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1、学习必备欢迎下载20XX 年数学总复习-高中数学思想方法+专题攻略一：分类讨论思想复习目标 : 1掌握分类讨论必须遵循的原则2能够合理，正确地求解有关问题命题分析 : 分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性， 以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点. 而且也是高考的一个难点. 这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况. 重点题型分析: 例 1解关于x 的不等式 :)()(232Raxaaax解: 原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a2)
2、a2a2-a0 即 0a1 时，不等式的解为 x(a2, a). （2）当 a0 即 a1 时，不等式的解为:x(a, a2) （3）当 a=a2a2-a=0 即 a=0 或 a=1 时，不等式为x20 或(x-1)20 不等式的解为 x. 综上，当 0a1 时， x(a2, a) 当 a1 时， x(a,a2) 当 a=0 或 a=1 时， x. 评述 : 抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类. 例 2解关于x 的不等式 ax2+2ax+10(aR) 解: 此题应按a 是否为 0 来分类 . （1）当 a=0 时
3、，不等式为10, 解集为 R. （2）a 0 时分为 a0 与 a0 两类10)1(00440002aaaaaaaa时，方程ax2+2ax+1=0 有两根aaaaaaaaaaax)1(12442222,1. 则原不等式的解为),)1(1() 1(1,(aaaaaa. 101000440002aaaaaaa时，方程 ax2+2ax+1=0 没有实根， 此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为 （-，+ ）. 11000440002aaaaaaaa或时，方程 ax2+2ax+1=0 只有一根为x=-1 ，则原不等式的解为(-,-1) (-1,+). 01000440002aaaaaaaa或时，学习必
4、备欢迎下载方程 ax2+2ax+1=0 有两根，aaaaaaax)1(12)1(22, 1此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为: )1(1,)1(1(aaaaaa. aaaaaaa1000440002综上 : 当 0a1 时，解集为),)1(1() 1(1,(aaaaaa. 当 a=1 时，解集为 (-,-1) (-1,+). 当 a0 时，不等式化为0)1)(2(xax，当120aa，即 a0 时，不等式解为),2 1,(a. 当120aa，此时 a 不存在 . a0 时，不等式化为0)1)(2(xax，当120aa，即 -2a0 时，不等式解为 1,2a当120aa，即 a0时
5、， x),2 1,(a. 学习必备欢迎下载 -2a0时， x1,2a. a2 时， t=1 ，2533maxaay解方程得 :22132213aa或（舍） . (2) 当121a时，即 -2 a2 时，2at,262432maxaay, 解方程为 :34a或 a=4（舍） . (3) 当12a即 a-2 时， t=-1时， ymax=-a2+a+5=2 即 a2-a-3=0 2131a, a0, 即 x (2,+ ). 由(2)a1 时，012aa，下面分为三种情况. 012121aaaaa即 a1 时，解为)12,2(aa. 0012121aaaaaa时，解为. 2121aaa01aa即 0
6、a1 时，aa12的符号不确定，也分为3 种情况 . 012121aaaaa a 不存在 . 学习必备欢迎下载012121aaaaa当 a1 时，原不等式的解为:),2()12,(aa. 综上 : a=1时， x(2,+ ). a1时， x)12,2(aa a=0时， x. 0a1时， x),2()12,(aa. 评述 : 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10: 明确讨论的对象，确定对象的全体；20: 确定分类标准，正确分类，不重不漏；30: 逐步进行讨论，获得结段性结记；40: 归纳总结，综合结记. 课后练习 : 1解不等式2)385(log2xxx2解不等式1|)3(log
7、|log|3121xx3已知关于x 的不等式052axax的解集为M. （1）当 a=4 时，求集合M: （2）若 3 M ，求实数 a 的取值范围 . 4在 x0y 平面上给定曲线y2=2x, 设点 A坐标为 (a,0), a R，求曲线上点到点A距离的最小值 d，并写成d=f(a) 的函数表达式. 参考答案 : 1. ），（），（2353212.4943，3. (1) M为），（），（2452 (2),9()35,(a4. 时当时当1|112)(aaaaafd. 学习必备欢迎下载一、配方法例 1.讨论下列问题：1.在正项等比数列53735351,252,aaaaaaaaan则中. 2. 方
8、程 x2y24kx2y5k0 表示圆的充要条件是（）. A. 41k1 B. k1 C. k R D. k 41或 k1 3. 已知 sin4cos4 1，则 sincos的值为（）. A. 1 B. 1 C. 1 或 1 D. 0 4. 函数 y) 352(log221xx的单调递增区间是（）. A. （ , 45 B. 45,+ ) C. (21,45 D. 45,3) 5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0 的两实数根x1、x2，则点 P(x1,x2)在圆 x2+y2=4 上，则实数a_。6. 已知长方体的全面积为11，其 12 条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（
9、）. A. 32B. 14C. 5 D. 6 例 2. 设方程 x2kx2=0 的两根为p、q，若7)()(22pqqp成立，求k 的取值范围。例 3. 设非零复数a、b 满足 a2abb2=0，求20022002)()(babbaa。学习必备欢迎下载二、换元法例 1.讨论下列问题：1. ysinxcosx sinx+cosx 的最大值是 _。2.设 f(x21)4(log4xa（a1） ，则 f(x) 的值域是 _。3.已知数列 an 中， a1 1，an+1anan+1an，则数列通项an_。4. 设实数 x、y 满足 x22xy1 0，则 xy 的取值范围是_。5.方程33131xx的解
10、是 _。6.不等式 log2(2x1) log2(2x 12)2 的解集是 _。例 2. 实数 x、y 满足 4x25xy4y25 ，设 Sx2 y2，求minmax11SS的值。例 3 ABC 的三个内角A、 B、 C 满足： A C 2B，2cos,cos2cos1cos1CABCA求的值。例 4. 设 a0，求 f(x) 2a(sinxcosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值。例 5. 设对所有实数x， 不等式04) 1(log12log2)1(4log222222aaaaxaax恒成立，求 a 的取值范围。学习必备欢迎下载例 6. 已知yxyxyxyx求且,)(310sinco
11、s,cossin222222的值。例 7. 实数 x、y 满足116)1(9)1(22yx，若 xyk0 恒成立，求k 的范围。例 8.实数 a、b、 c 满足 a bc1，求 a2 b2c2的最小值。例 9.已知正四棱锥SABCD 的侧面与底面的夹角为，相邻两侧面的夹角为,求证： cos=-cos2。三、待定系数法例 1.讨论下列问题：1.设mxxf2)(，f(x) 的反函数f1(x)nx5，那么 m、n 的值依次为 _。A. 25, 2 B. 25， 2 C. 25, 2 D. 25， 2 2.二次不等式ax2bx20 的解集是)31,21(，则 ab 的值是 _。学习必备欢迎下载A. 1
12、0 B. 10 C. 14 D. 14 3.在(1x3)（1x）10的展开式中，x5的系数是 _。A. 297 B.252 C. 297 D. 207 4.函数 yabcos3x (b0)的最大值为23，最小值为21，则 y 4asin3bx 的最小正周期是_。5.与直线 L：2x3y50 平行且过点A(1,-4) 的直线 L 的方程是 _。6.与双曲线1422yx有共同的渐近线， 且过点 (2,2)的双曲线的方程是_。例 2.已知函数13422xnxmxy的最大值为7，最小值为1，求此函数式。例 3. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离
13、是105，求椭圆的方程。例 4. 是否存在常数a、b、c，使得等式122232 n(n1)212) 1(nn(an2 bnc)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。例 5. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为 14cm，要从四角上剪掉边长为xcm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？学习必备欢迎下载四、定义法例 1.讨论下列问题：1.已知集合A 中有两个元素，集合B 中有 7 个元素， AB 的元素个数为n，则 _。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n 9 D. 5n7 2.设 MP、OM、AT 分别是 46角的正弦线、余弦线
14、和正切线，则_。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP 3.复数 z1a2， z2 2，如果 |z1| |z2|，则实数a 的取值范围是_。A. 1a1 C. a0 D. a1 4.椭圆192522yx上有一点P， 它到左准线的距离为52， 那么 P 点到右焦点的距离为_。A. 8 C. 7.5 C. 754D. 3 5.奇函数 f(x) 的最小正周期为T，则 f(2T)的值为 _。A. T B. 0 C. T2D. 不能确定6. 正三棱台的侧棱与底面成45角，则其侧面与底面所成角的正切值为_。例 2. 已知 z1， 设 wz23z4，求 w 的三角形式
15、； 如果zazbzz2211，求实数a、b 的值。例 3. 已知 f(x) xn cx，f(2) 14，f(4) 252，求)(log22xfy的定义域，判定在(223,1)上的单调性。学习必备欢迎下载例 4. 如图，已知A B C ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点。A AD C CO H B B 证明： AB 平面 DBC ；假设 AB BC ，求二面角DBC C 的度数。（94 年全国理）例 5. 求过定点M(1,2) ，以 x 轴为准线，离心率为12的椭圆的下顶点的轨迹方程。五、反证法例 1.讨论下列问题：1.已知函数f(x) 在其定义域内是减函数，则方程f(x) 0 _。A.至多
16、一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2.已知 a0,1bab ab2B. ab2aba C. aba ab2D. ab ab2a 3.已知 l， a ，b ，若 a、 b 为异面直线，则_。A. a、b 都与 l 相交B. a、b 中至少一条与l 相交C. a、b 中至多有一条与l 相交D. a、b 都与 l 相交4.四面体顶点和各棱的中点共10 个，在其中取4 个不共面的点，不同的取法有_。A. 150 种B. 147 种C. 144 种D. 141 种学习必备欢迎下载例 2. 如图，设SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是 SB 上一点。求证：AC 与平面
