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1、1 归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量份数 1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】先求出单一量， 以单一量为标准， 求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔16 支，需要多少钱？解 （1） 买 1 支铅笔多少钱？0.650.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱？ 0.1216 1.92（元）列成综合算式0.65160.12161.92（元）答：需要 1.92 元。例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90公顷，照
2、这样计算， 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？903310（公顷）（2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？1056300（公顷）列成综合算式9033561030300（公顷）答：5 台拖拉机 6 天耕地 300公顷。例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100吨钢材，如果用同样的7 辆汽车运送 105吨钢材，需要运几次？解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？10054 5（吨）（2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？5735 （吨）（3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？105353（次）列成综合算式105（100547） 3（次）答：需要运
3、3 次。 2 归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1 份数量份数总量总量1 份数量份数总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？解（1）这批布总共有多少米？3.27912531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.22.8 904（套）列成综合算式3.27
4、912.8 904（套）答：现在可以做 904 套。例 2 小华每天读 24 页书， 12天读完了红岩一书。小明每天读36 页书，几天可以读完红岩？解（1） 红岩这本书总共多少页？2412288 （页）（2）小明几天可以读完红岩？288368（天）列成综合算式2412368（天）答：小明 8 天可以读完红岩。例 3 食堂运来一批蔬菜， 原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见， 每天比原计划多吃10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？解（1）这批蔬菜共有多少千克？50301500 （千克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500（5010）25（天）列成综合算式5030（
5、 5010）15006025（天）答：这批蔬菜可以吃25 天。 3 和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数（和差） 2小数（和差） 2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？解甲班人数（ 986）252（人）乙班人数（ 986）246（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2 长方形的长和宽之和为18 厘米， 长比宽多 2 厘米， 求长方形的面积。解长（182） 210 （厘米）宽（182）28（厘米）长方形的面积108
6、80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥， 甲乙两袋共重 32千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙， 从中可以看出甲比丙多（ 3230）2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量（ 222）212（千克）丙袋化肥重量（222） 210 （千克）乙袋化肥重量 321220（千克）答：甲袋化肥重12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解“从甲车取下
7、 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（142 3），甲与乙的和是 97，因此甲车筐数（971423）2 64 （筐）乙车筐数 976433（筐）答：甲车原来装苹果64 筐，乙车原来装苹果33 筐。 4 和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和 （几倍 1）较小的数总和 较小的数 较大的数较小的数几倍 较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式， 复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里有杏树和桃树共248棵， 桃树的棵数是杏树的3 倍
8、，求杏树、桃树各多少棵？解（1） 杏树有多少棵？248 （31） 62 （棵）（2） 桃树有多少棵？623186 （棵）答：杏树有 62 棵，桃树有 186棵。例 2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4 倍，求两库各存粮多少吨？解（1）西库存粮数 480（1.4 1）200 （吨）（2）东库存粮数 480200280（吨）答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。例 3 甲站原有车 52 辆， 乙站原有车 32 辆， 若每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2 倍？解每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站 24辆，相当于每天
9、从甲站开往乙站（2824）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2 倍量，两站的车辆总数（5232）就相当于（ 21）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为（5232）（ 21）28（辆）所求天数为（5228）（2824）6（天）答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。例 4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？解乙丙两数都与甲数有直接关系， 因此把甲数作为1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的2 倍；又因为丙比甲的3倍多 6，所以丙数减去 6就变为甲数的 3 倍；这时（17046）就相当于（1
10、23）倍。那么，甲数（17046） （123）28 乙数282452 丙数283690 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 5 差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差（几倍 1）较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式， 复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里桃树的棵数是杏树的3 倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？124（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？623186（棵）答：果园里杏树是62 棵，桃树是
11、186棵。例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4 倍，求父子二人今年各是多少岁？解（1）儿子年龄 27（ 41）9（岁）（2）爸爸年龄 9436（岁）答：父子二人今年的年龄分别是36岁和 9 岁。例 3 商场改革经营管理办法后， 本月盈利比上月盈利的2倍还多 12万元，又知本月盈利比上月盈利多30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解如果把上月盈利作为1 倍量，则（3012）万元就相当于上月盈利的（ 21）倍，因此上月盈利（ 3012）（ 21）18（万元）本月盈利183048（万元）答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是48 万元。例 4 粮库有 94吨小麦和 138
