳定。0),0(),(tftxfx ),(txV 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 46212211xxxxxx例：系统 ，试确定其稳定性。解：首先确定其平衡点位置由0 x 002121xxxx得0021eexx原点为系统的平衡点)0(0)(2221xxxxV设李氏函数为：0222222)(22212122112211xxxxxxxxxxxxxV）（）（系统在平衡点不稳定 2李李氏氏稳稳定定性性定定理理 1 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 4

32、7小结： V (x) 的构造方法是关键，但李氏方法未给出构造 V (x) 的一般方法。原理简单，实用困难。 重点理解：V (x) 代表着系统能量的大小，总要求正定。 代表能量变化的速度和方向)(xV正定，不稳定负定，渐近稳定 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 48考虑线性定常系统：Axx 0ex是系统的平衡状态。选取二次型函数PxxxVT)(其中，P是一个待定的对称正定矩阵，因此 V(x) 是正定的则xPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxVTTTTTT)()()(根据李亚普诺夫稳定性理论，该系统渐

33、近稳定的条件是0)(xV即0 PAPAT3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 49定理定理：线性定常在平衡点 xe = 0 处渐近稳定的充要条件是：存在一个正定矩阵P，使得如下不等式成立：0 PAPAT寻找 P系统稳定问题求解正定矩阵P是否有解的问题李亚普诺夫方程处理法线性矩阵不等式处理方法 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 50李亚普诺夫方程处理法李亚普诺夫方程处理

34、法PxxxVT)(定理定理：线性定常在平衡点 xe = 0 处渐近稳定的充要条件是：对任意给定的对称正定矩阵 Q，存在一个对称正定矩阵 P，使得如下矩阵方程成立：QPAPATQxxxVT)(意义： 李氏函数 李氏函数变化率 说明：(1) 任取 Q 正定，满足方程的 P 唯一，若 P 正定，系统渐进稳定。(2) 若果 沿任意轨迹不恒为0，那么 Q 也可以半正定。QxxxVT)( 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 51应用定理判稳步骤：应用定理判稳步骤：（1）确定系统的平衡状态xe，通常xe=0（2）设Q

35、=I，则（3）由 求解PIxxxVT)(IPAPAT（4）判断 P 是否正定，若 P 正定，则系统渐进稳定 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 5221212230 xxxxPxxxVT)(例：设二阶系统的方程如下，试确定该系统的稳定性解： A为非奇异，原点是一个唯一的平衡状态李氏函数为IQ xQxxVT)()(设IPAPAT则P为对称矩阵22211211ppppP 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 53100

36、1223023202221121122211211pppppppp1221pp1001462232234221222121122121112ppppppppp由于则解得：1001232232232322222122211121221221112221pppppppppppp4/18/512/721122211pppp 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 54P 矩阵为：854141127P0161963585414112701272221121111ppppp，根据塞尔维斯特准则：22212185211

37、27)(xxxxPxxxVTP为正定矩阵，该系统是大范围渐近稳定的。李氏函数为 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 551sK21ss1R-3x2x1x例：如图所示控制系统，欲使系统渐稳，试确定增益 K 取值范围。解：写出状态方程：KRxKxxxxxxx313322212RKx-Kxxx001- 0 1 2- 0 0 1 0 321设 R0 (不影响稳定性)平衡状态点 xe 为零点 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性

38、分析 56 1 0 00 0 00 0 0Q0)(23xQxxxVT 0)( 23xxV03x 03x 01x 选取 则表明，当 时，只有 因此，Q的选择保证了系统的大范围渐近稳定。 0)( xV0321xxx当 时考察是否存在 ，使exx 0)( xV由于01x 02x 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 57333231232221131211 pp ppp p pp pPQPAPATK- K-K K-K K- K-K K-K KRKKP2126212 0 2122122 2126 0 212621

39、2200212KK60 K设由 ，求得若 P 为正定，需要 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 58二、线性定常离散系统稳定性分析函数是这个系统的一个李氏并且且满足，矩阵，存在一个正定的对称的一个正定对称矩阵要条件是：对任给处大范围渐近稳定的充系统在、设离散系统为、定理)()()(00)() 1(7 . 41kPxkxkxVQPPGGPQxxkGxkxTTee 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 59为实对称矩阵

40、。数为，设所选的一个李氏函）证明：（PkPxkxkxVPT, 0)()()(01)()()()()()()()()() 1() 1()(kxQkxkxPPGGkxkPxkxkGxPkGxkPxxkPxkxkxVTTTTTTT)()1()()2(kxVkxVkxV表示变量的变化率用差分来 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 60可取半正定矩阵。于零，沿任一解的序列不恒等注意：若件是，系统渐近稳定充要条对于选定的负定正定，即负定，需选正定，QkxkQkxkxVQPPPGGQPPGGQkxVPkxVTTT)(

