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1、4.1 4.1 微分方程建模实例微分方程建模实例( (一一) ) 4.1.1. 一个简单的例一个简单的例 4.1.2. 万有引力定律的发现万有引力定律的发现在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.在连续变量问题的研究中，或可化为连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一.4.1.1 一个简单的例一个简单的例问题：问题：某人某人的食量是的食量是10467(10467(焦焦/ /天天) )，其中其中5038(5038(焦焦/ /天天) )用于用于基本的基本的新陈代谢新陈代谢( (即
2、即自动自动消耗消耗). ). 在在健身训练中，他所消耗的热量大约是健身训练中，他所消耗的热量大约是69(69(焦焦/ /公公斤斤 天天) )乘乘以他的以他的体重体重( (公斤公斤). ). 假设假设以脂肪形式贮藏的热量以脂肪形式贮藏的热量100%100%地有效，而地有效，而1 1公公斤脂肪含热量斤脂肪含热量41868(41868(焦焦). ). 试试研究此人的体重随时间变化的规律研究此人的体重随时间变化的规律. .模型准备模型准备 在问题中并未出现在问题中并未出现“导数导数”这样的关键词，但这样的关键词，但要寻找的是体重要寻找的是体重(记为记为 W) 关于时间关于时间 t 的函数的函数.如果我
3、们把体重如果我们把体重 W 看作是时间看作是时间 t 的连续可微的连续可微函数，我们就能找到一个含有的函数，我们就能找到一个含有的 的微分方的微分方程程.dtdW模型假设模型假设 以以 W(t) 表示表示 t 时刻某人的体重，并设时刻某人的体重，并设 t = 0时时刻，人的体重为刻，人的体重为 W0 .体重的变化是一个渐变的过程体重的变化是一个渐变的过程,，因此可认为，因此可认为 W(t) 关于关于 t 是连续而且充分光滑的是连续而且充分光滑的.体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收，输指扣除了基本新陈代谢之后的净食
4、量吸收，输出就是进行健身训练时的消耗出就是进行健身训练时的消耗.模型构成模型构成 由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此， 体重的变化体重的变化 /天天 = 输入输入/天天 - 输出输出 / 天天 .某人的食量是某人的食量是10467(10467(焦焦/ /天天) )，其中，其中5038(5038(焦焦/ /天天) )用于用于基本的新陈代谢基本的新陈代谢. .输入输入 / 天天 = 10467 - 5038 = 5429 (焦焦/天天).在健身训练中，他所消耗的热量大约是在健身训练中，他所消耗的热量大约是69(69(焦焦/ /公斤公斤 天天) )乘以他的
5、体重乘以他的体重( (公斤公斤). ). 输出输出 / 天天 = 69 W(t) = 69W(t) (焦焦/天天).输入输入 / 天天 = 10467 - 5038 = 5429 (焦焦/天天).输出输出 / 天天 = 69 W(t) = 69W(t) (焦焦/天天).假设以脂肪形式贮藏的热量假设以脂肪形式贮藏的热量100%100%地有效，而地有效，而1 1公斤脂公斤脂肪含热量肪含热量41868(41868(焦焦).).0054296941868tdWWdtWW1296 1610000W10000160)16161296(81teWW解微分方程，有解微分方程，有4.1.2 万有引力定律的发现万
6、有引力定律的发现宇宙宇宙万物之间都存在相互万物之间都存在相互的引力，其作用方向在两的引力，其作用方向在两者的连线上，其大小与两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和者质量的乘积成正比而和两者距离的平方成两者距离的平方成反比反比, ,比比例例系数是绝对系数是绝对常数常数. .艾萨克艾萨克- -牛顿牛顿 (Isaac Newton) 1643 - 1727十五世纪中期十五世纪中期 ，波兰天文学家，波兰天文学家哥白尼哥白尼提出了震惊世提出了震惊世界的界的日心说日心说 .丹麦著名的实验天文学丹麦著名的实验天文学 家家第谷第谷花了二十多年时间花了二十多年时间 观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发现
