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1、专题18 等差数列和等比数列等差数列和等比数列等差数列和等比数列主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力综合能力考情解读3主干知识梳理1an与与Sn的关系的关系Sna1a2an，an2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列等差数列等差数列等比数列等比数列定定义义anan-1常
2、数常数(n2) 常数常数(n2)通通项项公公式式ana1(n1)d ana1qn1(q0)判判定定方方法法(1)(1)定义法定义法(2)中项公式法：中项公式法：2an1anan2(n1)an为等差为等差数列数列(3)通项公式法：通项公式法：anpnq(p、q为常数为常数)an为等差为等差数列数列(4)前前n项和公式法：项和公式法：SnA n2 B n ( A 、 B 为 常为 常数数)an为等差数列为等差数列(1)定义法定义法(2)中项公式法：中项公式法：anan2(n1)(an0)an为等比数为等比数列列(3)通项公式法：通项公式法：ancqn(c、q均是不为均是不为0的常的常数，数，nN*
3、)an为等比数为等比数列列判定判定方法方法(2)( 5 ) an 为 等 比 数 列 ，为 等 比 数 列 ，an0logaan为等差数列为等差数列(4)an为等差数列为等差数列为等比为等比数列数列(a0且且a1)性质性质(1)若若m、n、p、qN*，且，且mnpq，则，则amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列，仍成等差数列(1)若若m、n、p、qN*，且，且mnpq，则，则amanapaq(2)anamqnm(3)等比数列依次每等比数列依次每n项和项和(Sn0)仍成等比数列仍成等比数列naa前前n项项和和(2)q1，Snna1 热点一 等差
4、数列 热点二 等比数列 热点三 等差数列、等比数列的综合应用热点 分类突破例1(1)等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a2a4a612，则，则S7的值是的值是()A.21 B.24 C.28 D.7热点一 等差数列思维启迪 利用利用a1a72a4建立建立S7和已知条件的联系；和已知条件的联系；解析由题意可知，由题意可知，a2a62a4，则则3a412，a44，C(2)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若1a31,0a63，则则S9的取值范围是的取值范围是_思维启迪将将a3，a6的范围整体代入的范围整体代入解析S99a136d3(a12d)6(a15d)
5、又又1a31,0a63，33(a12d)3,06(a15d)18，故故3S921.(3,21)(1)等差数列问题的基本思想是求解等差数列问题的基本思想是求解a1和和d，可利，可利用方程思想；用方程思想；(2)等差数列的性质等差数列的性质若若m，n，p，qN*，且，且mnpq，则，则amanapaq；Sm，S2mSm,S3mS2m，仍成等差数列；，仍成等差数列；思维升华aman(mn)dd (m，nN*)； (A2n1，B2n1分别为分别为an，bn的前的前2n1项的和项的和)(3)等差数列前等差数列前n项和的问题可以利用函数的性质项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决
6、或者转化为等差数列的项，利用性质解决思维升华变式训练1(1)已知等差数列已知等差数列an中，中，a7a916，S11 ，则，则a12的值是的值是()A15 B30C31 D64解析因为因为a8是是a7，a9的等差中项，的等差中项，所以所以2a8a7a916a88，再由等差数列前再由等差数列前n项和的计算公式可得项和的计算公式可得所以所以a12a84d15，故选，故选A.答案A(2)在等差数列在等差数列an中，中，a50且且a6|a5|，Sn是是数列的前数列的前n项的和，则下列说法正确的是项的和，则下列说法正确的是()AS1，S2，S3均小于均小于0，S4，S5，S6均大于均大于0BS1，S2，
7、S5均小于均小于0，S6，S7，均大于均大于0CS1，S2，S9均小于均小于0，S10，S11均大于均大于0DS1，S2，S11均小于均小于0，S12，S13均大于均大于0解析由题意可知由题意可知a6a50，答案C例2(1)(2014安徽安徽)数列数列an是等差数列，若是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为构成公比为q的等比数列，则的等比数列，则q_.热点二 等比数列思维启迪 列 方 程列 方 程求 出求 出 d ，代 入代 入 q 即即可；可；解析设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,则则a3a12d,a5a14d,(a12d3)2(a11)(a14d5),解得解得d1，1思维启迪
8、 求出求出a1，q，代入化简代入化简答案D(1)an为等比数列，其性质如下：为等比数列，其性质如下：若若m、n、r、sN*，且，且mnrs，则，则amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列成等比数列(q1)思维升华(2)等比数列前等比数列前n项和公式项和公式Sn能能“知三求二知三求二”；注意讨论公比注意讨论公比q是否为是否为1；a10.思维升华变式训练2 (1)已知各项不为已知各项不为0的等差数列的等差数列an满足满足a42a3a80，数列数列bn是等比数列，且是等比数列，且b7a7，则，则b2b8b11等于等于()A1 B2 C4 D8D(2)在等比数列在等比
