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1、数列通项公式的求法 nanncos1注： 有的数列没有通项公式，如：3，e，6；有的数列有多个通项公式,如： 数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系一、观察法（又叫猜想法，不完全一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：归纳法）：观察数列中各项与其序号间的观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式而归纳出构成规律写出通项公式. 例1：数列9，99，999，9999，110 nna解：变形为：1011，102
2、1，1031，1041， 通项公式为：注意注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如的，如2，4，8，。可归纳成。可归纳成 或或 者者 两个不同的数列（两个不同的数列（ 便不同）便不同）nna222nnan4a二、累加法（又叫加减法，叠加法）二、累加法（又叫加减法，叠加法） 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用累加法进行消元 .例3，求数列：1，3，6，10，15，21，的通项公式na解： 两边相加得： 212aa323 aa545 aanaann1naan43
3、21) 1(21nnan434aa三、累积法（叠乘法）三、累积法（叠乘法） 当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用累积法进行消元 例4、已知数列 中 ， ，求通项公式 。 na21annnaa31na解：由已知 ， ，得： 把1，2，n分别代入上式得： ， ，21annnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaa四、待定系数法：四、待定系数法： 用待定系数法解题时，常先假定通项公式用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前或前n项和公式为某一多项式，一般地，项和公式为某一多项式，一般地，若数列若数列 为等差数列：则为等差数列：则 或是或是 （A、B为常数），若
4、为常数），若数列数列 为等比数列，则为等比数列，则 或或 。naqpnanBnAnsn2na1nncqa) 1, 0(qAqAAqsnn例 5 已 知 数 列 的 前 n 项 和为 ，若 为等差数列，求p与 。nanana3) 1(2pnpPnsn五、五、 已知数列的前已知数列的前n项和公式，求通项项和公式，求通项公式的基本方法是：公式的基本方法是： 注意：要先分注意：要先分n=1和和 两种情况分别进两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。行运算，然后验证能否统一。)2() 1(11nssnsannn2n例7已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。（1） （2）nanannsn3
5、2212 nsn六、六、 换元法换元法当给出递推关系求 时，主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。na例8，已知数列 的递推关系为 ，且 求通项公式 。na121nnaa11ana解： 121nnaa) 1(211nnaa令则辅助数列 是公比为2的等比数列 即1nnabnb11nnqbbnnnqaa2) 1(11112 nna例 9 ， 已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ，且 ， ，求通项公式 。na4212nnnaaa11a32ana解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 则数列 是以4为公差的等差数列 nnnaab1nb2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423aa23434 aa2) 1(41naann两边分别相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422nnan例10，已知 ， ，且 ，求 。 21a0na)(211Nnaaaannnnna解： 即 0211nnnnnaaaaa且2111nnaa2111nnaa 令 ，则数列 是公差为-2的等差数列 因此nnab1nbdnbbn) 1(1 245)1(2111nnaannan452