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1、多元函数积分学复习课一、内容提要上页下页铃结束返回首页二、典型例题上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v二重积分的定义 以闭区域D为底 曲面zf(x y)为顶的曲顶柱体的体积为 ( , ).DVf x y d 占有闭区域D 面密度为(x y)的平面薄片的质量为( , ).DMx y dv定理 连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在 iiiniDfdyxf),(lim),(10 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v二重积分的性质v性质1 设c1、c2为常数 则 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 v性质2 如果闭区域D被一条曲
2、线分为两个闭区域D1与D2 则 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( v性质3 DDdd1(为 D 的面积) 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v二重积分的性质v性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有 MdyxfmD),( v性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连续 为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得 ),(),(fdyxfD v性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式dyxgdyxfDD),(),( 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要dxdyyxfdyxfba
3、xxD ),(),()()(21 如果D是X型区域: D(x y)|1(x)y2(x) axb 则 v化二重积分为二次积分 如果D是Y型区域: D(x y)|y1(y)xy2(y) cyd 则 dcyyDdydxyxfdyxf)()(21),(),(yy 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v对称性问题 设 D 关于 y 轴对称. (1)若 f(-x, y) -f(x, y), 则 ( , )0.Df x y d(2)若 f(-x, y) f(x, y), 则 1( , )2( , ),DDf x y df x y d其中 D1 为 D 在 y 轴右半部分. xyOab( )xx
4、y -( )xx y提示: ( , )Df x y d( )( )( , )yybaxxf x y ddxy-1( , )Df x y d( )0( , )xbayf x y dxdy上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v利用极坐标计算二重积分 坐标变换公式:cossinxy 面积元素:ddd 如果积分区域可表示为D: 1()2() ab 则21( )( )( , )( cos ,sin )Df x y dxdydfdb a 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要 设曲面 S: zf(x y) (x y)D, 则 S 的面积为221()()DzzAdxdyxyyzxOD(
5、 , )zf x yv曲面的面积上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v三重积分的物理意义v三重积分的定义iiiinivfdvzyxf),(lim),(10 设物体占有空间区域, 体密度为 f(x, y, z), 则物体的质量为Vdvv三重积分的几何意义 的体积为 ( , , )Mf x y z dv上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页D注：当计算二重积分时用极坐标, 则得柱面坐标的计算法.内容提要 设积分区域 : 12( , )( , ), ( , )z x yzzx yx yD则 21( , )( , )( , , )( , , )zx yzx yDf x y z dxdyd
6、zf x y z dz dxdy 求围定顶 v三重积分计算之投影法上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要 设积分区域为(x y z)|(x y)Dz c1zc2 则zDccdxdyzyxfdzdvzyxf),(),(21 v宜用截面法的题型 ( )g z dxdydz21( )zccDg z dzdxdy21( )()czcg zD dzv三重积分计算之截面法上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要 特殊区域的球面坐标表示 直角坐标与球面坐标的关系 xrsincos yrsinsin zrcos 球面坐标系中的体积元素 dvr2sindrdd 提示: |OP| rsin. v
7、利用球面坐标计算三重积分上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v对弧长的曲线积分 设光滑曲线弧L的参数方程为xx(t) yy(t) (atb) 则有22()()dxdydsdtdtdt22( , ) ( ), ( ) ()()Ldxdyf x y dsf x ty ydtdtdtbav对坐标的曲线积分 设 L: xx(t) yy(t), 起点和终点对应的参数分别为a和b 则有( , )( , )LP x y dxQ x y dy ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )P x ty y x tQ x ty y y tdtba上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页-LDQd
8、yPdxdxdyyPxQ)( 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 v格林公式内容提要上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 设 P(x y), Q(x y)在单连通区域 D 内具有连续偏导数 则在 D 内下列条件等价: v格林公式的应用内容提要(2) 曲线积分 (3) 存在函数 u(x, y), 使 (1) ( , )( , )LP x y dxQ x y dy与路径无关;PQyx( , )( , ).duP x y dxQ x y dy00( , )(,),x yx yuCPdxQdy 函数
9、 u(x, y) 的计算公式00(,).Cu xy上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例1 比较积分ln()Dxy d与2ln()Dxyd的大小,解在D内有3,xye故ln()1,xy于是2ln()ln() ,xyxy因此2ln()ln().DDxy dxyd典型例题知识点其中 D 是闭圆域:222(3)2(3)9.xy-xyO33(3,3)D3xy积分区域 D 在直线 xy3 的右上方,上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解 积分区域如图示, 例2 计算1130.1xydxdyy 提示: 的计算较繁,31ydyy考虑改换积分次序.xyOyx1y 1: 01,Dy0.xy表示为Y型区
