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1、第第1.11.1节节 函数的概念及基本性质函数的概念及基本性质第第1章章 函数与模型函数与模型1 1、定义、定义 设设 为两个变量，为两个变量， 为非空实数集，若对任意为非空实数集，若对任意的的 ，变量变量 均按照一定的法则均按照一定的法则 有惟一的值与之有惟一的值与之对应，则称对应，则称 是是 的函数（的函数（function)function)，记作，记作 . . 其中其中 称为自变量称为自变量(independent variable)(independent variable)， 的取值范的取值范围称为函数的定义域围称为函数的定义域(domain)(domain)，常记为，常记为 ；
2、称为因变量称为因变量(dependent variable)(dependent variable)，与之对应的值称为函，与之对应的值称为函数值，函数值的集合数值，函数值的集合 称为函数的值域称为函数的值域(range)(range)，常记为常记为 . .DxDxyyx,yyx)(xfy fDxxf )(fDfZxx注注：（1 1）函数两要素：定义域、对应法则；）函数两要素：定义域、对应法则； （2 2）函数表示法）函数表示法 ：表格法、图形法、公式法；：表格法、图形法、公式法； （3 3）单值函数，多值函数。）单值函数，多值函数。例例1 求函数求函数 的定义域的定义域. .245sin)3l
3、g()(xxxxxf 解解 要使要使 有意义，显然要满足：有意义，显然要满足：)(xf 0450sin032xxxx)(513为为整整数数即即kxkxx 所以定义域为：所以定义域为： ) 3 , 0() 0 , 10, 31 xxxDf注：注：（4 4）函数定义域的确定：）函数定义域的确定：（i i）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合的一切实数组成的集合. .（iiii）有实际意义的函数，根据实际意义确定）有实际意义的函数，根据实际意义确定. .例例2 2 判断下列函数是否相同，并说明理由，画图表示判断
4、下列函数是否相同，并说明理由，画图表示. .| xy （1） 与与 （2） 与与2xy 2lgxy xylg2 解解（1 1）相同）相同. .它们的对应法则与定义域均相同它们的对应法则与定义域均相同. .（2 2）不相同）不相同. .它们的定义域不同它们的定义域不同. .第一个函数的定义域为第一个函数的定义域为 , ,而第二个函数的定义域为而第二个函数的定义域为 .0 x0 x-2-112x12y-2-112x12y-2-112x-2-11y-2-112x-2-11y 例例3 3 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyo图形如上图。图形如上图。值域值域其定义域其定
5、义域,1 , 0 , 1),( fRD例例4 4 取整函数取整函数 y=y= x x , , x x为任意实数为任意实数,x x 表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数. . 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 -xyo称称其其为为阶阶梯梯曲曲线线。图图形形如如右右图图，值值域域其其定定义义域域例例如如,),(,13 ,053ZRDf 注注 （5 5）分段函数）分段函数例例5 5 设函数设函数 满足方程，满足方程， 求求解解 先先 将换为将换为 再求出的表达式再求出的表达式. . 因为因为 （1 1） （2 2） 联立（联立（1 1）（）（2 2） 解出解出)(xfxxfxf1
6、)1()(2 )(xfxxfxf1)1()(2 x1xxxfxf )()1(2xxxf32)(2 定义定义 设有函数设有函数 ， 如果能从如果能从 中解中解出出 ，则称，则称 为为 的反函数，的反函数，记作记作)(xfy )(xfy )(xfy )(1yfx 注：（注：（1）反反；的的定定义义域域与与值值域域正正好好相相和和)()(1yfxxfy （2 2）函数）函数 的图形关于的图形关于 直线直线 y=x y=x 对称对称 )()(1xfyxfy 与与其其反反函函数数)(1yfx )(1xfy)( xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)( xy 反反函函数数 直接函数与反函
7、数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称. .xy 例例6 6 设函数设函数 0,0,1)(2xxxxxfy（1 1）求）求 的表达式、定义域、值域；的表达式、定义域、值域；（2 2）画出）画出 与与 的图形的图形. .)(1xfy )(xfy )(1xfy 解：解：;0;110)1(2yxxyxyxxyx 得得时时，由由当当得得时时，由由当当 0,1,1)(1xxxxxf故故).,(), 1(0 ,( 值域为值域为定义域为定义域为（2 2）图形为：）图形为：-2-112x-3-2-1123y三、函数的基本性质三、函数的基本性质1 1、函数的单调性、函数的单调性: :,)(DI
8、Dxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI )()(21xfxf 恒恒有有则则称称函函数数）或或,)()(21xfxf .)(减减少少）的的上上是是单单调调增增加加（或或单单调调在在区区间间 Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI2 2、函数的奇偶性、函数的奇偶性: :有有如果对于如果对于关于原点对称关于原点对称的定义域的定义域设函数设函数,)(DxDxf ,)()()()(xfxfxfxf （或（或。为偶函数（或奇函数）为偶函数（或奇函数）则称则称)(xf偶函数偶
9、函数yx)(xfy ox-x奇函数奇函数yxox-x)(xfy A A* *A A)(xf), 0( )(xf)0 ,( 例例7 7 已知已知是偶函数，且在是偶函数，且在内单调递减，内单调递减，在在内是单调增函数还是单调减函数，内是单调增函数还是单调减函数，试判断试判断并证明你的判断并证明你的判断.解解因为因为 是偶函数，所以是偶函数，所以)(xf)()(xfxf ), 0( 内单调递减，内单调递减，)(xf在在,02121时时当当及及）上任意两点）上任意两点，在（在（xxxx ),()(21xfxf ）内是单增的）内是单增的，在（在（即即，因此，因此，且且时时当当及及）上任意两点）上任意两点
10、，在（在（0)()()()()(0,0212121212121 xfxfxfxfxfxxxxxxxx3 3、函数的周期性、函数的周期性（通常说周期函数的周期是指最小正（通常说周期函数的周期是指最小正周期周期）. .,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数, l如如果果存存在在一一个个正正数数)()(xflxf 且且为为周周则则称称)( xf.)(,DlxDx 有有使使得得对对于于.)(,的的周周期期称称为为期期函函数数xfl.恒恒成成立立2l 2l23l 23l 设函数设函数 f f ( (x x) ) 在区间上在区间上I I 有定义，如果存在常数有定义，如果存在常数M M，使得，使得对任
11、意的对任意的 x x I I ，恒有，恒有4.4.函数的有界性函数的有界性MxyoM（1 1）| |f f ( (x x)|)|00），则称函数），则称函数 f f ( (x x) ) 在在 I I 上有上有界界; ;否则称函数否则称函数 f f ( (x x) ) 在在 I I 上无界上无界. .（2 2）f f ( (x x)M M，则称函数，则称函数 f f ( (x x) ) 在在 I I 上有下界上有下界.11xy)2 , 1 ()3 , 2(), 3( 例例8 8 从函数从函数的图像中判断其在区间的图像中判断其在区间，内是否有界内是否有界.xyo1231解解 在区间在区间)2 , 1 ()3 , 2(), 3( ，在在有界有界.内无界内无界，