12、吨玉米， 如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3 倍？解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（13894）。把几天后剩下的小麦看作1 倍量，则几天后剩下的玉米就是3 倍量，那么，（ 13894）就相当于（ 31）倍，因此剩下的小麦数量（ 13894）（31）22（吨）运出的小麦数量 942272（吨）运粮的天数 729 8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。6 倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数， 再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量一个数量倍数另一个
13、数量倍数另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1 100 千克油菜籽可以榨油40 千克，现在有油菜籽 3700千克，可以榨油多少？解（1）3700千克是 100千克的多少倍？370010037（倍）（2） 可以榨油多少千克？40371480 （千克）列成综合算式40（3700100） 1480（千克）答：可以榨油 1480千克。例 2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵？解（1）48000 名是 300 名的多少倍？48000300160（倍）（2） 共植树多少棵？40016064000 （棵）列
14、成综合算式400（48000300） 64000（棵）答：全县 48000名师生共植树 64000 棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4 亩果园收入 11111元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？解（1）800 亩是 4 亩的几倍？8004200（倍）（2）800 亩收入多少元？111112002222200（元）（3）16000亩是 800亩的几倍？ 16000800 20（倍）（4）16000亩收入多少元？22222002044444000（元）答：全乡 800 亩果园共收入 2222200元，全县 16000亩果园共收入444
15、44000元。 7 相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28 千米，从上海开出的船每小时行21 千米，经过几小时两船相遇？解392（2821）8（小时）答：经过 8 小时两船相遇。例 2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步， 小李每秒钟跑 5米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，
16、二人从出发到第二次相遇需多长时间？解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为4002相遇时间（ 4002）（ 53）100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100 秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15 千米，乙每小时行 13千米，两人在距中点3 千米处相遇，求两地的距离。解“两人在距中点3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（ 32）千米，因此，相遇时间（ 32）（ 1513）3（小时）两地距离（ 1513）384（千米）答：两地距离是 84 千米。 8 追
17、及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120千米，劣马每天走75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？解（1）劣马先走 12 天能走多少千米？7512900（千米）（2）好马几天追上劣马？900（ 12075）20（天）列成综合算式751
18、2（ 12075）9004520（天）答：好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，他们从同一地点同时出发， 同向而跑。 小明第一次追上小亮时跑了500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈， 即 200米， 此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500 米所用的时间。又知小明跑 200米用 40 秒，则跑 500 米用40（500200）秒，所以小亮的速度是（500200） 40（500200）300100 3（米）答：小亮的速度是每秒3 米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌
19、人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上22 点接到命令，以每小时30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2216）小时，这段时间敌人逃跑的路程是 10（226）千米，甲乙两地相距60 千米。由此推知追及时间 10（ 226）60（ 3010）22020 11（小时）答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站， 每小时行 40千米，两车在距两站中点16 千米处相遇， 求甲乙两站的距离。解这道题
20、可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（ 162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为162（ 4840）4（小时）所以两站间的距离为（4840）4352（千米）列成综合算式（4840）162（4840）884352（千米）答：甲乙两站的距离是352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学， 哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取， 行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（1802）
21、米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（ 9060）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为1802（ 9060）12（分钟）家离学校的距离为9012180900（米）答：家离学校有 900 米远。例 6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4 千米的速度从家步行去学校，当他走了1 千米时，发现手表慢了10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。 后来算了一下， 如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解手表慢了 10分钟，就等于晚出发10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到（ 105）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（105）分钟。如
22、果从家一开始就跑步，可比步行少9 分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用 9（105）分钟。所以步行 1 千米所用时间为19（105） 0.25（小时） 15（分钟）跑步 1 千米所用时间为 15 9（105） 11（分钟）跑步速度为每小时11160160115.5 （千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5 千米。 9 植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数距离棵距 1 环形植树棵数距离棵距方形植树棵数距离棵距 4 三角形植树棵数距离棵距 3 面积植树棵数面积（棵距行距）【解题思路和方法
23、】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤 136米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解1362168169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解4004100（棵）答：一共能栽 100 棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场，每边长220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？解22048 41104106（个）答：一共可以安装 106 个照明灯。例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖， 所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米
