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1、微分方程建模吉林大学 方沛辰第1页大家知道导数定义导数意义旅程数 量能量利息流量切削量速度增加率功率利率流速切削速度它含义通常是改变率、速度等，随详细问题而定。（1）当y=f(x)是一条曲线时，y(x)是x点处切线斜率。（2）当x=x(t)是一个随时间改变量，是单位时间对应量。（3）当某一个量为常数时，问题 就简单了。（4）导数也是函数。第2页微分方程建模1.放水过程有一个柱状水箱，水平截面积为常数A，原来水高H，t=0时刻下面一个面积为B门打开开始放水，求之后水位与t关系，何时水放光？解：开门后，水自然向外流，开始快，以后越来越慢，记t时刻水位为h(t)小门处流速为v(t)，由能量守恒定律，
2、门口处水势能要转化成动能，二者相等。则在t，t+t之间，-(h(t+t)-h(t)A=Bv(t)t，即体积改变等于流出水量。令t0则有第3页是变量分离常微分方程。是变量分离常微分方程。初始情况是t=0时，h(0)=H,这就是水位与时间关系。在h=0，即水放光时第4页2.耐用消费品销售新产品销售量一个耐用消费品进入市场后，普通是开始销得慢，逐步加紧，当普及了之后，速度又逐步减小，Product Life Cycle产品生命周期。有些人认为应该是钟型曲线，请建模分析一下PLC曲线。新产品销售规律对于制订计划指挥生产，促进销售有指导意义。问题分析：问题分析：未购置者购置常经过两种渠道宣传：1.厂家或
3、销售商广告宣传，另外在商店看到商品演出，总之是消费者之外信息传输；2.已购置者对未购置者宣传，这是消费者内部信息交流。耐用消费品通常一个家庭有一个即可，比如洗衣机、电冰箱、微波炉、热水器、DVD所以销售数量即为销售人数，不重复购置建立模型：建立模型：记潜在市场人数为K，n(t)为t时刻已购置者人数，t到t+t之间n1为完全由消费者外信息交流造成增加量,n2为由消费者内部造成消费增加量。第5页n1与未购置者成正比，即n1=a(K-n(t)t,n2与未购置者成正比，也与已购置者成正比，所以 n2=bn(t)(K-n(t)t,其中a,b为百分比系数（常数）总增量 n(t)=n1+n2=a(K-n(t
4、)t+bn(t)(K-n(t)t设n(0)=0，微分方程解为：思索：新产品销售时还常有双峰现象，即开始有一个小高峰，接着持平或下落，然后出现更大高峰，研究这个现象。假设假设第6页3.二氧化碳吸收空气经过盛有CO2吸收剂圆柱形器皿，已知它吸收CO2量与CO2浓度及吸收层厚度成正比，今有含CO28%空气经过厚度为10cm吸收层后浓度为2%，求：（1）若吸收层变为30cm厚，出口浓度是多少？（2）要使出口浓度为1%，应该设多厚吸收层？解：解：记吸收层厚度为d，等分n份，每小层d/n厘米。入口浓度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为：k8%d/n，含量变为：第二层吸收了第二层后浓度=第7页依这
5、类推，最终第n层后浓度为从而n即无限细分经过d厘米后出口浓度这就是我们要求表示式。在经过10cm厚吸收层后浓度为2%：8%e-k*10=2%得到（1）在经过30cm厚吸收层后浓度为8%e-30*ln2/5=8%/26=0.125%（2）要使出口浓度为1%，8%e-d*ln2/5=1%，则d=15cm练习：1.用处理放水问题和耐用消费品销售量方法推出出口 浓度与吸收层厚度关系模型。2.推出线长度为L单摆周期计算公式。马上拿纸做，下课交，做什么程度算什么样。第8页引入变量t：表示厚度改变，引入函数f(t)表示经过厚度t后浓度：在(t,t+t)中f(t)增量相反数即为浓度吸收量，它与浓度和厚度成正比
6、：第9页周期性静脉注射一室模型由药品动力学理论，一次静脉注射D0药品后经过时间t，体内血药浓度为其中k0为消除速率常数，V为表观分布体积，若每隔时间注射一次，试求n次注射后体内血药浓度cn(t)与n次注射后时间t关系。解第一次注射后，体内血药浓度为：第二次注射前，体内血药浓度为：第二次注射后瞬间，血药浓度为：第二次注射后，体内血药浓度为：第三次注射前，体内血药浓度为：第三次注射后瞬间，血药浓度为：第10页第三次注射后：依这类推，第n次注射后算起t时刻血药浓度：由函数可见每次注射后，下降规律相同，n增大时cn(t)增大，n无限增大是否有极限呢？这是稳态后血药浓度，称为坪浓度，第11页临床应用：（
