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1、连续型随机变量及其概率密度第1页，本讲稿共33页为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的女生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm）167 154 159 166 169 159 156 166 162 158159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157162 162 159 154 165 166 157 151 146 151158 160 165 158 163 163 162 161 154 165162 162 159 157 159 149 1
2、64 168 159 153第2页，本讲稿共33页下面根据这些数据绘制频率分布直方图 第3页，本讲稿共33页从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多，往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称 样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中的小矩形就变窄设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑曲线，我们把这条曲线叫做概率密度曲线概率密度曲线（如图）第4页，本讲稿共33页概率密度曲线精确地反映了随机变量 在各个范围内取值的规律以这条曲线
3、为图像的函数yf（x）叫做 的概率密度概率密度函数函数 如图，在区间（a，b）内取值的概率恰好为图中阴影部分的面积 在区间（-，a）取值的概率 恰好是位于曲线与x轴之间，直线xa左侧部分图形的面积 第5页，本讲稿共33页一、定义一、定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数，存在非负可的分布函数，存在非负可积函数积函数f(x)，使对任意实数，使对任意实数x，有，有则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量，f(x)称为称为X的的概率密度概率密度函数，函数，简称为概率密度或密度函数或密度。简称为概率密度或密度函数或密度。二、性质二、性质 (1)f(x)01x2.3 2.3 连续型随机变量
4、及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第6页，本讲稿共33页二、性质二、性质(4)在在f(x)的连续点处有：的连续点处有：(6)连续型随机变量取任何实数值连续型随机变量取任何实数值a的概率等于的概率等于0.由性质由性质(6)可得：可得：(5)连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而不仅右连续，而且是连续函数。且是连续函数。第7页，本讲稿共33页连续型连续型1.密度函数密度函数 X p(x)2.4.P(X=a)=0离散型离散型1.分布列分布列:pn=P(X=xn)2.F(x)=3.F(a+0)=F(a);P(aX b)=F(b)F(a).4.点点计较点点计较5.F(
5、x)为阶梯函数。为阶梯函数。5.F(x)为连续函数。为连续函数。F(a 0)=F(a).F(a 0)F(a).第8页，本讲稿共33页 例例1 设随机变量的概率密度函数为设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（-x+）试求试求:(1)常数常数A；(2)P0X2；(3)分布函数分布函数F(x).解解 (1)由由 得：得：故：故：A=0.5；(2)第9页，本讲稿共33页(3)当当x a 和 B=Y a 独立，解解:因为因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)从中解得且 P(AB)=3/4,求常数 a.且由A、B 独立，得=2P(A)P(A)2=3/4从中解得
6、:P(A)=1/2,由此得 0a a)练习练习3第13页，本讲稿共33页1、均匀分布、均匀分布 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X在区间在区间a,b上服从均匀分布。记为上服从均匀分布。记为 XUa,b可知可知X落在落在a,b内任一小区间内任一小区间c,d内的概率与该小区间内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关的长度成正比，而与该小区间的位置无关2.3.2 常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布第14页，本讲稿共33页分布函数为：分布函数为：xf(x)abxF(x)ba第15页，本讲稿共33页 X U(2,5).现在对 X 进行三次独立观测
7、，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：解：记 A=X 3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例例3第16页，本讲稿共33页2.指数分布指数分布设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度则称则称X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布。记作记作XE().其分布函数为其分布函数为第17页，本讲稿共33页若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为其中其中0是常数，则称是常数，则称X服从参数服从参数为为的的指数分布指数分布。记作。记作XE().
