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1、3.4 函数的最值及其应用一、最值的求法一、最值的求法二、二、应用举例应用举例返返 回回1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较出比较出最大值及最小值。最大值及最小值。.,)(,)(与最小值存在与最小值存在上的最大值上的最大值在在上连续，则上连续，则在在若函数若函数baxfbaxf 一一 最值的求法最值的求法oxyoxybaoxyabab步骤步骤 )()b( f)()a(f),(b, a)x(f1. 值值。小小为为最最大大值值，大大为为最最小小则则减减上上单单增增在在若若返返 回回的的最最值值点点。必必是是的的驻驻点点
2、区区间间内内部部取取得得，则则唯唯一一义义确确有有最最值值，且且一一定定在在定定可可以以判判定定可可导导函函数数题题中中根根据据问问题题的的性性质质进进一一步步，如如果果在在实实际际问问)()(0 xfxxf 注注:2.如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值(最大最大值或最小值值或最小值).二、应用举例例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142
3、 )4(f返返 回回，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy返返 回回例例2 242430163234xxxxxf）（试试求求函函数数 .30上的最大值和最小值上的最大值和最小值，在区间在区间 解解24604823xxx12)x(f),2()1(122 xx.及及区区间间端端点点处处的的函函数数值值的的极极值值点点，算算出出这这些些点点）可可能能（，它它们们为为，得得驻驻点点）（令令xfxxxf210133423140）（，）（，）（，）（ffff ）的的最最大大（上上，在在区区间间将将它它们们加加以以比比较较，可可知知xf30。）（，最
4、最小小值值为为）（值值，为为42133 ff返返 回回实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;最最大大或或最最小小函函数数值值即即为为所所求求的的最最值值点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻)(例例3.)(数数而而其其和和为为最最小小的的两两个个正正求求乘乘积积为为常常数数0a可可得得目目标标函函数数，则则之之和和为为与与，设设由由此此可可得得，其其中中，则则由由条条件件可可知知和和记记这这两两个个正正数数为为yxssyxxayyxayxyx,0 解解 （1）建立表示该问题的函数，这样的函数）建立表示该问题的函
5、数，这样的函数 通常称为目标函数通常称为目标函数.x,xaxxs0)( 返返 回回（2）求目标函数的最小值：）求目标函数的最小值：因为因为,21xa)x(s内，内，不在目标函数的定义域不在目标函数的定义域其中其中，得，得）（令令axaxaxxs0，只有一个只有一个故该函数可能的极值点故该函数可能的极值点ax ；）（时，时，易知当易知当0 xsax时，时，当当ax ；）（0 xs所以乘积一定而其和为最小的两个数是：所以乘积一定而其和为最小的两个数是：,ax .ay 返返 回回例例4 4为为常常数数，求求表表面面设设圆圆柱柱形形有有盖盖茶茶缸缸容容积积 V.之之比比与与高高积积为为最最小小时时，底
6、底半半径径yxxy解解茶缸的容积茶缸的容积建立目标函数建立目标函数(1)，为为yxV2,xyxS222而而,2xVy由由体体积积可可得得因此可得目标函数因此可得目标函数:茶缸的表面积的表达式茶缸的表面积的表达式 ).0 (2222)(222 xxVxxxVxxS.xS）的最小值）的最小值（）求）求（2因为因为返返 回回224)(xVxx S ,)(，且且唯唯一一，得得可可能能极极值值点点令令320VxxS（3）求半径与高之比）求半径与高之比.可可以以算算得得和和由由322 VxxVy.xVVVy222)2(323 因此当底半径与高之比为因此当底半径与高之比为1：2时，茶缸面积最小。时，茶缸面积
7、最小。.2)(. 0)2(,44)(333取得最小值取得最小值处处在在所以所以又又 VxxSVSxVxS返返 回回例例5 5 之之间间的的关关系系为为与与日日产产量量设设某某产产品品的的次次品品率率xy , 1,1011)(xxf,x1001 .100 x 若每件产品的盈利为若每件产品的盈利为A元，每件次品造成的损失元，每件次品造成的损失.3量量，试试求求盈盈利利最最多多的的日日产产为为A解解 返返 回回，时盈利为时盈利为，设日产量为，设日产量为，当当)x(Txx1000，因因此此，正正品品数数为为这这时时次次品品数数为为xyxxyxyxyxAxT3A-)()( ,1013A)101(xxxx
8、xA .x1000 ）的的最最大大值值，因因为为（于于是是问问题题就就归归纳纳为为求求xT)101(3A)101(1)( xxxxAxT,xA)101(1013412 返返 回回。）的的唯唯一一驻驻点点（，可可得得到到）（令令4890.xxTxT ,100超超过过若若日日产产量量x之之间间。与与量量应应在在最最大大，故故最最大大盈盈利利日日产产，那那么么盈盈利利不不会会，即即超超过过部部分分全全为为次次品品则则次次品品率率为为10001因此，因此，）取取得得最最大大值值的的点点，（是是使使xTx489.实际上实际上因为因为x应应是是正正整整数数，所所以以将将。）（与与A.T097990T79.
9、11A(89) 相比较，即知每天生产相比较，即知每天生产89件产品盈利最多。件产品盈利最多。返返 回回某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金套公寓要出租，当租金定为每月定为每月180元时，公寓会全部租出去当元时，公寓会全部租出去当租金每月增加租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费去，而租出去的房子每月需花费20元的整修元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？维护费试问房租定为多少可获得最大收入？例例6 6解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总
10、收入为)(xR)20( x 1018050 x返返 回回 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 例例7 设工厂设工厂A到铁路的垂直距离为到铁路的垂直距离为20千米，垂足为千米，垂足为B，铁路线上距离，铁路线上距离B为为100千米处有一原料供应站千米处有一原料供应站C（图示），现在要从铁路（图示），现在要从铁路BC中间某处中间某处D修建一个修建一个车站，再由车站车站，再
11、由车站D向工厂向工厂A修一公路，问修一公路，问D应选在应选在何处才能使得从原料供应站何处才能使得从原料供应站C运货到工厂运货到工厂A所需运所需运费最省。已知费最省。已知1千米的铁路运费与公路运费之比为千米的铁路运费与公路运费之比为3：5 。x.100CD , 20 xAD,x BD22则则设设 解解千千米米。元元则则铁铁路路运运费费为为千千米米，元元又又设设公公路路运运费费为为/a53/a返返 回回所需总费用为所需总费用为到工厂到工厂经中转站经中转站于是从原料供应站于是从原料供应站ADC100 x0 , x)a(10053 20 xay22 a5320 xx ay22 15,x 0,y 得得令
12、令因此，因此，千千米米时时运运费费最最省省。相相距距之之间间且且与与，建建于于当当车车站站15BCBD返返 回回例例8 8形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSAB
13、C )80(0 x, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.函数的极值必在函数的极值必在驻点驻点和和不可导点不可导点取得取得. .判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(
14、xf 求导数求导数;)2(点点求求驻驻点点或或导导数数不不存存在在的的;,)()3(判判断断极极值值点点号号在在这这两两种种点点左左右右的的正正负负检检查查xf .)4(求极值求极值小小 结结返返 回回注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是最值是整体概念整体概念而极值是而极值是局部概念局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.(1)由题设条件，建立目标函数由题设条件，建立目标函数;(2)注意题目约束条件，求目标函数的最值；注意题目约束条件，求目标函数的最值；值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)()3(返返 回回