41、)()()(00)()(0)(为系统李氏函数。且：，系统渐近稳定，是否正定。若）、判断（解出，由）、取（）、确定（、判稳步骤)()()(032;12kPxkxkxVPPPIPPGGIQxTTe 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 61值范围。为渐近稳定的，确定使系统平衡状态试用李雅普诺夫直接法。且、设线性离散系统为例kxkkGkGxkxe00,020100010)() 1(13. 4 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定

42、性分析 62是渐近稳定的。正定，系统在平衡状态，矩阵分母时当Pk)0(2，代入IPPGGT解：设是正定的，IQ100010001 3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 63三、线性时变系统稳定性分析方程黎卡提，。设RiccatitPtAtPtPtAtQxVtQxtQxxtAtPtPtPtAxxtPxxtPxxtPxxVtPtxtPtxtxVtxtAxTTTTTTTT)()()()()()(0)(0)()()()()()()()()()()(0)(, 0)()()(),()()( 4李李氏氏方方法法的的应应

43、用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 644.4 李雅普诺夫稳定性理论的应用李雅普诺夫稳定性理论的应用思想：不稳定系统（校正）稳定0)()(1:xVppxxxVbuAxxSISOT正定，、pbuxxpApAxpbuxpxbuxpApAxbuAxpxpxbuAxxpxpxxxVTTTTTTTTTTTT2)()()()()(2、 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 650)(2200)(2pbxkpbuxpbkxupApAQQxVTTTT同时选，选，即状态反馈

44、。是状态变量的线性组合而此时系统渐近稳定pbkxuT 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 66使系统达到渐近稳定。来校正的稳定系统。试确定属于李氏意义下，系统处于临界振荡，为所示，对应微分方程、设系统的结构图如图例,)(10. 4tuuyy 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 67tttteAtcossinsincos由系统的模拟框图得到系统的状态方程：uxxxx1001102121系统的状态转移矩阵为系统自由运动的状态轨迹为2

45、01021cossinsincos)()(xxtttttxtx运动轨迹有界，但不趋向于原点，属于李氏稳定 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 682221)(xxxV2kxu选取李氏函数为则uxuxxxxxV212212)22)( （若要使系统渐近稳定，要求 负定)(xV选取02)(22kxxV)(xV此时， 负定，在控制作用下，系统变得渐近稳定系统本身不是渐近稳定，但可以通过适当的控制规律u，使闭环系统渐近稳定。 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定

46、性分析系统的稳定性分析 69引入状态反馈后，系统的模拟框图为 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 70系统动态性能估算系统动态性能估算 渐进稳定系统时间常数的估计)( xV)( xV系统的能量系统能量的衰减速度定义：设原点是系统的平衡状态，且系统在该平衡状态下是稳定的，则系统趋向于平衡状态的快速性能指标为：)()(xVxVtdtexVxV0)()(0由上式得：的大小决定了 V(x) 衰减的速度 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析

47、 71xxxVxxTTmaxmin)(由于：0,)(ppxxxVT0,)()(QQxxxpApAxxVTTT设 P 的特征值中， 最大值 最小值minmax则：xxxVxxTTmaxmin)(同样， Q 的特征值中， 最大值 最小值minmax则： 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 72minmaxminmax由于：)()(xVxV则： 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 73maxminsssTTT由上图，可见 随时间的衰减

48、曲线总包含在2条特征曲线之间。从 到 所需的时间 ：)(txVsT)(sTxV)0(xV利用上面2个等式，即可估算出衰减时间)()0(ln)()0(lnmaxminminminmaxmaxssssTxVxVTTxVxVT其中： 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 74利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题(1) 优化问题的描述 ：设系统000( ) (),0TtxAxx txJx Qxdt Q，调节参数使J极小。(2) 必须渐进稳定，否则问无解。( )A000( ) (),0T

49、txAxx txJx Qxdt Q，为系统的可调参数000( ) (),0TtxAxx txJx Qxdt Q，为系统的性能指标 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 75(3) 由0,Q 知存在0,P 使得TA PPAQ 令1( ),( ).TTV xx Px V xx Q x 由 ()0V x (4) 注意到 P 是 的函数，调节 使 最小.J)()()(000txVxVdtxVdtQxxJttT于是系统的性能指标为：则000 ( )( )( )TJV x txtPx t 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1

50、2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 76例 5.3.3 给定系统达到最小值。其中011 (0)120 xxx 试确定的值，使性能指标010 00Q0tTdtQxxJ 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 77解解: 由，知TA PPAQ 111211121222122201011012120pppppppp解得1112122211421124ppPpp于是有： 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统