10、域:知识点11301xydxdyy13001yydydxy21301ydyy1301ln(1)3y1ln23上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例3 改换下列二次积分的积分次序.22200( , ).x xdxf x y dy- 解 积分区域如图示, 表示为Y型区域:22111011( , )yydyf x y dx-1: 01,Dy22yxx-22(1)1xy-22yxx-211xy- -2提示: xyO211xy -211xy -221111yxy- -22200( , )x xdxf x y dy-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例4 改换下列二次积分的积分次序.1
11、2330010( , )( , ).yydyf x y dxdyf x y dx- 解 积分区域如图示, 分为D1和D2两部分,2302( , )xxdxf x y dy-32xy3xy-xyO3211D2D12330010( , )( , )yydyf x y dxdyf x y dx-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页2: 02, 12.Dyxxx- 解 积分区域如图示, 表示为 型区域: 0,4D1x 222xyx22yxx-22 cos2提示: xyOsec2cos 例5 化 为极坐标形式的二次积分,其中( , )Df x y d122yxx-cos1sec2cos( ,
12、)Df x y d2cos40sec( cos ,sin )dfd 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页yxO(1,2)2yxx1yx例6 化 为极坐标形式的二次积分.2110( , )xxxdxf x y dy2yxx提示: 抛物线 yx2x 在点(0, 0)处的切线方程为.yx2sin( cos )cos(tan1)sec-1yxsincos11(sincos )-解 积分区域如图2110( , )xxxdxf x y dyarctan2(tan1)sec04( cos ,sin )dfd -yx1(sincos )2arctan20( cos ,sin )dfd -知识点上页下
13、页结束返回首页上页下页结束返回首页 例7 设区域 计算2: 01,Dyx- 解 积分区域如图示, 222sin.1DxyxIdxdyxy212200( cos )21dd 122221DxIdxdyxy21yx-1xyO112220012cos(1)1dd -122 212201ln(1)2-(1ln2)4-记 D1 为 D 的右半部分, 则有 D1知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页解1 积分区域如图22202y ydyydx-Dydxdy220(22)yyydy-22021 (1) yydy-121(1)(21)uudu-1uy-212121(21)uduuu- 42- 例8 设
14、 计算2:22,02,Dxyyy- -.DydxdyxyO22-22xyy -D知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页记区域xyO22-22xyy -D 102204D Dydxdydxydy- 428sin3d 8 3 13 4 2 2 24208sin3d 1D 12sin202sinDydxdyddd 例8 设 计算2:22,02,Dxyyy- -.Dydxdy解2 积分区域如图21:20,02Dyyxy- 11DD DDydxdyydxdyydxdy- 42-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 xOy 面的投影区域 D 的边界曲线为: 解 0,1,yxyD: 1
15、1,x- 01yx - 的底面: 0z 的顶面: 21zx -: 201,zx -( , )x yD( , , )f x y z dv2111100( , , )xxdxdyf x y z dz- 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:( , , )f x y z dv21,0,0,1.xz yzxy -1x -xyz21xz -1xy O1xyDOyx111-1x -求围定顶 知识点作图 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 zOx 面的投影区域为: 解 Dzx: 01,z11zxz-: 01,yx -( , )zxz xD( , , )f x y z dv111010( , ,
16、 )zxzdzdxf x y z dy- 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:( , , )f x y z dv 讨论: 化为先 y 再 x 后 z 的三次积分.21,0,0,1.xz yzxy -xyz21xz -1xy O知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 思考: 化为先 x 再 y 后 z 的三次积分.21,0,0,1.xz yzxy -xyz21xz -1xy O 解1 提示: 的后底: 前顶: 1xz -1xz-或1xy -22zyy-Ozy21在yOz面的投影区域如图示. 11yz -11yz -( , , )f x y z dv1111001( , , )zzz
17、dzdyf x y z dx-11110111( , , )zyzzdzdyf x y z dx- 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:( , , )f x y z dv知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页( , , )f x y z dv 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:( , , )f x y z dv 思考: 化为先 x 再 y 后 z 的三次积分.21,0,0,1.xz yzxy -110011( , , )zxzdxfddxzy zy-xyz21xz -1xy O1xyOyx111z-1z-zD水平截面法 11101( , , )zzzdyf x y z d
18、x-111111( , , )zyzzdyf x y z dx- 解2 10dz10dz知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页202042zdzdd提示: 的上边界曲面为z4 下边界曲面为zx2y2 用极坐标可表示为z2 所以 2z4 提示: 在xOy面上的投影区域为x2y24 用极坐标表示为: 02 02 解1 2z4 02 02 于是 dzddzzdxdydzdzddzzdxdydz -20204)16(21dd364618 2212062-20204)16(21dd364618 2212062-20204)16(21dd364618 2212062- 例 3 利用柱面坐标计算三重
19、积分zdxdydz 其中是 由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 例10 闭区域可表示为: 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页闭区域可表示为: 解2 -20204)16(21dd364618 2212062- ( , ),04,zx yDz22:.zDxyz于是 dzddzzdxdydz40zDzdzdxdy420z dz 由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 例 3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz 其中是 例10 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 xOy 面的投影区域 D: 解 02,01xy: 3062 ,2xzy-Vdv 例11 求由以下曲面