17、SOB 不垂直。S C A O B 例 3. 若下列方程： x2 4ax4a30， x2(a1)xa20, x22ax2a0 至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。例 4. 给定实数a，a0 且 a1，设函数11axxy(其中 x R 且 x1a)，证明： .经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴；.这个函数的图像关于直线yx成轴对称图像。(88 年全国理 )。学习必备欢迎下载六、数形结合例 1.讨论下列问题：1.设命题甲： 0 x5 ；命题乙： |x 2|3，那么甲是乙的_。A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若 loga2log
18、b20，则 _。A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba1 3.如果 |x|4,那么函数 f(x) cos2xsinx 的最小值是 _。A. 212B. 212C. 1 D. 1224.如果奇函数f(x) 在区间 3,7 上是增函数且最小值是5，那么 f(x) 的-7,-3 上是 _。A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5 C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5 5.设全集 I(x,y)|x,y R ， 集合 M(x,y)| 123xy ， N(x,y)|y x1， 那么MN等于_。A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|y x1 6.如果 是第二象限的
19、角，且满足2,sin12sin2cos那么是_。A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角7.已知集合E|cossin，02， F|tg0),椭圆中心D(2p2,0)，焦点在 x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问 p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？例 5. 设 a、b 是两个实数， A(x,y)|x n，ynab （nZ） ，B(x,y)|x m，y3m215 (mZ)，C(x,y)|x2y2144，讨论是否存在a、b，使得 AB与 (a,b)C同时成立。七、分类讨论例 1.讨论
20、下列问题：1.集合 Ax|x|4,xR ，Bx|x 3|a，xR ，若 AB，那么 a 的范围是 _。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0 且 a1，ploga(a3a1)，qloga(a2a1)，则 p、q 的大小关系是_。A. pq B. pq D.当 a1 时， pq；当 0a1 时， pq 3.函数|cos|cos|sin|sinctgxctgxtgxtgxxxxxy的值域是 _。4.若 (0, 2)，则limncossincossinnnnn 的值为 _。A. 1 或 1 B. 0 或 1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或 1 5.函数xxy1的值域是 _。A.
21、2,+) B. (- ,-22,+) C. (-,+) D. -2,2 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2 和 4 的矩形，则它的体积为_。学习必备欢迎下载A. 893B. 493C. 293D. 493或8937.过点 P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_。A. 3x 2y0 B. xy 50 C. 3x2y 0 或 xy50 D.不能确定例 2. 设 0 x0 且 a1，比较 |loga(1x)|与|loga(1 x)|的大小。例 3. 已知集合A 和集合 B 各含有 12 个元素， AB 含有 4 个元素， 试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：. CAB 且 C
22、中含有 3 个元素；. CA。例 4. 设an是由正数组成的等比数列，Sn是前 n 项和。. 证明：12lg2lgnnnSSS；.是否存在常数c0，使得)lg(2)lg()lg(12cScScSnnn成立？并证明结论。例 5. 设函数 f(x) ax22x2，对于满足1x0 ，求实数 a 的取值范围。学习必备欢迎下载例 6. 解不等式)21(012)6)(4(aaaaxax为常数，. 例 7. 设 a0,在复数集C 中，解方程： z22|z|a 。例 8. 在 xoy 平面上给定曲线y22x，设点 A(a,0) ，aR，曲线上的点到点A 的距离的最小值为 f(a)，求 f(a)的函数表达式。八
23、、函数与方程思想例 1.讨论下列问题：1.方程 lgxx3 的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+) 2.如果函数f(x) x2bxc 对于任意实数t，都有 f(2t)f(2 t)，那么 _。A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0，a1，试求方程)(log)(log222axakxaa有实数解的k 的范围。例 3. 设不等式2x1m(x21)对满足 |m|2 的一切实数m 的取值都成立。求x 的取值范围。例 4. 设等差数列 an 的前 n 项的和为Sn，已知 a
24、312，S120，S13b0）的半焦距为c，直线 l 过(0,a)和(b,0)，已知原点到l 的距离等于c7212，则椭圆的离心率为_。A. 14B. 12C. 33D. 226. 已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，SA 5，SB4， SC3，D 为 AB 的中点， E为 AC 的中点，则四棱锥S-BCED 的体积为 _。A. 152B. 10 C. 252D. 352例 2. 若 x、y、zR且 x yz1，求)11)(11)(11(zyx的最小值。学习必备欢迎下载例 3. 设 x、yR 且 3x2 2y2 6x，求 x2y2的范围。例 4. 求值： ctg10 4cos10例 5.
