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1、1 1 1第二讲第二讲 矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2 2 2 skkjiksjisjijiijbabababac12211 1,2,;1,2,im jn并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC ()()ijijijAamsBbsnABmnCc 设设是是一一个个矩矩阵阵，是是一一个个矩矩阵阵，那那么么规规定定矩矩阵阵 与与矩矩阵阵 的的乘乘积积是是一一个个矩矩阵阵其其中中一、定义一、定义例如例如:222263422142 C22 16 32 816?3 3 3 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在. .注意
2、：注意： 要使要使C= =AB有意义，则有意义，则A的列数必须等于的列数必须等于B的行的行数，且矩阵数，且矩阵C的第的第i行第行第j列元素正好是列元素正好是A的第的第i行与行与B的的第第j列对应元素乘积之和。列对应元素乘积之和。4 4 4注意注意：1. 乘积矩阵的第乘积矩阵的第i行第行第j列元素等于左矩阵的第列元素等于左矩阵的第i行元行元素与右矩阵的第素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和.2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义乘积才有意义.3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的两个矩阵的乘积仍然是一个
3、矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数阵的列数.5 5 5. 5 671026 2 17 10 415003112101A 121113121430B又如又如 121113121430415003112101ABC6 6 6AB求求无无意意义义此此处处 BABAAB、求求3设设例例B204131,A1324解解AB19101244设设例例B0110,A1001解解,AB0110BA01107 7 7解：解：()nnnnnnn nbabababbbababaBAaaabbababa1 11 21122 12 221212
4、()nnbbABaaab1212)(2211nnbababa BAAB、求求设设例例5(),nAaaa12,nbbBb128 8 8BCAC BA 但但此处此处BCAC、求求6设设例例,ABC315100219113解：解： AC310013211313 BC51001391 13139 9 9方程组的矩阵表示：方程组的矩阵表示：111122133111213121222322112222333313233311322333a xa xa xaaaxaaaxa xa xa xxaaaa xa xa x对方程组对方程组111122133121122223323113223333(1)a xa x
5、a xba xa xa xba xa xa xb记记111213112122232233313233,aaaxbAaaaxxbbxbaaa则方程组则方程组(1)可表示为可表示为.Axb101010对方程组对方程组11112213312112222332(2)a xa xa xba xa xa xb记记 11112131221222323,xaaabAxxbaaabx则方程组则方程组(2)可表示为可表示为.Axb又如：又如：111111(4) EA=A ； AE=A.定理定理1 1. . 设设A、B、C、O、E在下面各式中相应的在下面各式中相应的乘法和加法运算中都能进行，乘法和加法运算中都能进行
6、，k为实数，则：为实数，则：(1) 结合律：结合律：A（BC）=（AB）C；(2) 分配律：分配律：A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA(3) OA=O ； AO=O 二、矩阵乘法运算规律二、矩阵乘法运算规律k（AB）=A（kB）注：单位矩阵注：单位矩阵E和数和数1的作用一样的作用一样。121212注意注意矩阵不满足交换律，矩阵不满足交换律，即：即：ABBA 则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故如：如：,A1111 1111B设设由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.131313 此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换
7、律，此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即,;ABOA OBO 1 1) ) 若若且且不不能能推推出出但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 若若AB=BA则称矩阵则称矩阵A、B乘积乘积可交换可交换.(),2A XYOAOXY.)若)若且且不不能能推推出出141414小结：小结：1. 1. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘数时，两个矩阵才能相乘. .2. 2. 矩阵相乘不满足交换律，即一般来说矩阵相乘不满足交换律，即一般来说.ABBA3. 3. 矩阵相乘不满足消去律，即一般来说矩阵相乘不满足消去律，即一般来说由由ABAC, 0 A且且不能推出不能推出.BC