7、的五大时已发现的五大行星的运动情况行星的运动情况.第谷的学生和助手第谷的学生和助手 开普勒开普勒对这些资料进行了九年时对这些资料进行了九年时间的分析计算后间的分析计算后 得出著名的得出著名的开普勒三大定律开普勒三大定律.牛顿牛顿根据开普勒三大定律和牛顿第二定律，利用微积根据开普勒三大定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律万有引力定律.模模型型准准备备 1. 行星轨道是一行星轨道是一 个椭圆，个椭圆， 太阳位于此椭圆的一个焦太阳位于此椭圆的一个焦 点上点上. 2. 行星在单位时间内扫过的行星在单位时间内扫过的 面积不变面积不变.3. 行星运行
8、周期的平方正比行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而比例系数不随行星而 改变改变 (绝对常数绝对常数).开普勒三大定律开普勒三大定律 模型构成模型构成开普勒第一定律开普勒第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上. .以太阳为极点，椭圆以太阳为极点，椭圆的长轴为极轴建立极的长轴为极轴建立极坐标，坐标，则行星的轨道方程为则行星的轨道方程为行星行星r太阳太阳,1cospre其中，其中，a, b 为椭圆的为椭圆的长、短半轴，长、短半轴，1.222bbp =,e =aa牛
9、顿第二定律牛顿第二定律：行星运动时受到的力等于行星加速：行星运动时受到的力等于行星加速度和行星质量的乘积，即度和行星质量的乘积，即 用向径用向径 表示行星的位置，则表示行星的位置，则称为称为 径向速度径向速度.Fmardrvdt, r22d radt, r称为称为 径向加速度径向加速度.于是，于是，.Fmr为计算行星的加速度，建立为计算行星的加速度，建立 两种不同的坐标架两种不同的坐标架: 第一个是以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单第一个是以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记位向量记 为为 , 沿短轴方向的单位向量记为沿短轴方向的单位向量记为 .第二个是以行星为坐标原点建立活动架标，其第二个
10、是以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是两个正交的单位向量分别是. rrrucossinsincos rluijuij于是，于是，ij行星行星r太阳太阳urul. rrrucossinsincos rluijuij于是，于是，1cospre因此，因此， rrrruru. rlruru2).(2)rlrrurrur为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第二定律二定律.开普勒第二定律开普勒第二定律：行星在单位时间内扫过的面积不行星在单位时间内扫过的面积不变变，即单位时间向径，即单位时间向径 扫过的面积是常数扫过的面积是常数A， 21.2rA
11、于是，于是，r22,Ar34.Arr2()(2) rlrlrrururrrurru= 022,Ar34.Arr2() rlrrrururrru1cospre2sin ,Aerp234().Aprrpr224 rArupr由由224 rA mFupr下面需要证明下面需要证明 A2/ p 是绝对常数，即它与哪一颗行是绝对常数，即它与哪一颗行星无关星无关. 这要用到这要用到开普勒第三定开普勒第三定 律律:开普勒第三定律开普勒第三定律：行星运行周期的平方正比于椭圆行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方长半轴的三次方 ，比例系数不随行星而，比例系数不随行星而 改变，即改变，即 23.Ta下面需要证明
12、下面需要证明 A2/ p 是绝对常数，即它与哪一颗行是绝对常数，即它与哪一颗行星无关星无关. 因为因为 A 是单位时间内向径扫过的面积，行星运行是单位时间内向径扫过的面积，行星运行一个周期一个周期 T 向径扫过的面积恰是以向径扫过的面积恰是以 a、b 为长、为长、短半轴的椭圆面积，所以短半轴的椭圆面积，所以 TA = ab .开普勒第三定律开普勒第三定律： ( (是绝对常数是绝对常数) )23,Ta22222a bTA3a2bp =a由由2bpa22Ap22Ap224 rA mFupr224 rmFur与熟悉的万有引力定律比较，只需再验证与熟悉的万有引力定律比较，只需再验证24, kM其中，其中，k 为万有引力常数，为万有引力常数，M 为太阳质量为太阳质量. .