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1、一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第第4.34.3节连续型随机变量节连续型随机变量 及其概率密度及其概率密度 连续型随机变量连续型随机变量 X 所有可能取值充满若所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样随机变量那样,指出其取各个值的概率，指出其取各个值的概率，给出概率分布。而是用给出概率分布。而是用“概率密度函数概率密度函数”表表示随机变量的概率分布。示随机变量的概率分布。例例1 1 某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种某工厂生产
2、一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的该厂生产的100个零件长度个零件长度(单位单位:mm)如下如下:一一 频率频率直方图直方图129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,
3、152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.这这100个数据中，最小值是个数据中，最小值是128，最大值是，最大值是155。作频率直方图的步骤作频率直方图的步骤(1)先确定作图区间先确定作图区间 a,b;a=最小数据最小数据-/2，b=
4、最大数据最大数据+/2，是数据的精度。是数据的精度。本例中本例中 =1,a=127.5,b=155.5。(2)确定数据分组数确定数据分组数 m=7，组距，组距 d=(b a)/m，子区间端点，子区间端点 ti=a+i d,i=0,1,m；(3)计算落入各子区间内观测值频数计算落入各子区间内观测值频数 ni 频率频率 fi=ni/n，i=1,2,m；子区子区间间频频数数频频率率(127.5,131.5)(127.5,131.5)6 60.060.06(131.5,135.5)(131.5,135.5)12120.120.12(135.5,139.5)(135.5,139.5)24240.240.
5、24(139.5,143.5)(139.5,143.5)28280.280.28(143.5,147.5)(143.5,147.5)18180.180.18(147.5,151.5)(147.5,151.5)8 80.080.08(151.5,155.5)(151.5,155.5)4 40.040.04(4)(4)以小区间以小区间 ti-1，ti 为底，为底，yi=fi/d (i=1,2,m)为高作一系列小矩形，组成了频为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。率直方图，简称直方图。由于概率可以由频率近似，由于概率可以由频率近似，因此这个直因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布
6、情况。方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。用用上上述述直直方方图图刻刻画画随随机机变变量量X的的概概率率分分布布情情况况是是比比较较粗粗糙糙的的。为为更更加加准准确确地地刻刻画画X的的概概率率分分布布情情况况，应应适适当当增增加加观观测测数数据据的的个个数数,同同时时将将数数据据分分得得更更细细一一些些。当当数数据据越越来来越越多多,分分组组越越来来越越细细时时,直直方方图图的的上上方方外外形形轮轮廓廓就就越越来来越越接接近近于于某某一一条条曲曲线线,这这条条曲曲线线称称为为随随机机变变量量X的的概概率率密密度度曲曲线线，可可用用来来准准确确地地刻刻画画X的的概概率分布情况。率分布情况。二
7、二 概率密度函数概率密度函数这两条性质是判定函数这两条性质是判定函数 f(x)是否为某随机变量是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充的概率密度函数的充要条件。要条件。密度函数的性质密度函数的性质f(x)与与 x 轴所围轴所围 面积等于面积等于1。若若x是是 p(x)的连续点，则的连续点，则=p(x)，(3)对对 p(x)的进一步理解：的进一步理解：故故,X的概率密度函数的概率密度函数p(x)在在 x 这一点的值这一点的值,恰恰好是好是X 落在区间落在区间 x,x+x上的概率与区间长上的概率与区间长度度x 之比的极限。之比的极限。这里这里,如果把概率理解为如果把概率理解为质量质量,p(x)相当
8、于物理学中的线密度。相当于物理学中的线密度。若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：表示随机变量表示随机变量 X 取值于取值于(x,x+x上的概率上的概率近似等于近似等于 p(x)x。p(x)x 在连续型随机变量中所起的作用与在连续型随机变量中所起的作用与 pk=PX=xk 在在离散型随机变量中所起的作用离散型随机变量中所起的作用类似。类似。(4)(4)对于任意可能值对于任意可能值 a,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的的概率等于零概率等于零.即即证明证明由此可得由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关设设X为连续型随机变量为连续型随机变量，X
9、=a 是不可能是不可能事件事件,则有则有若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量,注意注意连连续续型型离离散散型型1证明证明xxp0)(xf(x)a解解例例1例例2故有故有解解二二 常见的连续性随机变量常见的连续性随机变量1.区间区间(a,b)上的均匀分布上的均匀分布 若若 X 的密度函数的密度函数则称则称 X 服从服从区间区间(a,b)上的均匀分布上的均匀分布记作记作X 的分布函数的分布函数xf(x)abxF(x)ba例例3 设随机变量设随机变量 X 在在 2,5 上服从均匀分布上服从均匀分布,现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于
10、3 的概率的概率.X 的分布密度函数为的分布密度函数为设设 A 表示事件表示事件“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3”,解解即即 A=X 3.因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则2.2.指数分布指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命,电力设备的寿命电力设备的寿命,动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数例例4 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为=1/2000的指数分布
11、的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管,求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率.X 的分布函数为的分布函数为解解指数分布的重要性质指数分布的重要性质:“无记忆性无记忆性”.正态分布是应用最广泛正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。的一种连续型分布。正态分布是十九世纪初，由高斯正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)(Gauss)给出并推广的一种分布。故，也称给出并推广的一种分布。故，也称高斯分
12、布高斯分布。3.3.正态分布正态分布这条红色曲线近似我们将要介绍的这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布正态分布的概率密度曲线。的概率密度曲线。正态分布概率密度函数的几何特征正态分布概率密度函数的几何特征正态分布的分布函数正态分布的分布函数 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 标准正态分布的概率密度表示为标
13、准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形标准正态分布的图形解解例例5 证明证明解解例例6例例7 证明证明证明证明令令t=-x例例8 假设某地区成年男性的身高假设某地区成年男性的身高(单位单位:cm):cm)XN(170,7.,7.692),),求该地区成年男性的身高超求该地区成年男性的身高超过过 175cm175cm 的概率。的概率。解解:根据假设根据假设 XN(170,7.,7.692)，知，知事件事件 X 175 的概率为的概率为解解:设车门高度为设车门高度为 h，按设计要求按设计要求P(X h)0.01，
14、或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h。例例9 9 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的。以下来设计的。设某地区设某地区成年男性身高成年男性身高(单位单位:cm)XN(170,),问车问车门高度应如何确定门高度应如何确定?因为因为XN(170,7.,7.692),),求满足求满足 P(X h)0.99 的最小的最小 h。故，当汽车门高度为故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01。例例10 设且 P(
15、2 X 4)=0.3,求 P(X 0).解一解一解二解二 图解法图解法0.2由图0.3分布函数分布函数三、小结三、小结2.常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布Born:30 April 1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb 1855 in Gttingen,Hanover(now Germany)Carl Friedrich GaussGaussGauss人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。