《第七讲矩阵的秩线性方程组的解课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七讲矩阵的秩线性方程组的解课件.ppt（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第七讲矩阵的秩线性方程组的解第1页，此课件共46页哦1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.初等矩阵的结论初等矩阵的结论:(,)E i j()E i k(,()E i j k变换变换列列等行等行变成初等矩阵的同一初变成初等矩阵的同一初施行使单位矩阵施行使单位矩阵，等于对，等于对矩阵矩阵右乘右乘用初等矩阵左乘用初等矩阵左乘性质性质)()(1EAA在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵可可逆逆的的充充要要条条件件是是：存存定定理理：方方阵阵ANPPPA21 使使得得推论推论QPmBAnm及及可可逆逆矩矩阵阵阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在等等价价的的充充分分必必要要条条件件是
2、是与与矩矩阵阵 第2页，此课件共46页哦3.初等变换的应用初等变换的应用:),(EA),(1 AE一一系系列列初初等等行行变变换换（3）求）求XA=B),(BA(,)E X一一系系列列初初等等行行变变换换（1）求）求A-1（2）求）求AX=B(,)TTAB(,)TE X一一系系列列初初等等行行变变换换第3页，此课件共46页哦第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩一一.矩阵秩的概念矩阵秩的概念二二.矩阵秩的求解矩阵秩的求解第4页，此课件共46页哦.,数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行
3、行任任何何矩矩阵阵nmA.,12阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义定义kAkAknkmkkkAnm 一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩第5页，此课件共46页哦如：矩阵如：矩阵139301342396A 取第取第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素，126231 二阶子式是二阶子式是组成的组成的的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶
4、子式阶子式.A易见易见第6页，此课件共46页哦.)(0102等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义ARArADrDkA.)(子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm，对于对于TA).()(ARART 显有显有.个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 1最低阶为最低阶为 阶，阶，最高阶为最
5、高阶为 阶阶.min,m n第7页，此课件共46页哦注注:显然显然,中不等于零的子式的最中不等于零的子式的最A矩阵矩阵nm A的秩是的秩是高阶数高阶数.矩阵的秩具有下列性质矩阵的秩具有下列性质:(1)若矩阵若矩阵A中有某个中有某个s阶子式不为阶子式不为0,则则;)(sAr(2)若若A中所有中所有t阶子式全为阶子式全为0,则则;)(tAr(3)若若A为为nm 矩阵矩阵,则则;,min)(0nmAr ).()(TArAr(4)第8页，此课件共46页哦例例1求矩阵求矩阵解解在在A中中,又又 A的的3阶子式只有一个阶子式只有一个|,|A且且|A,0.2)(Ar的秩的秩.174532321 A5231.
6、0 174532321 11101110321 第9页，此课件共46页哦例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B,0400230312 而而.3)(BR第10页，此课件共46页哦.,梯形梯形等行变换把他变为行阶等行变换把他变为行阶总可经过有限次初总可经过有限次初因为对于任何矩阵因为对于任何矩阵nmA 问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？.,1 BRARBA 则则若若定理定理二、矩阵秩的求法第11页，此课件共46页哦初等变换求矩
7、阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩阵阵设设AAA,41461351021632305023 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解第12页，此课件共46页哦 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 第13页，此课件共46页哦 41461351021632305023 A 050233
8、510211340414614241rrrr 第14页，此课件共46页哦 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 第15页，此课件共46页哦 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR233rr 244rr 34rr 第16页，此课件共46页哦 .的的一一个个最最高高阶阶子子式式求求 A ,3)(AR .3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A阶子式共有阶子式共有的的 3A .403
9、534个个 CC阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为的的行行则则矩矩阵阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A 000400140161,3)(BR第17页，此课件共46页哦325326205 3256011205 611225 0.则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A故故A A中必有中必有3 3阶非零子式，计算阶非零子式，计算A A的前三行构成的子式的前三行构成的子式第18页，此课件共46页哦，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可