9、数列an中，中，a1an34，a2an164，且前且前n项和项和Sn62，则项数，则项数n等于等于()A4 B5 C6 D7解析设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q，由由a2an1a1an64，又又a1an34，解得，解得a12，an32或或a132，an2.又又ana1qn1，所以，所以22n12n32，解得，解得n5.综上，项数综上，项数n等于等于5，故选，故选B.答案B例3已知等差数列已知等差数列an的公差为的公差为1，且，且a2a7a126.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式an与前与前n项和项和Sn；热点三 等差数列、等比数列的综合应用思维启迪 利用方程思想求出利用方程
10、思想求出a1，代入公式求出，代入公式求出an和和Sn；解由由a2a7a126得得a72，a14，(2)将数列将数列an的前的前4项抽去其中一项后，剩下三项项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列按原来顺序恰为等比数列bn的前的前3项，记项，记bn的前的前n项和为项和为Tn，若存在，若存在mN*，使对任意，使对任意nN*，总有，总有SnTm恒成立，求实数恒成立，求实数的取值范围的取值范围思维启迪 将恒成立问题通过分离法转化为最值将恒成立问题通过分离法转化为最值解由题意知由题意知b14，b22，b31，设等比数列设等比数列bn的公比为的公比为q，Tm为递增数列，得为递增数列，得4Tm8.故
11、故(Sn)maxS4S510，若存在若存在mN*，使对任意，使对任意nN*总有总有SnTm，则则106.即实数即实数的取值范围为的取值范围为(6，)等差等差(比比)数列的综合问题的常见类型及解法数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基基本量法本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便运算简便(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差等的交汇问题，求解时用等差(比比)数列的相关知数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不
12、等式识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可等问题求解即可思维升华变式训练3已知数列已知数列an前前n项和为项和为Sn，首项为，首项为a1，且，且 ，an，Sn成等差数列成等差数列(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；证明bn(log2a2n1)(log2a2n3)log222n12log222n32(2n1)(2n1)，1.在等差在等差(比比)数列中，数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，一般中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，一般是转化为首项是转化为首项a1和公差和公差d(公比公比q)这两
13、个基本量的有关运算这两个基本量的有关运算2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形时需要进行适当变形本讲规律总结3等差、等比数列的单调性等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性等差数列的单调性d0an为递增数列，为递增数列，Sn有最小值有最小值d0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，则，则a2 0
14、130，则，则a2 0140，则，则a2 0130 D.若若a40，则，则a2 0140解析因为因为a3a1q2，a2 013a1q2 012，而，而q2与与q2 012均均为正数，为正数，若若a30，则，则a10，所以，所以a2 0130，故选，故选C.C押题精练1232.已知数列已知数列an是首项为是首项为a，公差为，公差为1的等差数列，的等差数列，bn .若对任意的若对任意的nN*，都有，都有bnb8成立，则成立，则实数实数a的取值范围为的取值范围为_.解析ana(n1)1na1，押题精练123因为对任意的因为对任意的nN*，都有，都有bnb8成立，成立，答案(8，7)押题精练1233.
15、设各项均为正数的数列设各项均为正数的数列an的前的前n项和为项和为Sn，满足，满足4Sn4n1，nN*，且，且a2，a5，a14恰好是等恰好是等比数列比数列bn的前三项的前三项.(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；押题精练123an0，an1an2.当当n2时，时，an是公差是公差d2的等差数列的等差数列.a2，a5，a14构成等比数列，构成等比数列，a2a1312，an是首项是首项a11，公差，公差d2的等差数列的等差数列.押题精练123等差数列等差数列an的通项公式为的通项公式为an2n1.等比数列等比数列bn的通项公式为的通项公式为bn3n.押题精练123(2)记数列记数列bn的前的前n项和为项和为Tn，若对任意的，若对任意的nN*，(Tn )k3n6恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围.押题精练123当当n3时，时，cncn1；当当n4时，时，cncn1.