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1、常用逻辑用语常用逻辑用语复习复习知识网络 常用逻辑常用逻辑用语用语命题及其关系命题及其关系简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词全称量词与存在量词全称量词与存在量词四种命题四种命题充分条件与必要条件充分条件与必要条件量词量词全称量词全称量词存在量词存在量词含有一个量词的否定含有一个量词的否定或或且且非非并集并集交集交集补集补集运算运算命题命题的形式：的形式：“若若P, P, 则则q”q”也可写成也可写成 “如果如果P,P,那么那么q”q” 的形的形式式也可写成也可写成 “只要只要P,P,就有就有q”q” 的形的形式式 通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的P叫做叫做命题的命题的条
2、件条件,q叫做叫做结论结论.pq“若若P, 则则q”为真命题，记做为真命题，记做:知识点梳理 1.1.命题命题条件的否定，记作条件的否定，记作“ ”。读作。读作“非非”。若若p 则则q逆否命题：逆否命题：原命题：原命题：逆命题：逆命题：否命题：否命题：若若q 则则p若若 p 则则 q若若 q 则则 p2. 2. 四种命题四种命题3 3、四种命题之间的关系、四种命题之间的关系原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题若若q则则p互逆互逆互互否否互互否否互逆互逆（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否
3、命题不一定为真。真。但其原命题、逆否命题不一定为真。 (1)原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。(2)原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否真。但其逆命题、否命题不一定为真。命题不一定为真。四、命题真假性判断四、命题真假性判断结论：结论：反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设
4、不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬结论结论反证法反证法3.3.充要条件充要条件pq定义：若 则p是q的充分条件，q是p的必要条件 认清条件和结论。认清条件和结论。 考察考察p q和和q p的真假。的真假。 利用利用判别。判别。 利用集合关系判别。利用集合关系判别。 构造逆否命题进行判别构造逆否命题进行判别pq则称条件 是条件 的充分不必要条件则称条件 是条件 的充分不必要条件pq则称条件 是条件 的必要不充分条件则称条件 是条件 的必要不充分条件pq则称条件 是条件 的充要条件则称条件 是条件 的充要条件pq则称条件 是条件 的既
5、充分也不必要条件则称条件 是条件 的既充分也不必要条件3pqqp）且且1pqqp）且且2pqqp）且且4pqqp）且且3 3）若）若A BA B且且B AB A，则甲是乙的则甲是乙的2) 若若A B且且B A，则甲是乙的，则甲是乙的1）若）若A B且且B A，则甲是乙的，则甲是乙的充分非必要条件充分非必要条件必要非充分条件必要非充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件一般情况下若条件甲为一般情况下若条件甲为，条件乙为，条件乙为4）若）若A=B ，则甲是乙的，则甲是乙的充分且必要条件。充分且必要条件。1.1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相
6、推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出. .2.2.搞清搞清A A是是B B的的充分条件充分条件与与A A是是B B的的充分非必要条件充分非必要条件之间之间的区别与联系；的区别与联系；A A是是B B的的必要条件必要条件与与A A是是B B的的必要非充分条件必要非充分条件之间之间的区别与联系的区别与联系、注意几种方法的灵活使用：、注意几种方法的灵活使用：定义法、集合法、逆否命题法定义法、集合法、逆否命题法4. 4. 逻辑联结词逻辑联结词 或、且、非或、且、非 一般地一般地,用逻辑联结词用逻辑联结词”且且”把命题把命题p和命题和命题q联结起来联结起来
7、.就得就得到一个新命题到一个新命题,记作记作 pq读作读作”p且且q”.pq规定规定:当当p,q都是真命题时都是真命题时, 是是真命题真命题;当当p,q两个命题中有一个命两个命题中有一个命题是假命题时题是假命题时, 是假命题是假命题.p qp q两真为真两真为真, ,一假则假一假则假. .pq 一般地一般地,用逻辑联结词用逻辑联结词”或或”把把命题命题p和命题和命题q联结起来联结起来.就得到一个就得到一个新命题新命题,记作记作 规定规定:当当p,q两个命题中有一个是真命题两个命题中有一个是真命题时时, 是真命题是真命题;当当p,q两个命题中都是两个命题中都是假命题时假命题时, 是假命题是假命题
8、.即：两假为假，即：两假为假，一真则真一真则真p qpqp q 一般地一般地,对一个命题对一个命题p全盘否定全盘否定,就得就得到一个新命题到一个新命题,记作记作 若若p是真命题是真命题,则则 必是假命题必是假命题;若若p是假命题是假命题,则则 必是真命题必是真命题.ppp读作读作”非非p”或或”p的否定的否定”“非非”命题对常见的几个正面词语的否定命题对常见的几个正面词语的否定. .正面正面 = = 是是 都是都是至多有至多有一个一个 至少有至少有一个一个任任意意的的所有所有的的否定否定不是不是 不都是不都是 至少有至少有两个两个没有一没有一个个某某个个某些某些1.41.4全称量词与全称量词与
9、 存在量词存在量词 短语短语”对所有的对所有的”对任意一对任意一个个”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做全称量词全称量词,并用符号并用符号 “ ”表示表示.含有全称含有全称量词的命题量词的命题,叫做全称命题叫做全称命题,常见的全称量词还有常见的全称量词还有:“一切一切”,”每一个每一个”,”任给任给”,“凡是凡是”等等. 短语短语”对所有的对所有的”对任意一对任意一个个”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做全称量词全称量词,并用符号并用符号 “ ”表示表示.含有全称含有全称量词的命题量词的命题,叫做叫做全称命题全称命题.符号符号 全称命题全称命题”对对M中任意一个中任意一个x有有p(x)成立成立”可