25、 已知 f(x) tgx，x(0,2)，若 x1、x2(0, 2)且 x1x2，求证：)2()()(212121xxfxfxf例 5. 如图，在三棱锥S-ABC 中， S在底面上的射影N 位于底面的高CD 上， M 是侧棱 SC上的一点，使截面MAB 与底面所成角等于NSC。求证： SC 垂直于截面MAB 。 （83 年全国高考）S A M D N C 学习必备欢迎下载B 20XX年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点： 函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。复习难点： 树立数形结合的思想，函数
26、方程的思想解决有关问题。主要内容：（一）基本问题 1.定义域2. 对应法则 3.值域 4.图象问题5. 单调性6. 奇偶性（对称性） 7.周期性8. 反函数 9.函数值比大小 10.分段函数11. 函数方程及不等式（二）基本问题中的易错点及基本方法1集合与映射认清集合中的代表元素有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。2关于定义域复合函数的定义域，限制条件要找全。应用问题实际意义。求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。方程，不等式问题先确定定义域。3关于对应法则注： 分段函数，不同区间上对应法则不同 联系函数性质求解析式4
27、值域问题基本方法： 化为基本函数换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。均值不等式：形如和，积，及xbaxxf)(形式。注意识别及应用条件。几何背景：解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。易错点： 考察定义域 均值不等式使用条件学习必备欢迎下载5函数的奇偶性，单调性，周期性。关注问题： 判定时，先考察定义域。用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。“奇偶性” +“关于直线 x=k”对称，求出函数周期。6比大小问
28、题基本方法： 粗分。如以“ 0” ， “1” ， “-1 ”等为分界点。搭桥 结合单调性，数形结合比差、比商 利用函数图象的凸凹性。7函数的图象基本函数图象图象变换平移对称（取绝对值）放缩易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下： 取绝对值（对称）与平移例： 由xy图象，经过如何变换可得下列函数图象？ 1| xy |1| xy分析： .1|11xyxxxyxxxy对称平移 . |1|1|xyxxxyxxxy对称评述： 要由xy得到1|xy只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。 平移与关于 y=x对称变换例： y=f(x+3) 的反函数与 y=f-1(x+3) 是否相同？分析： )3x(f
29、)3x(fy)x(fy)x,y()y,x(3xx对称平移的反函数。).3(13)(1),(),()(xfxxxfyxyyxxfy平移对称两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。）（三）本周例题：例1判断函数xxtgtgxxfsin)21()(的奇偶性及周期性。分析： 定义域：)(22222Zkkxkxkxkx f(x)定义域关于原点对称，如图：又tgxxxxtgxxfsin)sincos11 ()( f(-x)=-f(x), f(x)周期的奇函数。评述： 研究性质时关注定义域。学习必备欢迎下载例 2 设 f(x)定义在 R上的偶函数，且)(1)3(xfxf，又当 x -3,-2时，f(
30、x)=2x，求 f(113.5)的值。 已知 f(x) 是以 2为周期的偶函数，且当x(0,1)时， f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解： )(1)3(xfxf)()3(1)6(xfxfxf， f(x)周期 T=6， f(113.5)=f(619-0.5)=f(-0.5). 当x(-1,0)时， x+3(2,3). x (2,3)时， f(x)=f(-x)=2x. f(x+3)=-2(x+3). )3(21)3(1)(xxfxf, 51)321(21)21(f. （法 1） （从解析式入手） x (1,2), 则-x (-2,-1), 2-x (0,1), T=2. f(x
31、)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. f(x)=3-x, x(1,2). 小结： 由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。（法 2） （图象）f(x)=f(x+2) 如图： x(0,1), f(x)=x+1. x(-1,0)f(x)=-x+1. x(1,2)f(x)=-(x-2)+1=3-x. 注： 从图象入手也可解决，且较直观。例3 若x(1,2)时，不等式 (x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。 已知二次函数 f(x)=x2+ax+5对任意 t 都有 f(t)=f(-4-t)， 且在闭区间 Zm,0 上有最大值 5，最小值 1，求 m 的取值范围
32、。分析： 设 y1=(x-1)2, y2=logax x(1,2) ，即 x(1,2 ）时，曲线 y1在y2的下方，如图： a=2 时， x(1,2)也成立， a(1,2. 小结：数形结合变化的观点注意边界点，a=2，x取不到 2， 仍成立。 f(t)=f(-4-t), f(-2+t)=f(-2-t) f(x)图象关于 x=-2 对称， a=4, f(x)=x2+4x+5. f(x)=(x+2)2+1, 动区间： m,0, x m,0, f(x)max=5, f(x)min=1, m-4,0. 小结： 函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。 如二次函数问题中常见问题，
33、定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。学习必备欢迎下载例4已知函数).10(,55log)(aaxxxfa且 (I)判定 f(x)在x(- ,-5) 上的单调性，并证明。 (II)设g(x)=1+loga(x-3) ，若方程 f(x)=g(x)有实根，求 a的取值范围。分析： (I) 任取 x1x2-5, 则：)5)(5()5)(5(log55log55log)()(2121221121xxxxxxxxxfxfaaa, (x1-5)(x2+5)-(x1
