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1、1.5.3 1.5.3 定积分的概念定积分的概念（一）（一） 前面我们一起解决了两个问题： 1,求曲边梯形的面积2,求物体做变速运动的位移abxyo? A)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 实例实例1（求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）如图如图一、问题再现一、问题再现求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似取近似, 求和求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i个个小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积用高为用高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的的小矩形面积小矩形面
2、积f(x xi)D Dx近似之近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxxD1( )niiSfxxD (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban- 11211,iina xx xxxxb-V V 虽然是变速，但在很短一段间隔内，虽然是变速，但在很短一段间隔内，V V的变化不大，可的变化不
3、大，可近似看作是匀速运动问题。近似看作是匀速运动问题。V(T)AB设物体作直线运动设物体作直线运动, , 0)(tv且且 计算在这段时间内物体所经过的路程。计算在这段时间内物体所经过的路程。连续函数连续函数,)(tvv ,21TT是时间间隔是时间间隔已知速度已知速度上上 的的（求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）实例实例2路程路程=速度速度时间时间.匀速直线运动：匀速直线运动：t1T2T0t1t2t1-itit1-ntntix(1) 分割分割,21101TtttttTnii - -(2) 近似代替近似代替( )iiisvtxD D 11nniiiiissvtxD D(3) 求和求和(
4、4) 取极限取极限1lim( ).niinisvtxD21iTTtn-D ), 2 , 1(ni （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）实例实例2求求曲边梯形的面积曲边梯形的面积与计算与计算变速直线运动的路程变速直线运动的路程的共同特征：的共同特征：归纳提炼归纳提炼1.都通过“四部曲”分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限 来解决问题.()1nfxiiixD2.都归结为求同一种类型的和式 的极限问题.3.解决问题的思想方法相同在局部小范围内“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的思想. 我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分
5、定积分.由此我们可以给定积分的定义定积分的定义. 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义如果函数 在 上连续，用分点x1,x2,x3.xn即( )f x , a b , a b01inaxxxxb将区间 等分成n个小区间，1,iixx-在每个小区间 上任取一点 作和式(1,2, ),iinx11( )( )nniiiiibafxfnxx-D当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数（极限值）叫做函数 在 的定积分，n ( )f x , a b( ),baf x dx记作：即1( )lim( )nbianibaf x dxfnx-定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，
6、叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnx-ba即Oabxy)(xfy baIdxxf)(iinixfD D )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分区区间间,ba Sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及
7、x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为 sbav(t)dt。 定积分的定义：Oab( )vv ttv1( )lim( )ninibaf x dxfnx-ba即112001( )3Sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为x yOf(x)=x213S 1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt-根据定积分的定义左边图形的面积为1S=5/3 1.( )baf x dx是一个和式的极限，是一个确定的
8、常数 2.当 xfiniD)(1x的极限存在时，其极限值仅与被积函数 及积分区间 有关，而与区间 ba,的分法及 xi点的取法无关。 f(x)a,b注注意意3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 bababaduufdttfdxxf)()()( A.A.与区间及被积函数有关；与区间及被积函数有关；B.B.与区间无关与被积函数有关与区间无关与被积函数有关 C.C.与积分变量用何字母表示有关；与积分变量用何字母表示有关；D.D.与被积函数无关与被积函数无关 )(xfy 在在 ba,上连续，则定积分上连续，则定积分 badxxf)(的值的值4.4. 及及x x轴所围成轴所围成的曲边梯形的面积
9、，用定积分表示为的曲边梯形的面积，用定积分表示为 12 xy与直线与直线 3, 1xx1.1.由曲线由曲线dxx) 1(2312 2-2-2-2,2-2,20 0A A222) 1(dxx3.3.定积分定积分练习练习-223sin tdt中，积分上限是中，积分上限是 积分下限是积分下限是_ 2.2.积分区间是积分区间是 Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 三、定积分的几何意义三、定积分的几
10、何意义 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOab yf (x)上述曲边梯形面积的负值。 积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 -SS yf (x), 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf - - baAdxxf)(曲边梯形的面积的相反数曲边梯形的面积的相反数也就是：也就是：y)(xfy axbxxoAy)(xfyaxbxAxo 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根据定积分的几何意
11、义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx -2( )baSg x dx性质性质1 1：性质性质2 2：被积函数的常数因子可以提到积分号外( )(bbaakf(x)dx kf x dx k，为常数)四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()()(差分等于它们定积分的和函数的和（差）的定积三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)
12、x(f 性质性质3. 3. ( )( )( )( )bdcbaadcf x dxf x dxf x dxf x dxOx yabdab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cOx y理论迁移理论迁移 课本课本例例1 1 利用定积分定义，计算利用定积分定义，计算 . . 333332211123(1)4niinn n提示：解题步骤：分割；近似代替、作和；取极限dxx103分割分割化整为零化整为零近似近似代替，求和代替，求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定
13、积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 小小 结结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：定积分的几何意义：定积分的几何意义： 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 (或面积的相反数或面积的相反数)定积分的概念（二）定积分的概念（二） -题型题型课课定积分的定义定积分的定义: 几何意义几何意义:性质：性质：回顾：回顾：1( )lim( )nbianibaf x dxfnx-定积分等于曲边图形面积或面积的相反数可提性可提性加减分配率加减分配率区间可加性区间可加性 ( )( )( )( )bdcbaadcfx dxfx dxfx dxfx dx()(bbaakf(x)dxkfx dxk， 为 常 数 )dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(理论迁移理论迁移 课本课本例例1P47 1P47 利用定积分定义，计算利用定积分定义，计算 . . 333332211123(1)4niinn n提示：解题步骤：分割；近似代替、作和；取极限dxx103练习册：练习册：P45，46，47讲练讲练 作业布置作业布置