24、，问至少需要多少块地板砖？解96（0.60.4）960.24 400（块）答：至少需要 400 块地板砖。例 5 一座大桥长 500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50 米有一个电杆，每个电杆上安装2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？50050111（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11222（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22244（盏）答：大桥两边一共可以安装44 盏路灯。 10 年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、
25、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。例 1 爸爸今年 35 岁， 亮亮今年 5 岁， 今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解3557（倍）（35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37 730（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？30（ 41）73（年）列成综合算式（377）（ 41）73（年）答：3 年后母亲的年龄是
26、女儿的4 倍。例 3 3 年前父子的年龄和是49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？解今年父子的年龄和应该比3 年前增加（ 32）岁，今年二人的年龄和为4932 55（岁）把今年儿子年龄作为1 倍量，则今年父子年龄和相当于（41）倍，因此，今年儿子年龄为55（41）11（岁）今年父亲年龄为11444（岁）答：今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11 岁。例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某
27、一年今年 将来某一年甲岁岁 61 岁乙 4 岁岁岁表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等： 461，也就是 4，61 成等差数列，所以， 61 应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为（614）319（岁）甲今年的岁数为611942（岁）乙今年的岁数为421923（岁）答：甲今年的岁数是42 岁，乙今年的岁数是23 岁。11 行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速， 船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度， 船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数
28、量关系】（顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速顺水速船速 2逆水速逆水速水速2逆水速船速 2顺水速顺水速水速2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时15 千米，所以，船速为每小时3208 1525（千米）船的逆水速为 25 1510（千米）船逆水行这段路程的时间为3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。例 2 甲船逆水行 360千米需 18 小时，返回原地需10 小时；乙船逆水行同样一
29、段距离需15小时，返回原地需多少时间？解由题意得甲船速水速 3601036 甲船速水速 36018 20 可见（3620）相当于水速的2 倍，所以，水速为每小时（ 3620）28（千米）又因为，乙船速水速 36015，所以，乙船速为36015832（千米）乙船顺水速为 32 840（千米）所以，乙船顺水航行 360 千米需要360409（小时）答：乙船返回原地需要9 小时。例 3 一架飞机飞行在两个城市之间， 飞机的速度是每小时576 千米，风速为每小时 24千米，飞机逆风飞行3 小时到达，顺风飞回需要几小时？解这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（57624）31656（千
30、米）（2）顺风飞回需要多少小时？1656（ 57624）2.76（小时）列成综合算式（ 57624）3（ 57624）2.76 （小时）答：飞机顺风飞回需要2.76 小时。 12 列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长 2400米，一列火车以每分钟900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3 分钟。这列火车长多少米？
31、解火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车 3 分钟行多少米？90032700（米）（2）这列火车长多少米？ 27002400300（米）列成综合算式90032400300（米）答：这列火车长300 米。例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了2分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解火车过桥所用的时间是2 分 5 秒125秒，所走的路程是（ 8125）米，这段路程就是（ 200 米桥长），所以，桥长为8125200800（米）答：大桥的长度是800米。例 3 一列长 225米的慢车以每秒17米的速度行驶， 一列长 140 米的快车以每秒
32、 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（ 2217）米，因此，所求的时间为（225140）（ 2217）73（秒）答：需要 73秒。例 4 一列长 150米的列车以每秒22米的速度行驶， 有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150（223）6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要6 秒钟。例 5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥用了 58
33、秒。 求这列火车的车速和车身长度各是多少？解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8858） 秒的时间内行驶了 （20001250） 米的路程，因此，火车的车速为每秒（20001250）（ 8858）25（米）进而可知，车长和桥长的和为（2558）米，因此，车长为25581250200（米）答：这列火车的车速是每秒25米，车身长 200米。 13 时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。通常
34、按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60 格；时针每小时走 5 格， 每分钟走 5/60 1/12 格。 每分钟分针比时针多走（11/12） 11/12格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为20（ 11/12）2（分钟）答：再经过 2 分钟时针正好与分针重合。例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差
35、15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（ 54 15）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（ 11/12 ）格就可以求出二针成直角的时间。（54 15）（ 11/12 ）5（分钟）（5415）（ 11/12 ）38（分钟）答：4点 05 分及 4 点 38 分时两针成直角。例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（56） （11/12
36、 ）36（分钟）答：6点 36 分的时候分针与时针重合。 14 盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余， 或两次都不足， 求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3 个就余 11 个；若每人分 4个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解按照“参加分配