34、+5)(x2-5)=10(x1-x2)0 且(x1+5)(x2-5)0 1)5)(5()5)(5(02121xxxx, 当a1时， f(x1)-f(x2)0, f(x)单调递增，当0a0, f(x) 单调递减。 (II)若f(x)=g(x)有实根，即：)3(log155logxxxaa。.503055xxxx 即方程：)3(55xaxx有大于 5的实根。（法 1）)105)(25()5()5)(3(5xxxxxxa（ x5 ）165320212112)5(20)5(120)5(12)5(52xxxxx1653,0(a. （法 2） （实根分布）)3(55xaxx(1) 有大于 5的实根，方程
35、(1) 化为： ax2+(2a-1)x-15a+5=0. a0, =64a2-24a+1 0. 有一根大于 5 0) 5(5f. 两根均大于1653, 0(52210) 5(0aaaf. 小结： 实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：二次函数图象开口方向。图象对称轴的位置。图象与x轴交点。端点函数值的符号。此题(2) 中，也可以用韦达定理解决。小结：函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺学习必备欢迎下载基本方法体系。练习：已知 f(x)是定义在 -1 ， 1 上的奇函数，且f(1)=1,若 m,n -1,1， m
36、+n 0时 , 有0)()(nmnfmf。用定义证明 f(x) 在-1 ，1 上是增函数。若f(x) t2-2at+1 对所有 x-1,1， a-1,1恒成立，求实数t 的取值范围。参考答案： (2)|t| 2或t=0. 20XX年高三数学第三轮总复习排列与组合 押题针对训练授课内容： 复习排列与组合考试内容： 两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。考试要求： 1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。试题安排： 一般情况下，排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题
37、。有时还另有一道排列、 组合与其他内容的综合题（大都与集合、 立体几何、不等式证明等相综合）。重点： 两个原理尤其是乘法原理的应用。难点： 不重不漏。知识要点及典型例题分析：1加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式；分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。例 1书架上放有3 本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的
38、取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解： （1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3 种书，则分为 3 类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14 种。（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3 个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3 56=90（种） 。（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3 类情况（数语各1 本，数英各 1 本，语英各 1 本）而在每一类情况中又需分2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：35+36+5 6=63（种） 。例 2已知
39、两个集合A=1，2，3 ，B=a,b,c,d，从 A到 B建立映射，问可建立多少个不同的映射？分析： 首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”因 A中有 3 个元素，则必须将这3 个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，学习必备欢迎下载应分 3 个步骤， 当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：555=53（种） 。2排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。连乘积的形式阶乘形式 Pnm=n(n-
40、1)(n-2) (n-m+1) =)!mn(!n Cnm=)!(!123) 1()1()2)(1(mnmnmmmnnnn例 3求证： Pnm+mPnm-1=Pn+1m证明： 左边 =)!1(!)!(!mnnmmnn右边m1nP!m)1n()!1n()!1mn(!nm!n) 1mn( 等式成立。评述： 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质。 n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。例 4解方程3412140 xzPP. 解： 原方程可化为：)2x)(1x(x140)2x2)(1x2(x2)1x2(Nx3x41x2)2(35)12)(12(3xxxNxx0
41、6935432xxNxx解得 x=3. 评述： 解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。3排列与组合的应用题历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件； 或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。一般方法有：直接法和间接法（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理
42、，可用占位法。（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据AA=I 且 AA=的原理，采学习必备欢迎下载用排除的方法来获得问题的解决。特殊方法：（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。（4）其它方法。例 57 人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。（1）甲排中间； （2）甲不排两端； （3）甲，乙相邻；（4）甲在乙的左边（不要求相邻）； （5）甲，乙，丙连排；（6）甲