10、用符号简记为可用符号简记为读作读作”对任意对任意x属于属于M,有有p(x)成成立立”., ( )xM p x 通通 常常 ， 将将 含含 有有 变变 量量 x x的的 语语 句句 用用 p p( (x x) )、 q q( (x x) )、r r( (x x) )表表 示示 ， 变变 量量 x x的的 取取 值值 范范 围围 用用 M M表表 示示 。1.4.2 1.4.2 存在量词存在量词 短语短语”存在一个存在一个”至少有一个至少有一个”在在逻辑上通常叫做逻辑上通常叫做存在量词存在量词,并用符号并用符号” ”表示表示.含有存在量词的命题含有存在量词的命题,叫做叫做特称命题特称命题. 常见的
11、存在量词还有常见的存在量词还有”有些有些”有有一个一个”有的有的”对某个对某个”等等. 特称命题特称命题”存在存在M中的一个中的一个x,使使p(x)成成立立”可用符号简记为可用符号简记为读做读做”存在一个存在一个x,使使p(x)成立成立”., ( ).xM p x 1.4.3 1.4.3 含有一个量词含有一个量词 的命题的否定的命题的否定一般地一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论有下面的结论:全称命题全称命题p:全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题., ( ),xM P x 它的否定 p：xM， p（x）.从命题形式上看从命题形式上
12、看,这三个特称命题的否定都变这三个特称命题的否定都变成了全称命题成了全称命题.一般地一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论有下面的结论: x xM M, ,p p( (x x) )特称命题特称命题:p它的否定它的否定:p x xM M, , p p( (x x) )从命题形式上看从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变这三个特称命题的否定都变成了全称命题成了全称命题.一般地一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论有下面的结论: x xM M, ,p p( (x x) )特称命题特称命题:p特称命题的否
13、定是全称命题.例题选讲例题选讲例题选讲例题选讲1、分别写出由下列各种命题构成、分别写出由下列各种命题构成的的“p或或q”“p且且q”“非非p”形式的形式的复合命题：复合命题： （）（）p：平行四边形对角线相等：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分：平行四边形对角线互相平分（）（）p：10是自然数是自然数 q：10是偶数是偶数例例2分别指出下列复合命题的构成形分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：式及构成它的简单命题：（）（）x=2或或x=3是方程是方程x2 5x+6=0的根的根（）（） 既大于既大于3又是无理数又是无理数（）直角不等于（）直角不等于90 （）（）x+1
14、x 3（）垂直于弦的直径平分这条弦，（）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧例例3分别写出由下列各种命题构成的分别写出由下列各种命题构成的“p或或q”“p且且q”“非非p”形式的复合命题形式的复合命题,并判断并判断它们的真假：它们的真假：、p：末位数字是：末位数字是0的自然数能被的自然数能被5整整除除 q：5 x|x2+3x 10=0、p：四边都相等的四边形是正方形：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方：四个角都相等的四边形是正方形形、p：0 q：x|x2 3x 50 R、p:不等式不等式x2+2x 80解集是：解集是：x| 4x
15、2 q:不等式不等式x2+2x 80解集是：解集是：x| x 2 例例4把下列改写成把下列改写成“若若p则则q”的形的形式，并判断它们的真假：式，并判断它们的真假： （）实数的平方是非负数。（）实数的平方是非负数。 （）等底等高的两个三角形是全（）等底等高的两个三角形是全等三角形。等三角形。 （）被（）被6整除的数既被整除的数既被3整除又被整除又被2整除。整除。 （）弦的垂直平分线经过圆心，（）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。并平分弦所对的弧。 例例5写出下列命题的逆命题、否命写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：题、逆否命题，并分别判断真假： （）面积相等的两个三
16、角形是全（）面积相等的两个三角形是全等三角形。等三角形。 （）若（）若x=0则则xy=0。 （）当（）当cbc则则ab。 （）若（）若mnb2 q：ab 则则p是是q的（）的（）（）（）p：x|x 2或或x3 q：x|x2 x 60 则则p是是q的（）的（） （）（）p：a与与b都是奇数都是奇数 q：a+b是偶数是偶数 则则p是是q的（）的（） （）（）p：0m/ / q：方程：方程mx2 2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，有两个同号且不相等的实数根，则则p是是q的（）的（）例例8判断下列命题的真假：判断下列命题的真假： （）（）(x 2)(x+3)=0是是(x 2)2+(y+3)2=0
17、的充要条件。的充要条件。 （）（）x2=4x+5是是 xx2的必的必要条件。要条件。 (3)内错角相等是两直线平行的充分内错角相等是两直线平行的充分条件。条件。 (4)ab0是是 |a+b|x-1； （2）不存在实数）不存在实数x，x2+12x； （3）已知集合）已知集合A B，如果对于任，如果对于任意意的元素的元素xA，那么，那么xBB； （4）已知集合）已知集合A B，存在至少一，存在至少一个元素个元素xB，使得，使得xA；x例例1已知关于已知关于x的方程的方程 (1 a)x2+(a+2)x 4=0 a R求：求：1) 方程有两个正根的充要方程有两个正根的充要条件；条件；2) 方程至少有一个正根的充方程至少有一个正根的充要条件。要条件。