7、1）制订给药方案D0，改变影响(c)max,(c)min,css.怎样选取呢？应使血药浓度一直在最小有效浓度Ce到最小中毒浓度之间。于是取(c)min=最小有效浓度Ce，(c)max=最小中毒浓度，然后从中解出作为最大给药间隔，再令(c)min=Ce（2）负荷剂量医生常希望病人马上进入坪浓度，然后每隔补充维持剂量D0，故第一次剂量应大些，称负荷剂量或冲击剂量，记为D*0。第12页负荷剂量是平时剂量(1-e-k)-1倍。有时医生常以2倍剂量为冲击剂量，相当于令(1-e-k)-1=2，则=ln2/k=T1/2半衰期，仅当等于或靠近半衰期才合乎要求，不然不妥。练习题1.曲柄连杆机构运动规律。OA以为
8、角速度旋转，t=0时OA与OB重合。2.美元换加拿大元时币面数量增加12%，加拿大元换美元时币面数量降低12%，有一美国人欲上加拿大旅游而换了1000$，后因故未去，再换回美元，他损失没有？AORLB第13页第14页微分方程处理问题时惯用4种方法建立模型：1.直接分析y与x之间关系，建立模型；2.无限细分利用趋近于e特殊极限建立模型；3.把变量和它各阶导数都看作不一样变量，综合建模。比如运动学中t表示时间，x表示走过路程，表示速度，表示加速度，各看成各量建模。4.追击问题有特殊一套建模方法，下面我们介绍几个这种方法建模例题。在追击问题里，追击者常瞄着逃跑者而追去，二者之间坐标形成一个差向量(x
9、2-x1,y2-y1)，它就是追击曲线切向量方向。(x1,y1)(x2,y2)令y=y=y y2 2-y-y1 1，x=x x=x2 2-x-x1 1，注意到：y=y=y/xy/x利用这一点，很快就建立起微分方程来。第15页导弹打敌舰一艘导弹驱逐舰在距敌舰a时发射一枚自动跟踪导弹，与此同时敌舰以v0a速度向与两船联线垂直方向逃走，导弹速度是5v0a，求导弹追击轨迹与击中时间。解以两船联线为横轴，驱逐舰为原点建坐标架。引入单位a，将全部距离及速度都除以a，方便计算。Oy1 xP(x,y)Q(1,v0t)记t=0导弹发射时刻，t时刻敌船在Q，坐标为：(1,v0t)，导弹位置P(x,y)，差向量(1
10、-x,v0t-y)就是曲线切向量，模型里y(t)，x(t)都是t函数，不过三个变量不好处理，注意我们要求是y(x)。第16页再建立一个y(t)，x(t)，t关系：t t时间里导弹已飞时间里导弹已飞行距离是可求。行距离是可求。消去t得到这个微分方程用我们所学过知识解不了，只能用MatLab求解。语句格式是y=dsolve(方程1，方程n，初始条件，自变量)其中Y用Dy表示，y用D2y表示，相关情况可参考吗MatLab书籍。求出结果x=1时y=5/24即为击中位置，击中时间5/(24v0)第17页四人追击游戏四个人分别站在一个正方形四个顶点上，号令一下开始追击，规则是每人分别追击自己前面一个人（逆
11、时针方向），也就是AB，BC,CD,DA,假设每个人速度v一直都相同，最终结果是怎样？总用时多少？路线是什么曲线？BACDA1B1C1D1分析：分析：1.追击开始后，大家将进入正方形里面，距离将变小，因为追击规则及四个人速度和方向假定，四人还是在某个正方形顶点上。2.会不会出现四个人绕一个圆循环追？不会！距离会不停缩小最终到一点，就是正方形中心。追击曲线是四条指向中心螺旋线（可能绕中心几周）3.坐标架怎么建？O点在中心，直角坐标架。O第18页如图把A和B瞬时位置记为P和Q，P坐标识为P(x,y)，BACDOPQxy-yx考虑Q点坐标Q(-y,x),于是差向量为按照上题方法但x和y都是t函数，还是建立X(t)和y(t)表示式为好。xy(-y-x,x-y)引入P点附近dx和dy利用三角形相同性得到第19页这个方程组极难解，而且我们注意到曲线将围绕O点转些圈，用极坐标将使问题简化，所以建立极坐标。OrdrddrdsP在P(,r)点处给一个增量d，引发ds，dr，再以r为半径画弧,在d之间为rd,注意极坐标下弧长微分公式:可写为注意到能够推出dr=rd，所以第20页我们先求解显然解为再求解最终第21页极坐标与直角坐标下两个方程等价性两个方程一样吗？第22页第23页第24页第25页