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1、关于函数的最值现在学习的是第1页，共18页若f(x0)存在，对于f(x0)=0的点，可以根据f(x0)的符号来判定f(x0)是不是极值。定理定理4(4(判别极值的第二充分条件判别极值的第二充分条件)现在学习的是第2页，共18页 练习练习:求函数y=x33x的极值。例3 求函数f(x)=2x2 x4的极值.解 函数的连续区间是(,+)由于 f(x)=4x 4x3=4x(1x)(1+x)f(x)=4 12x2令 f(x)=0得驻点x1=1,x2=0,x3=1f(1)=f(1)=80极大值是f(1)=f(1)=1 极小值是f(0)=0 注意注意:现在学习的是第3页，共18页例例4.求函数的极值.解解
2、:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.现在学习的是第4页，共18页aboxyx1x2oxyx1x2aboxyab二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题求函数求函数f(x)的最值的一般程序是：的最值的一般程序是：首先，求出函数在开区间(a,b)内所有可能是极值点的函数值；其次，求出区间端点的函数值f(a)和f(b)；最后，将这些函数值进行比较，其中最大(小)者为最大(小)值。现在学习的是第5页，共18页例5 求函数f(x)=2x2 lnx在闭区间 上的最大值与最小值.解 函数f(x)在区间 上连续 由f(x)=令 f(x)=0得驻点舍x2，因x2比较
3、可知函数f(x)在区间 上的最大值和最小值分别为 现在学习的是第6页，共18页求函数最值时，常遇到下述情况：(1)若函数f(x)在连续区间I内有一个极值，是极大(小)值时，它就是函数f(x)在该区间上的最大(小)值，解极值应用问题时，此种情况较多。oxxabx0y=f(x)oxxabx0y=f(x)(2)若函数f(x)在连续区间a,b上是单调增加(减少)的，则最值在区间端点取得。现在学习的是第7页，共18页在给定条件的情况下，就是最大值问题；要求效益最佳的问题，而在效益一定的情况下，要求消耗资源最少的问题，是最小值问题；在解决实际问题时，首先要把问题的要求作为目标，建立目标函数，并确定函数的定
4、义域；其次，应用极值知识求目标函数的最大值或最小值；最后应按问题的要求给出结论。现在学习的是第8页，共18页例5 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截取一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做一个无盖的方盒。问截掉的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？而方盒的最大容积为多少？解（1）分析问题，建立目标函数设小正方形的边长为x，则方盒底的边长为a2x，若以V表示方盒的容积，则V与x的函数关系是（2）解最大值问题，即确定x的值，以使V取最大值。a？xa-2xa-2x现在学习的是第9页，共18页因为所以由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点，这也就是取得最大值的点。(3)结论：当小正方形边长
5、 时，方盒容积最大，其值为现在学习的是第10页，共18页例6 欲围建一个面积为288m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三面墙壁新建，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使所用材料最少？解建立目标函数设场地的宽为x，为使场地面积为288m2，则场地的长应为若以l表示新建墙壁的总长度，则目标函数为x(0,+)解极值问题由得驻点 x=12（x=12舍去）又所以，x=12是极小值点。由于函数在其定义域内只有一个极值点，且是极小值点，这就是使函数取得最小值的点。当宽x=12m时，长 =24m.于是，新建墙壁的长为24m，宽为12m时，所建堆料场用料最少。288m2x现在学习的是第11页，共18页
6、练习：练习：欲制作一个容积为500cm3的圆柱形的铝罐。为使所用材料最省，铝罐的底半径和高的尺寸应是多少？解这是在容积一定的条件下，使用料最省。我们的目标自然就是 使铝罐的表面积最小。设铝罐的底半径为r，高为h，表面积为A，rh则A=两底圆面积+侧面面积由于铝罐的容积为500cm3，所以有于是，表面积A与底半径r的函数关系为x(0,+)现在学习的是第12页，共18页由得唯一驻点又所以，r=4.30cm是极小值点，也是取得最小值的点.由上面h的表达式可得 因此，当底半径r=4.30cm，侧高h=2r=8.60cm时，所做铝罐用料最省。现在学习的是第13页，共18页(k 为某一常数)练习练习5.铁
7、路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?解解:设则令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问20km,公路,现在学习的是第14页，共18页1.1.函数极值的确定方法函数极值的确定方法 小小 结结(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值现在学习的是第15页，共18页小小 结结2.2.闭区间上连续函数最值的求法闭区间上连续函数最值的求法3.3.解实际应用最值问题中应注意的问题解实际应用最值问题中应注意的问题首先，求出函数在开区间(a,b)内所有可能是极值点的函数值；其次，求出区间端点的函数值f(a)和f(b)；最后，将这些函数值进行比较，其中最大(小)者为最大(小)值。首先要把问题的要求作为目标，建立目标函数，并确定函数的定义域；其次，应用极值知识求目标函数的最大值或最小值；最后应按问题的要求给出结论。现在学习的是第16页，共18页作业P.67 AP.67 A组组 2 32 3现在学习的是第17页，共18页感谢大家观看9/26/2022现在学习的是第18页，共18页