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1、第二节函数的基本性质第二节函数的基本性质知识点一 函数的单调性1.1.单调性单调性(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定定义义一般地，设函数一般地，设函数f f( (x x) )的定义域为的定义域为I I. .如果对于定义如果对于定义域域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x x2 2时，都有时，都有 ，那么就说函数那么就说函数f f( (x x) )在在区间区间D D上是增函数上是增函数 ，那么就说函数那么就说函数f f( (x x) )在在区间区间D D上是减函数上是减函数f(x1)
2、f(x2)f(x1)0 x1,+),f(x)0恒成立，试求实恒成立，试求实 数数a a的取值范围的取值范围. . 思维启迪思维启迪 第第(1)(1)问可问可先证明函数先证明函数f(x)f(x)在在11,+) ) 上上的单调性的单调性,然后然后利用函数的单调性求解，利用函数的单调性求解，对对于于第第 (2)(2)问可采问可采用转化为求函数用转化为求函数f(x)f(x)在在11,+) )上上的的最小最小 值大值大于于0 0的的问问题题来来解解决决. .还可以使还可以使用用分离参分离参数数法法2 2、比较函数值或两个自变量的大小比较函数值或两个自变量的大小. .比较函数值的大小，应将自变量转化到同一
3、个单调区比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决间内，然后利用函数的单调性解决. .3 3、解不等式解不等式. .在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将的单调性将“f f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解求解. .此时应特别注意函数的定义域此时应特别注意函数的定义域. .上述两类题型常与函数的奇偶性相结合考查上述两类题型常与函数的奇偶性相结合考查4 4、利用单调性求参数、利用单调性求参数. .视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确视参数为已知数，依据函
4、数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. .例例1.1.函数函数f f( (x x) )| |x xa a| |在在( (，22上单调递减，上单调递减，则则a a的取值范围是的取值范围是 例例2.2.已知已知 是是R R上的减函数，那上的减函数，那么么a a的取值范围是的取值范围是1,log1,4) 13()(xxxaxaxfa3171，题型三题型三 函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断(1)(1)定义法定义法(2)(2)图象法图象法(3)(3)性质法性质法若若f f( (x x) )，g g( (x x) )在其公共定义域上具
5、有奇偶性，则奇奇奇；在其公共定义域上具有奇偶性，则奇奇奇；奇奇奇偶，偶偶偶，偶奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶偶，奇偶奇偶奇. .xxxfxxxxxxxfxxxfeeeexfxxxxfxxxxcos)(50,0,)()4()1(log)()3()()2(11) 1()(122222）（）（偶性例、判断下列函数的奇非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数首先必须判断函数的定义域是否关于原点对称首先必须判断函数的定义域是否关于原点对称（4）可以用定义判断）可以用定义判断也可以画图也可以画图偶函数偶函数题型四题型四 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用重点类型重点类型解决方法解决方法求函数
6、值求函数值或解析式或解析式把待求值或自变量把待求值或自变量x x利用奇偶性转化为已利用奇偶性转化为已知区间的函数值或解析式求解知区间的函数值或解析式求解. .求参数值求参数值利用待定系数法求解利用待定系数法求解. .根据根据f f( (x x) )f f( (x x) )得到关于待求参数的恒等式，由系数的对得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值等性得参数的值. .解决有关函数解决有关函数图象的问题图象的问题利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数 的图象关于的图象关于y y轴对称，画出另一半对称区间轴对称，画出另一半对称区间上的图象上的图象. .奇偶
7、性与其他奇偶性与其他性质的综合应性质的综合应用用(1)(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反性相反(2)(2)在利用函数的性质求函数值或比较函数在利用函数的性质求函数值或比较函数值的大小时，要综合利用函数的周期性与奇值的大小时，要综合利用函数的周期性与奇偶性，把自变量化归到已知区间中，然后根偶性，把自变量化归到已知区间中，然后根据相关的性质求解据相关的性质求解. .1 1、求函数值或解析式求函数值或解析式.)(), 0(,)()0 ,()(2) 1(1)(0)(122数进一步求
8、函数解析式上题将偶函数改成奇函变式训练时，则当时，上的偶函数，当是定义在、已知函数例，则时，且当是定义在上的奇函数，、已知函数例xfxxxxfxRxffxxxfxxf解决此类题型分三步：解决此类题型分三步：将所求解析式的自变量的范将所求解析式的自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式析式奇偶性两个性质：奇偶性两个性质：（1 1）若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称）若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称例例1 1、若函数若函数f f( (x x
9、) )axax2 2bxbx3 3a ab b是偶函数，定义是偶函数，定义域为域为 a a1 1，2 2a a ，则，则a a_，b b_._.2 2、已知函数的奇偶性，求参数、已知函数的奇偶性，求参数. .)()()()(xfxfxfxf是偶函数，则若函数质补充：偶函数的重要性的取值范围是的则满足上单调递增，在区间、已知偶函数例xfxfxf)31() 12(0)(33231 x若已知函数的奇偶性，求参数的值若已知函数的奇偶性，求参数的值. .可从以可从以下几个角度来思考：下几个角度来思考：从函数的定义域的角度，即函数的奇偶从函数的定义域的角度，即函数的奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称；性