20、所围立体的体积:3(62 )2Dxy dxdy-21003(62 )2xdxy dy-( , )x yDOxzy0,0,0,2,1,342120.xyzxyxyz-203(5)2xdx-7知识点作图 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 在 xOy 面的投影区域 D: 解 222xy: 2222262,xyzxy-Vdv22226 22xyxyDdxdydz- 例12 求由以下曲面所围立体的体积:22222,62.zxyzxy-22(633)Dxydxdy-222003(2)dd -242016 ()4 -6( , )x yDxyzO2262zxy-222zxy知识点上页下页结束返回首页上
21、页下页结束返回首页 例13 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为2221:,zaxyS-222:.zxyS (1) 求两曲面所围成的立体的体积V; (2) 求立体的S1部分的表面积A.zxyO 在 xOy 面的投影区域为 解 22222()DVaxyxydxdy-2/22200()adad -/222 3/230112()33aa -3223a-2221:2D xya知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例13 已知曲面S1与曲面S2, 它们的方程为 (1) 求两曲面所围成的立体的体积V; (2) 求立体的S1部分的表面积A.222Dadxdyaxy-2/20022aadda -/
22、22202aaa -3(22) a-221()()DzzAdxdyxyzxyO2221:,zaxyS- 解 ( , )x yD2221:,zaxyS-222:.zxyS2221:2D xya知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例14 已知 L 为圆周 x2y22ax (a0), 计算 22.Lxy dsxyO22:2L xyax:(1cos ),sin ,L xatyat02 .t 22Lxy ds22222(1cos )xyaxat22(sin )( cos )dsatatdt-adt2202(1cos )atadt2202|cos|2tadt204cos2tadt28a解1 利用
23、圆的标准参数方程来计算. 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例14 已知 L 为圆周 x2y22ax (a0), 计算 解2 2cos2 cos,xa.22-22Lxy ds2222 cosxyaxa22( 4 cos sin )(2 cos2 )dsaad-2ad/2/22 cos2aad-28a/208cosad 22.Lxy ds利用圆的极坐标方程来计算. :2 cos ,Lasinsin2 ,yaxyO22:2L xyax知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页记 D 为圆域 x2y22x, 解 由格林公式有 例15 设 L 是正向圆周 x2y2 2x 计算 22(3
24、3)DIxydxdy/22cos2/203dd -/24/212cosd -/24024cosd 3 1244 2 292xyO22:2L xyxD知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例16 已知 L 为圆周 x2y22y 上从原点 O 按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧, 计算 (sin)(1cos ).yyLIexy dxex dy-解 (sin)(1cos )yyAOIexy dxex dy-sin(sin1)yyDexexdxdy-2(sin)(1cos )2yyOAIexy dxex dy-20(1)2yedy-232e -xAOyLD知识点上页下页结束返回首页上页下页
25、结束返回首页例17 已知 L 为上半圆周 x2y22x 上从原点 O 到点 A(1,1) 的圆弧, 计算 22()(sin).Lxy dxxy dy-解 xyOL(1,1)A记 2,Pxy-2(sin),Qxy -1,Py -1Qx -,PQyx所以曲线积分与路径无关. 22()(sin)Lxy dxxy dy-112200(1sin)x dxy dy-1011cos2132ydy- -107sin264y -sin2746-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 例18 验证: 在整个xOy面内 记 解 所以存在u(x,y), 使 是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 2232(
26、38)(812)yx yxydxxx yyedy2238,Px yxy32812yQxx yye2316,Pxxyy2316Qxxyx,PQyxduPdxQdy( , )(0,0)x yuPdxQdy320(812)yyxx yyedy3224121212yyx yx yyee-知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 的侧面方程, 在 xOy 面的投影区域 D 的边界曲线. 围: 求围定顶 的顶面和底面, 顶: 所给曲面方程中含 z 的方程表示. 的顶面与底面的交线关于 xOy 面的投影柱面方程.所给曲面方程中不含 z 的方程;上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页Oyzxv特殊区域
27、的球面坐标表示 球体: 2222xyza02 .0,0,ra 上半球体: 02 .02,0,ra 球体在第一卦限部分: 02.02,0,ra 球顶锥体: 02 .0,a0,ra球面方程 Oyzxa上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页v特殊区域的球面坐标表示 球顶锥体: 02 .0,a02 cos ,ra22cosrar2222xyzaz球面方程 2 cosra 球体: 02 .02,02 cos ,raOyza1( )rr2( )rr如图平面图形绕 z 轴旋转一周而成的区域: 02 .0,a12( )( ),rrr上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页21,0,0,1.xz yzxy -
28、 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:( , , )f x y z dvOxzy1111-上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页21,0,0,1.xz yzxy -xyzO1111- 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:( , , )f x y z dv上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页xyzO1111- 例9 化 为三次积分,其中由以下曲面所围:( , , )f x y z dv21,0,0,1.xz yzxy -上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页0,0,0,2,1,342120.xyzxyxyz-Oxzy21436 例11 求由以下曲面所围立体的体积:上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页0,0,0,2,1,342120.xyzxyxyz-Oxzy24316 例11 求由以下曲面所围立体的体积:上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页0,0,0,2,1,342120.xyzxyxyz-Oxzy24316 例11 求由以下曲面所围立体的体积: