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1、第十七章卷（3）一、选择题1分别以下列五组数为一个三角形的边长：6，8，10 13，5，12 1，2，3 9，40，41 3，4，5其中能构成直角三角形的有（）组A2B3C4D52已知ABC中，A=B=C，则它的三条边之比为（）A1：1：B1：2C1：D1：4：13已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）AB3C+2D4如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米D15米5放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖
2、家的直线距离为（）A600米B800米C1000米D不能确定6如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）Al1Bl2Cl3Dl47如图，分别以直角ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）AS1=S2BS1S2CS1S2D无法确定8在ABC中，C=90，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（）A5，4，3B13，12，5C10，8
3、，6D26，24，109如图所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则AE=（）A1BCD210直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（）A182B183C184D185二、填空题11木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）12如图所示，以RtABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=12，则S3= 13将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 14如果一个三角形的三个内
4、角之比是1：2：3，且最小边的长度是8，最长边的长度是 15若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为 度16已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 cm17命题：“同角的余角相等”的逆命题是 18如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 （结果保留根号）19如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m20一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/
5、时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，则上午10：00，两小船相距 海里三、解答题21如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）22三个半圆的面积分别为S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC一定是直角三角形吗？说明理由23某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？24如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的
6、小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？25印度数学家什迦逻（1141年1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题26如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间
7、？27细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题（）2+1=2，S1=（）2+1=3，S2=（）2+1=4，S3=(1)请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出S12+S22+S22+S102的值答案1分别以下列五组数为一个三角形的边长：6，8，10 13，5，12 1，2，3 9，40，41 3，4，5其中能构成直角三角形的有（）组A2B3C4D5【考点】勾股定理的逆定理【专题】选择题【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可如果有这种关系，这个就是直角三角形【解答】解：因为62+82=102，
8、132=52+122，92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组故选B【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断2已知ABC中，A=B=C，则它的三条边之比为（）A1：1：B1：2C1：D1：4：1【考点】勾股定理【专题】选择题【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比【解答】解：A=B=C，A+B+C=180，A=30，B=60，C=90，c=2a，b=a，三条边的比是1：2故选B【点评】本题考查了三
9、角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比3已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）AB3C+2D【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形【专题】选择题【分析】根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答【解答】解：如图所示，RtABC中，B=60，AB=1，则A=9060=30，故BC=AB=1=，AC=，故此三角形的周长是故选D【点评】考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半熟练运用勾股定理4如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米
10、D15米【考点】勾股定理的应用【专题】选择题【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=12米故选A【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单5放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A600米B800米C1000米D不能确定【考点】勾股定理的应用【专题】选择题【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解【解答
11、】解：根据题意得：如图：OA=4020=800mOB=4015=600m在直角OAB中，AB=1000米故选C【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键6如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）Al1Bl2Cl3Dl4【考点】勾股定理的应用【专题】选择题【分析】根据30度直角边等于斜边一半，高是5，然后用勾股来算；或根据正弦函数等于对边比
12、斜边即可解答【解答】解：方法1：ACD=9060=30，设拉线AC=x，则AD=x，则x2=（x）2+52，AC=x=5.77，AC=x=（不合题意舍去）方法2：如图CD=5米，A=60AC=5.77米所以最好选用l2故选B【点评】此题主要考查三角函数的运用能力7如图，分别以直角ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）AS1=S2BS1S2CS1S2D无法确定【考点】勾股定理【专题】选择题【分析】因为是直角三角形，所以可以直接运用勾股定理，然后运用圆的面积公式来求解【解答】解：ABC为直角三角形，AB2=AC2+BC2又S1
13、=，=（）=S1S1=S2，故选A【点评】此题考查的是勾股定理的运用，三角形的直角边之和等于第三边，而且圆的面积公式中R2正好与勾股定理中的平方有联系，因此可将二者结合起来看8在ABC中，C=90，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（）A5，4，3B13，12，5C10，8，6D26，24，10【考点】勾股定理【专题】选择题【分析】由斜边与一直角边比是13：5，设斜边是13k，则直角边是5k根据勾股定理，得另一条直角边是12k根据题意，求得三边的长即可【解答】解：设斜边是13k，直角边是5k，根据勾股定理，得另一条直角边是12k根据题意，得：13k+5k+12k=
14、60解得：k=2则三边分别是26，24，10故选D【点评】用一个未知数表示出三边，根据已知条件列方程即可熟练运用勾股定理9如图所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则AE=（）A1BCD2【考点】勾股定理【专题】选择题【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可【解答】解：AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，AC=；AD=；AE=2故选D【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方10直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（）A182B183C184D185【考点】勾股定理【专
15、题】选择题【分析】设出另一直角边和斜边，根据勾股定理列出方程，再根据边长都是自然数这一特点，写出二元一次方程组，求解即可【解答】解：设另一直角边长为x，斜边为y，根据勾股定理可得x2+132=y2，即（y+x）（yx）=1691因为x、y都是连续自然数，可得，周长为13+84+85=182；故选A【点评】本题综合考查了勾股定理与二元一次方程组，解这类题的关键是利用勾股定理来寻求未知系数的等量关系11木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）【考点】勾股定理的应用【专题】填空题【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是
16、否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格【解答】解：802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，D=90，同理：B=BCD=90，四边形ABCD是矩形，这个桌面合格故答案为：合格【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四
17、边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形12如图所示，以RtABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=12，则S3= 【考点】勾股定理【专题】填空题【分析】由正方形的面积公式可知S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，在RtABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3【解答】解：S1=4，BC2=4，S2=12，AC2=12，在RtABC中，BC2+AC2=AB2=4+12=16，S3=AB2=16故答案为：16【点评】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一