8、分布函数为分布函数为1xF(x)0 xf(x)0指数分布的另一种表示形式指数分布的另一种表示形式 第18页，本讲稿共33页 指数分布指数分布常用来常用来作各种作各种“寿命寿命”分布的近似，如电分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布都常假定服从指数分布特别特别：指数分布具有无忆性，即：指数分布具有无忆性，即：P(X s+t|X s)=P(X t)第19页，本讲稿共33页 例例4 假设某种热水器首次发生故障的时间假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：（单位：h）服从指数分布，其概率密度为）服从指数分布，其
9、概率密度为（1）该热水器在）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？内需要维修的概率是多少？（2）该热水器能正常使用）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？以上的概率是多少？解解（1）（2）第20页，本讲稿共33页 正态分布是应用最广泛的一种连续正态分布是应用最广泛的一种连续型分布型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯加以推广，所以通常称为高斯分布分布.德莫佛德莫佛 德莫佛（德莫佛（De Moivre)De Moivre)最早发现了二最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认项分布的一个近似公式，这
10、一公式被认为是正态分布的首次露面为是正态分布的首次露面.3.3.正态分布正态分布第21页，本讲稿共33页1.定义定义 若若X的概率密度为的概率密度为分布函数为：分布函数为：F(x)x其中其中,(0)为常数，则称为常数，则称X服服从参数为从参数为,2的正态分布或高的正态分布或高斯（斯（Gauss）分布。记作）分布。记作 X N（,2）第22页，本讲稿共33页2.正态分布的密度函数正态分布的密度函数f(x)的图形的性质的图形的性质 (1)f(x)关于关于 是对称的是对称的.f(x)x0在在 点点 p(x)取得最大值取得最大值.(2)若若 固定固定,改变改变,(3)若若 固定固定,改变改变,小大f(
11、x)左右移动左右移动,形状保持不变形状保持不变.越大曲线越平坦越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭越小曲线越陡峭.第23页，本讲稿共33页(x)x0 xx标准正态分布标准正态分布N(0,1)密度函数记为密度函数记为(x),分布函数记为分布函数记为(x).第24页，本讲稿共33页证明：证明：第25页，本讲稿共33页3.查标准正态分布函数表计算概率查标准正态分布函数表计算概率 4)P|X|1.54=1-P|X|1.54=1-0.8764=0.1236例例5 设设XN(0,1),计算计算PX2.35；P-1.64 X0.82；P|X|1.54；P|X|1.54 1）PX2.35=(2.35)=0.9906
12、2）P-1.64 X0.82=(0.82)-(-1.64)=(0.82)-1-(1.64)=0.74343)P|X|1.54=(1.54)-(-1.54)=2(1.54)-1=0.8764第26页，本讲稿共33页例例6 设随机变量设随机变量 求求 解解 例例7（3 原则）设原则）设X N(,2)，求，求 P|X-|,P|X-|2,P|X-|3，解解 P|X|=PX+第27页，本讲稿共33页 在一次试验中，正态分布的随机变量在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以落在以 为中为中心，心，3 3 为半径的区间为半径的区间(-3-3,+3+3)内的概率相当大内的概率相当大(0.9974)(0.997
13、4)，即，即X几乎必然落在上述区间内，或者说在一几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，般情形下，X在一次试验中落在在一次试验中落在(-3-3,+3+3)以外的概以外的概率可以忽略不计。率可以忽略不计。在工程应用中，通常认为在工程应用中，通常认为P P|X|31|31，忽略，忽略|X|3|3的值。如在质量控制中，常用标准指标值的值。如在质量控制中，常用标准指标值33 作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。之外时发出警报，表明生产出现异常。第28页，本讲稿共33页 设 X N(,2),P(X 5)=0.045,P(X
14、 3)=0.618,求 及.例例8=1.76=4解解:第29页，本讲稿共33页 例例9 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服服从参数从参数 =0.05kg的正态分布的正态分布.为了使重量少于为了使重量少于0.5kg的的罐头数不超过罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值参，应把自动包装线所控制的均值参数调节到什么位置上？数调节到什么位置上？解解 由题设知由题设知 假如把自动包装线控制的值调节到假如把自动包装线控制的值调节到0.5kg位置，则有位置，则有
15、第30页，本讲稿共33页即重量少于即重量少于0.5kg的罐头占全部罐头数的的罐头占全部罐头数的50%，这显然，这显然不符合要求不符合要求.所以应该把自动包装线控制的所以应该把自动包装线控制的 值调到比值调到比0.5kg大一些的位置，使得大一些的位置，使得 查附表查附表1可得可得 即即 应将应将 调到不小于调到不小于0.5645的位置的位置.第31页，本讲稿共33页已知已知 X N(3,22),且且 PXk=PXk,则则 k=().3课堂练习课堂练习(1)设设 X N(,42),Y N(,52),记记 p1=PX 4，p2=PY +5,则则()对任意的对任意的 ，都有，都有 p1=p2 对任意的对任意的 ，都有，都有 p1 p2课堂练习课堂练习(2)第32页，本讲稿共33页 设设 X N(,2),则随则随 的增大，的增大，概率概率 P|X|()单调增大单调增大 单调减少单调减少 保持不变保持不变 增减不定增减不定课堂练习课堂练习(3)第33页，本讲稿共33页