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1、第一节 实数及其运算知识点一：实数的概念及分类 （1）按定义分 正有理数有理数 0 有限小数或 负有理数 无限循环小数 实数 正无理数 无理数 无限不循环小数负无理数 注意：无理数中，切记“无限不循环”这一本质，四类：（1）开方开不尽的数，如等；（开得尽方的含根号的数属于有理数，如，=-3，它们都属于有理数.）（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+100等；（3）有特定结构的数，如3.2020020002等，一定要注意后面要带省略号；（4）某些三角函数，如sin30o ，tan75等（2）按正、负性分 正实数实数0负实数注意：0既不属于正数，也不属于负数.知识点二 ：实数的相关
2、概念（一）数轴 （1）规定了的原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。（2）三要素：数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可。（3）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大注意：1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零。数轴上的点对应任意实数，包括无理数。2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。变式练习在3，1，1，3四个数中，比2小的数是( A )A3
3、 B1 C1 D3（二）.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数ó a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等注意：a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.变式练习：.2的相反数是()A. 2 B. 2 C. D. 【解析】Aa的相反数是a，因此2的相反数为(2)2.(易错题) A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是( B )（三）.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质|a|= a (a0)； |a-b|= a-b(ab) -a(a0). b-a(ab)注意：（1）若|x|=
4、a（a0），则x=±a.如：绝对值等于4的是±4（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.（3）非负性：|a|0，若|a|+b2=0,则a=b=0. 初中阶段认识了3种非负数：（a0） |a|变式练习1：3的绝对值是3；|-4|=4；;|0|=0.变式练习2.实数a在数轴上的位置如图所示，则|a2.5|()第2题图A. a2.5 B. 2.5aC. a2.5 D. a2.5【解析】B从数轴可以看出0a2.5，所以a2.50，所以|a2.5|(a2.5)2.5a.变式练习3：数轴上点A、B表示的数分别是5，3，它们之间的距离可以表示为( D )A35 B35C|35| D|35|
5、变式练习4：.实数a在数轴上的位置如图，则|a3|_3a_（四）倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a0) 即零没有倒数，（2）代数意义：a、b 互为倒数ab=1注意：（1）倒数等于它本身的数有±1.（2）分数的倒数：找一个分数的倒数，把分数的分子和分母交换位置。（3）整数的倒数：找一个整数的倒数，把3化成分数，即3/1，再把3/1这个分数的分子和分母交换位置。（4）小数的倒数：找一个小数的倒数，先化成分数，再求分数的倒数。变式练习：.2的倒数是()A. 2 B. 2 C. D. 【解析】D一个数的倒数等于与这个数乘积为1的数，因此2的倒数为.知识点三 ：科学
6、记数法、近似数1.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1|a|10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1|a|10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）变式练习1：41000用科学记数法表示为4.1×104； 12万用科学记数法表示为1.2×105；0.0003用科学记数法表示为3×10-4. 变式练习2： 据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客27700000人，将27700000用科学记数法表示为()A. 0.2
7、77×107 B. 0.277×108 C. 2.77×107 D. 2.77×108【解析】C将一个大数表示成a×10n的形式，其中1a10，故a2.77，n为正整数，n的值为原数的整数位数减1，因此n817，故27700000用科学记数法表示为2.77×107.变式练习3：PM2.5是指大气中直径小于或等2.5m(0.0000025m)的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为()A. 25×107B. 2.5×106C. 0.25×105D. 2.5&
8、#215;106【解析】B一个将小数表示成a×10n的形式，其中1a10，n为负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数，即a2.5，n6，所以0.00000252.5×106.2.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 注意：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这是，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。变式练习：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.知识点四 ：实数的大小比较（常见方法归纳）（1）正
9、数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数（3） 作差比较法：设a、b是任意的实数a-b>0a>b a-b=0a=b a-b<0a<b（3）设a、b是正实数 （4）平方法：ab0óa2b2.变式练习1.如图所示，a与b的大小关系是()A. ab B. ab C. ab D. b2a第1题图【解析】A数轴上原点左边的数表示负数，原点右边的数表示正数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小，故ab.变式练习2.在0，2，(3)0，5这四个数中，最大
10、的数是()A. 0 B. 2 C. (3)0 D. 5【解析】B(3)01，50(3)02，最大的数是2.变式练习3下列各数中最小的数是()A. 0B. 3 C. D. 1【解析】B根据正数>0>负数，负数相比较，绝对值大的反而小，得3<<0<1.变式练习4.把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为_10-2-2.3_.变式练习5已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：ba，xyab，yxab.将这四个有理数按从小到大的顺序用“”连接起来是_yabx_.点拨：xyab，yabx，xaby，把yabx代入yxab得：abxxab，2b2x，bx，把
11、xaby代入yxab得：y(aby)ab，2y2a，ya，ba，由得：yabx知识点五 ：实数的运算（1）加法：1、同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加。2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3、互为相反数的两个数相加得零。4、一个数与零相加，仍得这个数。 注意：有理数的加法运算（顺口溜） 同号两数来相加，绝对值加不变号。 异号相加大减小，大数决定和符号。 互为相反数求和，结果是零须记好。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。（2）减法：1、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 2、有理数减法常见的错误：没有顾到结果的
12、符号；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。注意：（1） 有理数的减法运算 （顺口溜） 减正等于加负，减负等于加正。 有理数的乘法运算符号法则 同号得正异号负，一项为零积是零。（2） 有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算； （3）乘法：1、两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2、任何数与0相乘都得0。 除法：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。注意：1)、除以一个数，等于乘上这个数的倒数；2)、0不能做除数。变式练习按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为_55_（4）
13、常见运算1.乘 方、有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“an”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂。（1）几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）（2）零次幂 a0=_1_(a0)（3）负指数幂 a-p=1/ap（a0，p为整数）变式练习.下列等式正确的是()A. (1)31 B. (4)01C. (2)2×(2)326 D. (5)4÷(5)252【解析】B逐项分析如下：选项逐项分析正误A(1)311×B(4)01C(2)2×(2)3(2)23(2)5
14、2526×D(5)4÷(5)2(5)42(5)25252×2.算术平方根与平方根、 若x2=a（a0）,则x=.其中是算术平方根.立方根 若x3=a,则x=.变式练习：（1）计算：1-2-6=_-7_;(-3)2=_9_;2-1=_1/2_;0=_1_; (2)64的平方根是_±8_,算术平方根是_8_,立方根是_4_.（5）有理数的混合运算：1、进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同
15、时要注意灵活运用运算律简化运算。 2、进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算运算律：加法的交换律 a+b=b+a加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；存在数0，使 0+a=a+0=a；对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；乘法的交换律 ab=ba；乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；分配律 a(b+c)=ab+ac；在实数范围内，加减乘除（除数不为零）、乘方都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方。有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。变式练习1.计算：|3|(2016sin30°)0()1.解：原式312 变式练习2.计算：(1)0sin45°22.原式13×4 134 0. 变式练习3.计算：|4|(1)0()1.解：原式3412 6. 变式练习4.计算：2sin45°(1)021.解：原式2×1 1 . 变式练习5，计算：(2017)0|2|2sin60°.解：原式2122×2123.