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1、 2.4 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念 定义定义2.8 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为 ，若存在非负可，若存在非负可积函数积函数 ，使得对于任意实数，使得对于任意实数 ，都有，都有 （215）则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量， 称称 为为X的的概率密度函数概率密度函数（Probability Density Function），简称），简称概率密度或密度概率密度或密度. 由定义可知，连续型随机变量由定义可知，连续型随机变量X的分布函数的分布函数 在在x点的函点的函数值等于其概率密度函数数值
2、等于其概率密度函数 在区间在区间 上的积分上的积分 类似于离散型随机变量，连续型随机变量类似于离散型随机变量，连续型随机变量 的概率密度的概率密度函数具有如下基本性质：函数具有如下基本性质： xF xfxxxxfxFd)()( xf)(xF xfx, xf （1）（非负性）（非负性） 对任意的实数对任意的实数 ， 0； （2）（规范性）（规范性） （216） 反过来，若已知一个函数反过来，若已知一个函数 满足上述性质满足上述性质(1)和和(2),则则一定是某连续型随机变量一定是某连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数 另外，对连续型随机变量另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质：
3、的分布，还具有如下性质： 1.对于任意实数对于任意实数 ( ), = ； 2.连续型随机变量连续型随机变量X的分布函数的分布函数 是连续的是连续的,但反之不真；但反之不真； 3.连续型随机变量连续型随机变量X取任一确定值的概率为取任一确定值的概率为0；即对于任意；即对于任意实数实数 ， = 0； 事实上，由（事实上，由（212）和）和 的连续性即知的连续性即知: 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,x xf1)(xxfd xf xf21, xx21xx 21xXxP)()(12xFxF21)(xxxxfd xFxxXP xFxXP 00 x
4、FxF （1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件的事件也不一定是必然事件；也不一定是必然事件； （2）在计算连续型随机变量）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可落在某一区间的概率时，可不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间，不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 即对任意的即对任意的实数实数 ，有，有 (217) 这样，如果这样，如果 除可数个点外导数处处连续除可数个点外导数处处连续, ,那么在那么在 的的导数连续点处导数连续点处 , ,而在其它点处而在其它点处f(xf(x) )的值可任意补充的值可任意补充定义定义, ,不妨取
5、为不妨取为0,0,于是可得到于是可得到X X的一个概率密度函数的一个概率密度函数 (218)2121,xxxx21xXxP21xXxP21xXxP21xXxP21)(xxxxfd xF xF)(xf xF的不连续点处在，的连续点处在，)( 0)( )( )(xFxFxFxf二、常见的几种连续型分布二、常见的几种连续型分布 1均匀分布均匀分布 定义定义2.9 若若X的概率密度函数为的概率密度函数为 （219） 则称则称X服从区间服从区间(a, b)内的内的均匀分布均匀分布(Uniform Distribution),记记为为 U(a, b) 均匀分布的特征：均匀分布的特征： （1） 若若XU(a
6、, b), 则落在（则落在（a, b）内任意子区间内的概）内任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关 事实上，对于任意一个长度的子区间事实上，对于任意一个长度的子区间 ,其它0),(1)(baxabxfX),(),(00balxx （2）若）若X ，则，则X的分布函数为的分布函数为 （220） （3） 和和 的图形分别为的图形分别为 图图2.3ablxabxxflxXxPlxxXPlxxlxx00001)(),(0000ddbaU，bxbxaabaxaxxF，10)()(xf)(xF2. 指数分布指数分布 定义定义2.10 若若X
7、的概率密度函数为的概率密度函数为 （ 0） （221）则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布(Exponential Distribution),记记为为 ，其分布函数为，其分布函数为 (222）指数分布的概率密度函数指数分布的概率密度函数 和分布函数和分布函数 的图形分别为的图形分别为 图图2.40, 00,)(xxexfx)(EX0,00,1)(xxexFx)(xf xF 生活中，指数分布应用很广像电子元件的使用寿命、电生活中，指数分布应用很广像电子元件的使用寿命、电话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述因此，