10、的前提条件是定义域关于原点对称；从函数解析式的角度，即从函数解析式的角度，即f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的的关系；关系；从赋值的角度，即用特殊值代入求解从赋值的角度，即用特殊值代入求解. .3 3、奇函数的特别应用、奇函数的特别应用的值为则若例、函数)(2)(),( 1sin)(3afafRxxxxf. 01)()(1)()()(1)(, 21)(. 1)()(,sin)(3agafagagxgyagagxgxfxxxg所以是奇函数，故又所以依题意，得得到令解析： 例例1 1、下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在在( (，0)0)上单调递增
11、的函数是上单调递增的函数是( () )4 4、函数奇偶性、单调性的综合应用、函数奇偶性、单调性的综合应用方法方法1 1：利用代数思想解题：利用代数思想解题方法方法2 2：利用图像解题：利用图像解题答案(1)C(2)(，13，)点评解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2)的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.的取值范围是，则实数若时，上的奇函数，当是定义在、已知例aafafxxxfxRxf)()2(,2)(0)(32212a分析：利用函数奇偶性与单调性之间的关系可确分析：利用函数奇偶性与单调性之间的关系可确定函数定函数f(x)f(x)在在R R上是单调递增的，再利用单调性解上是单
12、调递增的，再利用单调性解不等式不等式. .的取值范围是实数的上递减，则满足，且在区间的定义域为已知奇函数变式训练：mmfmfxf0)1 ()1 (0 , 2-2 , 2-)(21 , 1-题型五、函数的周期性解题方略题型五、函数的周期性解题方略1.1.有关函数周期性的常用结论有关函数周期性的常用结论2.2.判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明f f( (x xT T) )f f( (x x)()(T T0)0)，便可证明，便可证明函数是周期函数，且周期为函数是周期函数，且周期为T T，根据函数的周期性，可以由，根据函数的周期性，可以由函数局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具
13、函数局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能. .)23()(xfxf)5 .105(,)(32),()2()(fxxfxxfxfRxf则时，当上的偶函数，且是定义在已知变式训练：小练小练：1.1.设偶函数设偶函数f f( (x x) )为为(0,+)(0,+)上的减函数，则上的减函数，则f f( (2),2), f f( (),), f f(3)(3)的大小顺序是的大小顺序是 2.2.已知二次函数已知二次函数 为偶函数，则为偶函数，则f f( (x x) )在在( (5 5，2)2)上是单调上是单调 函数
14、函数图图 像像的取值范围是则上都是减函数，在区间与若axaxgaxxxf2 , 11)(2)(. 325 5、已知、已知f(x)f(x)是是R R上的奇函数，且上的奇函数，且f(-5)=5f(-5)=5，则则f(5)=_f(5)=_6.6.已知函数已知函数 ，常数，常数a a、b Rb R，且，且f f（4 4）=0=0，则，则f f（-4-4）= = 7 7已知已知 为奇函数，为奇函数， 求求a,ba,b 函数性质的综合应用问题解题策略函数性质的综合应用问题解题策略 函数函数f f( (x x) )的定义域的定义域D D x x| |x x00，且满足对于，且满足对于任意任意x x1 1，x
15、 x2 2D D. .有有f f( (x x1 1x x2 2) )f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2).).(1)(1)求求f f(1)(1)的值；的值；(2)(2)判断判断f f( (x x) )的奇偶性并证明；的奇偶性并证明；(3)(3)如果如果f f(4)(4)1 1，f f(3(3x x1)1)f f(2(2x x6)36)3，且且f f( (x x) )在在(0(0，)上是增函数，求上是增函数，求x x的取值的取值范围范围. .解题指导解(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1x21，有f(1)(
16、1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x).f(x)为偶函数.(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.由f(3x1)f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6)f(64).(*)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|).不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64).又f(x)在(0，)上是增函数，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.变式训练：函数变式训练：函数f(x)f(x)对任意的对任意的a a、bR,bR,都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)f(a+b)=f(a)+f(b)，并且当，并且当x0 x0时，时，f(x)0.f(x)0. （1 1）求证：）求证：f(x)f(x)是是R R上的增函数；上的增函数； （2 2）若）若f(4)=1,f(4)=1,解不等式解不等式思维启迪思维启迪 问问题题(1)(1)是是抽象抽象函数单调性的证明函数单调性的证明,所以所以要用要用 单调性的定义单调性的定义. . 问问题题(2)(2)将将函数不等式中函数不等式中抽象抽象的函数的函数符号符号“f f”运运 用单调性用单调性“去去掉掉”,为为此需将右边常此需将右边常数数3 3看成某看成某个个 变量的函数变量的函数值值. .