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1、3.4线性系统的稳定性分析一、稳定性的基本概念 二、线性系统稳定的充分必要条件三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）四、劳思稳定判据的特殊情况五、劳思稳定判据的应用（1）稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 一、稳定性的基本概念 （2）自动控制理论的基本任务(之一) 分析系统的稳定性问题；提出保证系统稳定的措施。对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。例例稳定的摆不稳定的摆(a)(a)稳定稳定(b)(b)临界稳定临界稳定(c)(c)不稳定不稳定稳定性的定义稳定性的定义控制系统在外部扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。注意：控制系统自身的固有特性，取决于
2、注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。系统本身的结构和参数，与输入无关。不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定大范围稳定大范围稳定: :(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意：对于线性系统，小范围稳定注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。大范围稳定。(a)不稳定临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。运动稳定性（线性系统）对于线性系统只有
3、大范围稳定的问题对于线性系统只有大范围稳定的问题对于线性系统而言，平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的对于线性系统而言，平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的 线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐进稳定渐进稳定，简称稳定。，简称稳定。如动态过程随时间的推移而发散，称为不稳定。如动态过程随时间的推移而发散，称为不稳定。 系统方程在不受任何外界输入的条件下，系统方程的系统方程在不受任何外界输入的条件下，系统方程的解在时间趋于无穷时的渐进行为。解在时间趋于无穷时的渐进行为。线性控制系统的稳
4、定性 稳定的条件：假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号( t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是（渐近）稳定。lim ( )0tc t二、线性系统稳定的充分必要条件理想脉冲函数作用下 R(s)=1。对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。)()()()()()(.)()(11011101110jjjjKikjinnnnmmmmjsjspsasBsDsBasasasabsbsbsbsRsC) tsinBtcosA(eec) t ( cjjr1jjjtk1itpij
5、i由上式知：如果pi和i均为负值, 当t时,c(t)0。bak1ir1jjjjjjjii)j(s)j(s spsc) s (R) s (D) s (B) s (C自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关注意：稳定性与零点无关3P2P1P4P5PnPS平面jO0)()()()(110jjjjKikjijsjspsasD系统特征方程系统特征方程例例结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）（1）该判据出现的历史条件（2）劳思-赫尔维茨
6、稳定判据的历史条件和现状在十九世纪后叶，由于无法解析求解高阶多项式的根在十九世纪后叶，由于无法解析求解高阶多项式的根由于计算工具所限，数值求解也较难由于计算工具所限，数值求解也较难把把求根的具体值求根的具体值问题放松为问题放松为判断根是否小于零判断根是否小于零问题。问题。理论上还有一定的地位理论上还有一定的地位在研究相对稳定性和保证系统稳定的参数取值范围发挥作用在研究相对稳定性和保证系统稳定的参数取值范围发挥作用由于数值求根已经非常方便，该判据在直接判断系统稳定性由于数值求根已经非常方便，该判据在直接判断系统稳定性上的作用几乎消退。上的作用几乎消退。赫尔维茨赫尔维茨(Hurwitz)判据判据控
7、制系统稳定的充分必要条件是：当控制系统稳定的充分必要条件是：当a00时，时， 各各阶赫尔维茨行列式阶赫尔维茨行列式 1、 2、 n均大于零。均大于零。一阶系统二阶系统nnnnaaaaaaaaaaa213142053100000000123na00时, a10(全部系数数同号)a00时, a10, a20(全部系数数同号)0a .sasa) s (D21120011a0asa) s (D100a11a00时a00时0aaaa0a2120120asa.sasa) s (Dn1n1n1n00asa .sasa) s (D322130三阶系统a00时, a10, a20, a30(全部系数同号)a00
8、时 a1a2 a0 a3n2n1n31420531naa0000a0aa00aaa0aaa123n0a110aaaaaaaa3021203120aaa00aa0aa223120313四阶系统0asasa .sasa) s (D432231400a110aaaaaaaa3021203120aaaaaaaaa0aaa0aa230214321314203130aaaa00aa00aaa00aa3442031420314a00时, a10, a20, a30 , a40 (全部系数数同号)421230321aaaaaaaa00时n2n1n31420531naa0000a0aa00aaa0aaa123n
9、一阶系统a10(全部系数数同号)a10, a20(全部系数数同号)0asa.sasa) s (Dn1n1n1n0a10, a20, a30(全部系数数同号)a1a2 a0 a3a10, a20, a30 , a40(全部系数数同号)421230321aaaaaaa归纳：a00时二阶系统三阶系统四阶系统例例a10, a20, a30 , a40421230321aaaaaaaK)2s)(1ss ( sK) s (R) s (C20Ks2s3s3s) s (D2340K 22213K3320K914K值的稳定范围各项系数均为正数a00时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益
