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1、2.2 二次函数的图像和性质第二章 二次函数第二课时下面接着讨论y=ax，y=a（x-h）的二次函数的图像和性质.画出二次函数y=2（x-1）的图像. 用心做一做完成下表:x x-4-4-3-3-2-2-1-10 01 12 23 34 4y=y=2 2（x x-1-1）2 250503232 1818 8 8 2 2 0 0 2 2 8 8 1818观察上表你能发现2（x-1）与2x的值有什么关系？xy0 0-4 -3-2 -11234108642-2 在直角坐标系中描点 用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=2(x-1)的图像二次函数y=2(x-1) 的图像与y=2x的图像有什么关系？它的开
2、口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？类似y=2（x+1）的图像与y=2x有什么关系呢？xy0 0-2 -11234108642二次函数y=2x，y=2（x-1），y=2（x+1）的图像都是抛物线并且形状相同，只是位置不同.将函数y=2x的图像向右平移1个单位长度就得到函数y=2（x-1）的图像；将函数y=2x的图像向左平移1个单位长度，就得到函数y=2（x+1）的图像.由函数y=2x，你能得到二次函数y=2x-1/2，y=2（x+3）-1/2的图像，你是怎样得到的？与同伴交流.二次函数y=a（x-h）+k与y=a
3、x的图像有什么关系？一般地，平移二次函数的图像便可得到二次函数的图像.因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向，对称轴和顶点坐标如下表所示：议一议开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=a（x-h）+k向上（向上（a0）直线直线x=h（h，k）向下（向下（a0）当x0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.xy0 0 xy0 0对称轴x=h顶点(h,k)xh,y随x的增大而增大1.对于二次函数y=-3（x+2），（1）它的图像与y=3x的图像有什
4、么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴，和顶点坐标分别是什么？（2）当x取哪些值的时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值的时，y的值随x值的增大而减小？2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：（1）y=2（x-3）-5； （2）y=-0.5（x+1） ;（3）y=-3/4x; （4）y=2（x-2）+5 ;（5）y=-0.5（x+4） +2;（6）y=-3/4（x-1） . 我们已经认识了形如y=a（x-h）+k的二次函数的图像和性质，你能研究二次函数y=2x-4x+5的图像和性质吗？化成y=a（x-h）+k的形式呗解: y=2(x-1)2+1 所以
5、函数图像开口向上； 顶点坐标x（1,1）,对称轴x=1. 求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.化成y=a（x-h）+k的形式呗 解:y=2x2-8x+7 =2(x2-4x)+7 =2(x2-4x+4)-8+7 =2(x-2)2-1因此二次函数 =2x2-8x+7图像开口向上；对称轴x=2，顶点坐标x（2,-1）.例1配方后的表达式通常称为配方式或顶点式cbxax2yabacabxacaa44)2(xbx222）（例2解: 把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得求二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴和顶点坐标.因此对称轴为顶点坐标是abx2-.442-2），（abac
6、ab这个结果通常称为求顶点坐标公式. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值根据图形填表：根据图形填表：抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大
7、而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质如下表所示 用心做一做1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.101094009y2xxw钢缆的最低点到桥面的距离是多少？钢缆的最低点到桥面的距离是多少？w两条钢缆最低点之间的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？Y/m x/m 桥面 -5 0 5102.如图如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直按照图中的直角坐标系角坐标系,左面的一条抛物线可以用左面的一条抛物线可以用 表示表示, ,而且左右两条抛物线关于而且左右两条抛物线关于y y轴对称轴对称 老师提示:结合二次函数的图像和性质，灵活运用顶点坐标公式. 书本P41习题2.5第3，4题数学的本质在於它的自由. 康扥尔