8、指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用应用 3正态分布正态分布 （1）正态分布的概念）正态分布的概念 定义定义2.11 若若X的概率密度函数为的概率密度函数为 （223） 其中其中 和和 为常数且为常数且 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 的的正态分布正态分布（Normal Distribution），记为），记为 ，正态分布也叫，正态分布也叫高高斯分布斯分布（Gauss）, 其分布函数为其分布函数为Rxexfx222)(21)(02,),(2NX （224） 特别地特别地, 当当 时，则称正态分布时，则称正态分布 为为标准
9、正态分布标准正态分布,它的概率密度函数特记为它的概率密度函数特记为 ，即，即 （225）它的分布函数特记为它的分布函数特记为 ，即，即 （226 )标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图2.6所示：所示：,d21)(222)(RxxexFxx1, 0) 1, 0(N)(xRxexx2221)()(x xxxRxxexxxd21d)(22由于由于 是概率密度函数，因此是概率密度函数，因此 . 从而从而,有有 (227） (228）上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到)(xRx
10、xex, 1d21222d22xex2d022xex （2）正态分布的特征）正态分布的特征 若若 ,则其概率密度函数则其概率密度函数 具有如下特征：具有如下特征： (1) 的图像关于直线的图像关于直线 对称；对称； 由此便有由此便有 ； ； (2) 的最大值为的最大值为 ； (3) 愈远，愈远， 值愈小值愈小,曲线曲线 以以O 轴为渐近线；轴为渐近线； (4) 对于确定的对于确定的 越小，越小， 越大，越大，X落在落在 附近的概率附近的概率越大；越大； 越大，越大， 越小，越小，X落在落在 附近的概率越小；附近的概率越小； (5) 曲线曲线 的拐点是的拐点是 和和),(2NX)(xf)(xfx
11、lXPlXPlXPXlP)(xf21)(f离x xfy )(xfx,)(f)(f)(xfy )(,f)(,f 图片图片2.5 易知易知:若若 ,则则 . 事实上事实上,对于任意实数对于任意实数 , 的分布函数的分布函数 (令令 ) 所以所以 . ),(2NX) 1, 0(*NXXx*X)(*xXPxuXPxXPxFxxxtexetd21d2122222 xtx) 1, 0(*NX 这样我们便有如下定理：这样我们便有如下定理： 定理定理2.2 若若 ，其分布函数为，其分布函数为 ，则对任意，则对任意实数实数 ，有，有 （229） 证明证明 因为因为 ,所以所以 . 推论推论 若若 ，则对于任意实
12、数，则对于任意实数 ，有，有 （230） 利用（利用（230），可将一般正态分布的概率计算转化为标），可将一般正态分布的概率计算转化为标准正态分布的概率计算，而标准正态分布的分布函数值可由准正态分布的概率计算，而标准正态分布的分布函数值可由附表附表2获得，这样一般正态分布的概率计算就可解决获得，这样一般正态分布的概率计算就可解决),(2NX xFx)()(xxF),(2NX)()(xxXPxXPxXPxF),(2NX21xx )()(1221xxxXxP 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 . (2-31)这可用这可用 的定义证明或
13、由下图说明这里就不做证明了的定义证明或由下图说明这里就不做证明了. 图图26 另外另外, 还有几个经常用到的公式：还有几个经常用到的公式： 若若X ，则对于任，则对于任意实数意实数 , ,( )，有，有 （1） ； （2） ； （3） . x1)()(xx x1, 0N, x1x2x21xx )()(1221xxxXxP1)(2)()(xxxxXP)(1 2xxXP 特别地，如果特别地，如果 ，则对任意，则对任意 ，有，有 ，当当 、2、3时，分别有时，分别有 ； ； ；2,NX0k 12kkXPkXP1k 6826. 01121XP 9544. 01222XP 9974. 01323XP 可
14、见可见, 服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X，虽然理论上可以，虽然理论上可以取任意实数值，但实际上它的取值落在区间取任意实数值，但实际上它的取值落在区间 内的概内的概率约为率约为68.26 %;落在区间落在区间 内的概率约为内的概率约为95.44 %,落落在区间在区间 内的概率内的概率99.74%.因此因此,服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X落在区间落在区间 之外的概率约之外的概率约0.26%,还不到还不到千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可能发生，这就是著名的能发生，这就是著名的“ ”准则它在实际
15、中常用来作为准则它在实际中常用来作为质质量控制的依据量控制的依据 在自然现象和社会现象中在自然现象和社会现象中, 大量的随机变量都服从或近似大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试的成绩等正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从的成绩等正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重要的地位要的地位2,N,2,23,32,N3,33