18、般13将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 【考点】勾股定理的应用【专题】填空题【分析】在RtABC中，利用勾股定理即可求出BC的值【解答】解：在RtABC中，AB2=AC2BC2，AB=10m，AC=6m，BC=8m，即梯子的底端到墙的底端的距离为8m故答案为：8米【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式14如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3，且最小边的长度是8，最长边的长度是 【考点】勾股定理；三角形内角和定理【专题】填空题【分析】根据三角形的三个内角之比是1：2：3，求出各角的
19、度数，再根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：设一份是x，则三个角分别是x，2x，3x再根据三角形的内角和定理，得：x+2x+3x=180，解得：x=30，则2x=60，3x=90故此三角形是有一个30角的直角三角形根据30的角所对的直角边是斜边的一半，得，最长边的长度是16【点评】此题要首先根据三角形的内角和定理求得三个角的度数，再根据直角三角形的性质求得最长边的长度即可15若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为 度【考点】勾股定理的逆定理【专题】填空题【分析】一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，依此可得这个三
20、角形中最大的角的度数【解答】解：设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则（5x）2+（12x）2=（13x）2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形则这个三角形中最大的角为90度故答案为：90【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形16已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 cm【考点】勾股定理【专题】填空题【分析】根据勾股定理可求出斜边然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答【解答】解：直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，斜边为=1
21、0，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为68=10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握17命题：“同角的余角相等”的逆命题是 【考点】互逆命题【专题】填空题【分析】先把同角的余角相等写成“如果那么”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题【解答】解：“同角的余角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角【点评】本题考查了命题与定理，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键18如图是一个三级台阶，它的每一级
22、的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 （结果保留根号）【考点】勾股定理的应用【专题】填空题【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为25dm，宽为（3+3）3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=252+（3+3）32=949，解得x=故答案为dm【点评】此题主要考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出
23、长方形的长和宽即可解答19如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m【考点】勾股定理的应用【专题】填空题【分析】利用勾股定理，用一边表示另一边，代入数据即可得出结果【解答】解：由图形及题意可知，AB2+BC2=AC2设旗杆顶部距离底部有x米，有32+x2=52，得x=4，故答案为4【点评】本题主要是考查学生对勾股定理的熟练掌握，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理20一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，则上午10：00，两小船相距 海里【考点】勾股定理的应用【
24、专题】填空题【分析】正东方向与正南方向正好构成直角，因而两船所经过的路线，与10：00时，两船之间的连线正好构成直角三角形根据勾股定理即可求解【解答】解：在直角OAB中，OB=28=16海里OA=12海里，根据勾股定理：AB=20海里故答案为：20【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键21如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）【考点】勾股定理的应用【专题】解答题【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解【解答】解：如图所示，过D点作DEAB，垂足为EAB=13，CD=8又BE=CD，D
25、E=BCAE=ABBE=ABCD=138=5在RtADE中，DE=BC=12AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169AD=13（负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键22三个半圆的面积分别为S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC一定是直角三角形吗？说明理由【考点】勾股定理的逆定理【专题】解答题【分析】根据S1、S2、S3，可得出AC2，BC2及AB2，根据勾股定理的逆定理可得出三角形是直角三角形【解答】解：S1=（）2=4.5，S2=（）2=8，S3=（）2=1
26、2.5，AC2=36，BC2=64，AB2=100，又AC2+BC2=AB2，ABC一定是直角三角形【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，关键是根据面积表示出AC2，BC2及AB2，要求熟练掌握勾股定理的逆定理23某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理【专题】解答题【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得
27、三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由RtABD和RtDBC构成，则容易求解【解答】解：连接BD，在RtABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，DBC=90，S四边形ABCD=SBAD+SDBC=ADAB+DBBC，=43+125=36所以需费用36200=7200（元）【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单24如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马
28、牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【考点】勾股定理的应用【专题】解答题【分析】先作A关于MN的对称点，连接AB，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A，连接AB交MN于点P，则AB就是最短路线，在RtADB中，由勾股定理求得AB=DA=17km，答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中25印度数学家什迦逻（1141年1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强
29、风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题【考点】勾股定理的应用【专题】解答题【分析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出【解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为（x+0.5）尺，根据勾股定理得：在RtABC中，有：x2+s2=（x+0.5）2，在RtADC中，有：0.52+s2=22，由以上两式解得：x=3.5，即湖水深3.5尺【点评】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解26如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，
30、以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？【考点】勾股定理的应用【专题】解答题【分析】(1)点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC200则A城不受影响，否则受影响；(2)点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则ADG是等腰三角形，由于ACBF，则C是DG的中点，在RtADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间【解答】解：(1
31、)由A点向BF作垂线，垂足为C，在RtABC中，ABC=30，AB=320km，则AC=160km，因为160200，所以A城要受台风影响；(2)设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米因为DA=AG，所以ADG是等腰三角形，因为ACBF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在RtADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=24040=6（小时）【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂27细心观察下图，认真分析各式，然后解答
32、问题（）2+1=2，S1=（）2+1=3，S2=（）2+1=4，S3=(1)请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出S12+S22+S22+S102的值【考点】勾股定理【专题】解答题【分析】此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得由同述OA2=，0A3=可知OA10=S12+S22+S32+S102的值就是把面积的平方相加就可【解答】解：(1)（1分）（n是正整数）（2分）(2)（3分）(3)S12+S22+S32+S102=（5分）=（6分）【点评】此题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算千万不可盲目计算