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1、第五讲 图形的相似知识点一：比例线段1.比例线段注意：列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段2.比例的基本性质(1)基本性质： adbc；（b、d0）(2)合比性质：；（b、d0）(3)等比性质：k(bdn0)比和比例顺口溜 两数相除也叫比，两比相等叫比例。 外项积等内项积，等积可化八比例。 分别交换内外项
2、，统统都要叫更比。 同时交换内外项，便要称其为反比。 前后项和比后项，比值不变叫合比。 前后项差比后项，组成比例是分比。 两项和比两项差，比值相等合分比。 前项和比后项和，比值不变叫等比。 k.（b、d、···、n0）注意：已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的
3、式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.变式练习1：若，则.解：设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3l4l5，则.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若ABCD，则.解比例 顺口溜 外项积等内项积，列出方程并解之。 求比值 顺口溜
4、0; 由已知去求比值，多种途径可利用。 活用比例七性质，变量替换也走红。 消元也是好办法，殊途同归会变通。注意：利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似如图所示，若DEBC，则ADEABC.变式练习1：如图，已知D，E分别是ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DEAB，那么BC：CD应等于.变式练习2：如图，已知直线abc，直
5、线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则( B )A. B. C. D1,变式练习3：如图，ABCDEF，AF与BE相交于点G，且AG2，GD1，DF5，那么的值等于_.,第3题图)4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=0.618，那么线段AB被点C黄金分割其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比变式练习：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(1)cm5.证四条线段成比例的技巧：（1）.巧作平行线证相似：变式练习：在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AD上任意一点，直线CF交AB于E。求证：AE:AB
6、=EF:FC（2）.三点定形法确定相似三角形变式练习：CD是RtABC斜边上的高，E是AC的中点，ED,CB的延长线交于点F，求证：FBCD=FDDB（3）.用等线段替换变式练习：（4）.巧用面积证比例式 : 变式练习：AD是ABC的角平分线。求证：知识点二 ：相似三角形的性质与判定1.相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：DEBC，ADEABC相似三角形的
7、等价关系：（1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC；（2）对称性：若ABCABC，则ABCABC（3）传递性：若ABCABC，并且ABCABC，则ABCABC3.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若AD，BE，则ABCDEF.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 如图，若AD， ，则ABCDEF.注意：判定三角形相似的思路： 件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定； 条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例； 条件中若有两边对应成比例可找夹角相等； 条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边
8、对应成比例； 条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似如图，若 ，则ABCDEF. 4.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比变式练习(1)已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为2，则ABC与DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DEBC， AFBC,已知SADE:SABC=1:4，则AF:AG=1：2. 5.相似三角形的基本模型注意：（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到
9、解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果6.相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方变式练习1：若两个相似三角形的周长比为23，则它们的面积比是_【解析】根据相似三角形
10、的面积比等于相似比的平方，得它们的面积比为：(23)249.变式练习2：已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为( A )A. B. C. D.变式练习3： 如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是( D )ADEBC B.CADEABC DSADESABC12变式练习4：如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，6)，B(9，3)，以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点A的对应点A的坐标是( D )A(1，2) B(9，18)C(9，18)或(9，18) D(1，2)或(1，2), 变式练习5： 如图，已知ABC和DEC的面积相等，点E在BC边上，DEAB交AC于点F，AB12，EF9，则DF的长是多少？解：ABC与DEC的面积相等，CDF与四边形AFEB的面积相等，ABDE，CEFCBA，EF9，AB12，EFAB91234，CEF和CBA的面积比916，设CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积7k，CDF与四边形AFEB的面积相等，SCDF7k，CDF与CEF是同高不同底的三角形，面积比等于底之比，DFEF7k9k，DF7.