37、的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（111）（ 43）12（人）（2）有多少个苹果？3121147（个）答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。例 2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长4 天。这条路全长多少米？解题中原定完成任务的天数， 就相当于“参加分配的总人数”， 按照“参加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为（26083004）（ 300260）22（天）这条路全长为300（224）7800（米）答：这条路全长7800米。例 3 学校组织春游，如果每辆车坐40 人，
38、就余下 30 人；如果每辆车坐 45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（300）（ 4540）6（辆）（2）有多少人？40630270（人）答：有 6 辆车，有 270人。 15 工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中， 常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数 （它表示单位时间内完成工作总量
39、的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1 一项工程，甲队单独做需要10 天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解题中的“一项工程”是工作总量， 由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“ 1”。由于甲队独做需 10 天完成， 那么每天完成这项工程的 1/10； 乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的1/15； 两队合做，每天可以完成这项工程的 （1/101/15 ） 。
40、 由此可以列出算式：1（1/10 1/15 ）11/6 6（天）答：两队合做需要6 天完成。例 2 一批零件，甲独做6 小时完成，乙独做8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24 个，求这批零件共有多少个？解设总工作量为 1，则甲每小时完成1/6 ，乙每小时完成 1/8 ，甲比乙每小时多完成（ 1/6 1/8 ），二人合做时每小时完成（ 1/6 1/8 ）。因为二人合做需要1（1/6 1/8）小时，这个时间内，甲比乙多做24 个零件，所以（ 1）每小时甲比乙多做多少零件？241（ 1/6 1/8 ） 7（个）（2）这批零件共有多少个？7（1/6 1/8 ）168（个）答：这批零件共有
41、168 个。解二上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6 1/8 43 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4 3 / 4 3 1/7 所以，这批零件共有241/7 168（个）例 3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10 小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60125 60106 60154 因此余下的工作量由乙
42、丙合做还需要（6052）（ 64）5（小时）答：还需要 5 小时才能完成。例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。 当打开 4 个进水管时， 需要 5 小时才能注满水池； 当打开 2 个进水管时，需要 15小时才能注满水池；现在要用2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要 2 小时内将水池注满， 即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位
43、1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（145）， 2 个进水管 15 小时注水量为（ 1215），从而可知每小时的排水量为（1215145）（ 155）1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为14515 15 又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为12，所以， 2 小时内注满一池水至少需要多少个进水管？（1512）（12）8.59（个）答：至少需要 9 个进水管。16 正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定） ，
44、那么这两种量就叫做成正比例的量， 它们的关系叫做正比例关系。 正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量， 一种量变化， 另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做成反比例的量， 它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1 修一条公路， 已修的是
45、未修的 1/3 ，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2 ，求这条公路总长是多少米？解由条件知，公路总长不变。原已修长度总长度 1（13）14312 现已修长度总长度 1（12）13412 比较以上两式可知，把总长度当作12 份，则 300 米相当于（ 43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米）答： 这条公路总长 3600 米。例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 91 分钟可以做 X应用题则有 28 491X 28X914 X91428 X13 答：91 分钟可以做 13
46、道应用题。例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以看完？解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设 X天可以看完，就有 24 36X15 36X2415 X10 答：10 天就可以看完。例 4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A 25 20 36 B 16 解由面积宽长可知， 当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，A362016 25 B2016 解这两个比例，得 A45 B20
47、 所以，大矩形面积为 45 3625202016162 答：大矩形的面积是162 17 按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式： 一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数， 再求各部分占总量的几分之几 （以总份数作分母， 比的前后项分别作分子） ，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例 1
48、学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有 48 人，三班有 45人，三个班各植树多少棵？解总份数为 47 4845140 一班植树56047/140188（棵）二班植树56048/140192（棵）三班植树56045/140180（棵）答：一、二、三班分别植树188棵、192 棵、180 棵。例 2 用 60厘米长的铁丝围成一个三角形， 三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米？解 3 4512 603/1215（厘米）604/1220（厘米）605/1225（厘米）答：三角形三条边的长分别是15 厘米、 20厘米、 25厘米。例 3 从前有个牧民
49、，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2 ，二儿子分总数的1/3 ，三儿子分总数的1/9 ，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解如果用总数乘以分率的方法解答， 显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/2 1/3 1/9 962 9 6217 1 79/179 176/176 172/17 2 答：大儿子分得9 只羊，二儿子分得6 只羊，三儿子分得 2 只羊。例 4 某工厂第一、 二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间共多少人？人数 80 人一共多少人？对应的份数 12 8 81221 解80
50、（128）（ 81221）820（人）答：三个车间一共820 人。 18 百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“% ”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1% ，两个百分点就是2% 。【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量标准量比较量百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数