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1、4.14.1等差数列与等比数列等差数列与等比数列-2-3-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列的基本量的求解【思考】如何求解等差数列与等比数列的基本量?例1(2017全国,理4)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8 答案解析解析关闭 答案解析关闭-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设
2、出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(1)(2017全国,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏C.5盏 D.9盏(2)(2017全国,理14)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.答案解析解析关闭 答案解析关闭-7-命题热点一命题热点二
3、命题热点三命题热点四等差数列与等比数列的判定与证明【思考】证明数列an是等差数列或等比数列的基本方法有哪些?例2已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.答案 答案关闭-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.证明数列an是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明an+1-an(nN*)为常数;(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n2).2.证明数列an是等比数列的两种基本方法:-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2(2017北京,理20)设an和bn是两个等差数列,记cn=maxb1-a1
4、n,b2-a2n,bn-ann(n=1,2,3,),其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数.(1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时,M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列.-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)解:c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2.当n3时,(bk+1-nak
5、+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n0.所以3q2-5q-2=0.因为q0,所以q=2,x1=1,因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2.又2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1,-得-Tn=32-1+(2+2
6、2+2n-1)-(2n+1)2n-1-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.答案解析解析关闭 答案解析关闭-20-规律总结拓展演练1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.2.解决等差数列an前n项和问题常用的三个公式是:;Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.3.等差数列和等比数列的中项、前
7、n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.-21-规律总结拓展演练5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.1.已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97-22-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭 答案解析关闭-23-规律总结拓展演练2.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+
8、a7=()A.21B.42C.63 D.84 答案解析解析关闭 答案解析关闭-24-规律总结拓展演练3.(2017江苏,9)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知 答案解析解析关闭 答案解析关闭-25-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭 答案解析关闭4.(2017北京,理10)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则 =.-26-规律总结拓展演练5.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列an满足:an-k+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:
9、等差数列an是“P(3)数列”;(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.证明:(1)因为an是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列an是“P(3)数列”.-27-规律总结拓展演练(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d,所以数列an是等差数列.