10、K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。) 1sT)(1sT)(1sT(K) s (G321) 1sT)(1sT( sK) s (G21) 1sT(sK) s (G12系统1的闭环特征方程为：系统3的闭环特征方程为：系统2的闭环特征方程为：K的稳定域为：K的稳定域为：0K1s )TTT(s )TTTTTT(sTTT) s (D321232312133212TTTTTTTTTK03122311320Kss )TT(sTT) s (D2213212112TTTTK00KssT) s (D231结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。劳斯阵
11、列劳斯阵列性质：第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实部根的个数。0asa.sasa) s (Dn1n1n1n0131201a|aaaa|b151402a|aaaa|b121311b|bbaa|c131511b|bbaa|c121211c|ccbb|d131312c|ccbb|d10112123214n3213n3212n5311n420ngsfseesdddscccsbbbsaaasaaas特征方程：劳斯阵列：劳斯劳斯(routh)判据判据如果符号相同如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于系统具有正实部特征根的个数等于零零系统稳定；系统稳定；如果符号不同如果符号不同 符号改变的次数
12、等于系统具有的正符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数实部特征根的个数系统不稳定。系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数第一列中各数”注：通常注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。l特殊情况特殊情况1：某行的第一列出现：某行的第一列出现0l特殊情况特殊情况2：某一行元素均为：某一行元素均为0四、劳思稳定判据的特殊情况l特殊情况特殊情况1：某行的第一列出现：某行的第一列出现0特殊情况
13、：第一列出现特殊情况：第一列出现0。3( )320D sss3211302sss解决方法：用因子解决方法：用因子(s(sa)a)乘以乘以原特征方程。原特征方程。432101363702 / 36020006sssss3432( )(3) (32)33760D ssssssss系统不稳定，且有两个正实部根。系统不稳定，且有两个正实部根。l特殊情况特殊情况2：某一行元素均为：某一行元素均为0特殊情况：某一行元素均为特殊情况：某一行元素均为0 006655)(2345ssssssD6s5/2s62/5s010040s651s651s012345解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数
14、构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:06s5s24010413ss2js2, 13js4, 31s5例如，一个控制系统的特征方程为 0161620128223456SSSSSS列劳斯表16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS2,2jj显然这个系统处于临界(不)稳定状态。 ssssF16122)(24ssdssdF248)(30)4)(2(2)86(216122)(222424ssssssssF劳斯阵列出现全零行:大小相等符号相反的实根大小相等符号相反的实根共轭虚根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根对称于实轴的两对共轭复根系统在系统在 平面有
15、对称分布的根平面有对称分布的根五、劳思稳定判据的应用2、实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。1sa01、稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线 右侧。1(ssa a称为给定稳定度）代入原方程式中，得到以 1sas设用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线1S的右方。 例3-81sa0解：列劳斯表 42 .121081304101
16、320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令1 ZS代入特征方程：04) 1(3) 1(10) 1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根在1S的右方。列劳斯表12114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线1S的右方。041310223SSS)(sR)(sCsKt）（10) 5(20sss)(sGc图3-21单位反馈控制系统方块图ssKsGpc) 1()(时，闭环系统的稳定条件是什么？ 已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答 例3-91)(sGc时，闭环系统是否稳定？ 0205015020)10)(5(23S
17、SSSSS排劳斯表 20152075020155010123SSSS 第一列均为正值，S全部位于左半平面，故 解： 系统稳定特征方程为1)(sGc时，闭环系统的ssKsGpc) 1()(开环传递函数 )10)(5() 1(20)()(2SSSSKsGsGpc闭环特征方程为 0) 1(20)10)(5(2SKSSSp020205015234ppKSKSSS列劳斯表pppppppKsKKKKsKKsKsKps2015/ )20750(20152015207502015207500201520501091234未完待续 利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。 欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 0pK 5 .37020750ppKK020525015152075001520750)151520750(20pppppKKKKK5 .26pK5 .260pK