43、，乙，丙两两不相邻。解： （1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6 人任意排列，故共有： 166P=720 种不同排法。（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有15P种，其余6 人可任意排列有66P种，故共有15P66P=3600 种不同排法。（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共 6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有66P22P=1400 种不同的排法。（4）甲在乙的左边。考虑在7 人排成一行形成的所有排列77P中： “甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各
44、占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有2177P=2520 种。（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4 人共 5 个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有55P33P=720 种不同排法。（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法” ，先将甲、乙、丙外的4 人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有44P35P=1440 种不同的排法。例 6用 0，1，2，3，4，5 这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个
45、数：（1）奇数；（2）5 的倍数；（3）比 20300 大的数；（4）不含数字0，且 1，2 不相邻的数。解： （1）奇数：要得到一个5 位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5 中选出一个数排列个位的位置上有13P种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0 的 4 个数字中任选一个排在首位上有14P种；第三步：从余下的4 个数字中任选3 个排在中间的 3 个数的位置上，由乘法原理共有13P14P34P=388（个） 。（2）5 的倍数：按0 作不作个位来分类第一类： 0 作个位，则有45P=120。第二类： 0 不作个位即5 作个位，则14P34P=96。则共有这样的数为
46、：45P+14P34P=216（个） 。（3）比 20300 大的数的五位数可分为三类：第一类： 3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有 345P个；第二类： 21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的 434P个；第三类： 203xx, 204xx, 205xx, 有 323P个，因此，比20300 大的五位数共有：学习必备欢迎下载 345P+434P+323P=474（个） 。（4）不含数字0 且 1，2 不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5 三个数字排成一行；第二步将1 和 2 插入四个“空”中的两个位置，故共有4433PP=72 个不含数字0，且 1 和 2 不
47、相邻的五位数。例 7直线与圆相离，直线上六点A1， A2，A3， A4， A5， A6，圆上四点B1，B2， B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？解： 所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为1416CC=24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为24C=6；第三类为已知直线为1 条，则直线最多的条数为N1=1416CC+24C+1=31（条）。所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数： N2=N1-224C=31-12=19
48、 （条） 。20XX年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练内容： 三角函数的定义与三角变换重点： 任意角的三角函数定义难点： 三角变换公式的应用内容安排说明及分析：本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13% 左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，
49、难度多为容易题与中等题。知识要点及典型例题分析：一、三角函数的定义1角的概念（1）角的定义及正角，负角与零角（2）象限角与轴上角的表达（3）终边相同的角（4）角度制（5）弧度制2任意角的三角函数定义任意角的6 个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：（1）三角函数的定义域（2）三角函数值在四个象限中的符号（3）同角三角函数的关系（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。3诱导公式总共 9 组共 36 个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象
50、限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。“奇变”是指所涉及的轴上角为2的奇数倍时（包括4 组：2，23）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如： 由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角学习必备欢迎下载形式，有时也需要改变函数名称，如：sin-icos=cos(23+ )+isin(23+ ) 。“偶不变” 是指所涉及的轴上角为2的偶数倍时 （包括 5 组：2k + , , 2 -, -）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。二、典型例题分析：例 1 （