10、可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵第19页，此课件共46页哦例例设设An为为阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵,B为为mn 矩阵矩阵.试证试证:AB与与之积的秩等于之积的秩等于B的秩的秩,即即)()(BrABr 证证因为因为A非奇异非奇异,故可表示成若干初等矩阵之积故可表示成若干初等矩阵之积,21sPPPA),2,1(siPi 皆为初等矩阵皆为初等矩阵.,21BPPPABs 即即ABB是是经经s次初等行变换后得出的次初等行变换后得出的.因而因而).()(BrABr 证毕证毕.注注:由矩阵的秩及满秩矩阵的定义由矩阵的秩及满秩矩阵的定义,显然显然,若
11、一个若一个nA阶矩阵阶矩阵是满秩的是满秩的,则则.0|AA因而因而非奇异非奇异;反之亦然反之亦然.第20页，此课件共46页哦三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);定理定理 等价矩阵的秩相等等价矩阵的秩相等第21页，此课件共46页哦矩阵的秩矩阵的秩 最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数
12、数 行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数第22页，此课件共46页哦主要内容主要内容线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性线性方程组的解法线性方程组的解法 第三节第三节 线性方程组的解线性方程组的解第23页，此课件共46页哦)1(22112222212111212111 nnnmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa不不全全为为零零，如如果果右右端端常常数数项项nbbb,21)2(000221122221211212111 nnmmmnnnnxaxaxaxaxax
13、axaxaxa为为齐齐次次方方程程组组的的解解021 nxxx这组解称为零解这组解称为零解)(平平凡凡解解来来说说：对对于于)2(若不全为零：若不全为零：这组解称为非零解这组解称为非零解bAx 0 Ax用用矩矩阵阵分分别别表表示示：、)2()1(nxxx1 nbbb1 000则称为齐次方程组则称为齐次方程组解向量解向量组组则称为非齐次线性方程则称为非齐次线性方程)(非非平平凡凡解解全全为为零零，如如果果右右端端常常数数项项nbbb,21J线性方程组线性方程组A称为系数矩阵，称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵）称为增广矩阵第24页，此课件共46页哦1231312122xxxxxxx 111
14、110121102B 111101010011 21rr 13rr 123rrr100301010011 )(bA)()(ArBr 1233123112xxxxxxx 111100111112B 11110011000113rr )(bA)()(ArBr 有有解解无解无解123232311222xxxxxxx 111101110222B 100001110000322rr12rr)(bA)()(ArBr 惟一解惟一解有有解解103 x有有无无穷穷多多解解12301xxx 3 3 2r 3r 123311xxx 同解方程组为同解方程组为同解方程组为同解方程组为第25页，此课件共46页哦)1(22
15、112222212111212111 nnnmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa线性方程组的解有下列三种情况：线性方程组的解有下列三种情况：u无解无解w有无穷解有无穷解v有惟一解有惟一解nArBr)()(nArBr)()()()(ArBr)(为为未未知知量量的的个个数数n第26页，此课件共46页哦若线性方程组若线性方程组bAx ）增增广广矩矩阵阵为为（bA则则有有下下列列结结论论：有有唯唯一一解解bAxnARBR)()(有有无无穷穷多多个个解解bAxnARBR )()(定理：定理：B记为记为无无解解bAxARBR )()(u w v B)(bA：推推论论1则则：对于齐次线性
16、方程组对于齐次线性方程组0 Ax有有非非零零解解0)(AxnAR只只有有零零解解0)(AxnARu v 第27页，此课件共46页哦1231312000 xxxxxxx 111101110A 111010001 21rr 13rr 123rrr100010001()r A123121302020 xxxxxxx 111120102A 111011011 21rr 31rr()r A惟一解,零解惟一解,零解有有非非零零解解有有无无穷穷多多解解13232xxxx 3 3 2r 3r 123000 xxx 同解方程组为同解方程组为同解方程组为同解方程组为102011000 12rr 32rr 第28页
17、，此课件共46页哦J求解线性方程组的步骤：求解线性方程组的步骤：u写出增广矩阵写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 v用初等用初等行行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵变换化增广矩阵为阶梯形矩阵w根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解x如果有解，进一步化为行最简形矩阵如果有解，进一步化为行最简形矩阵y行最简形矩阵首非零元素行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量未知量为自由未知量z令自由未知量为令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）从而得到方
18、程组的通解（一般解）方程组的通解方程组的通解性性程组的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方第29页，此课件共46页哦例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 第30页，此课件共46页哦 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 ,0342,0352432
19、431xxxxxx第31页，此课件共46页哦 ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它写写成成通通常常的的参参数数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx12,.c c其中任意其中任意第32页，此课件共46页哦例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，322122351311321B13122rrrr
20、10450104501132123rr 200001045011321,3)(,2)(BRAR显显然然，故方程组无解故方程组无解第33页，此课件共46页哦例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换 2132111311101111B2131111100024100121 2rrrr 第34页，此课件共46页哦212321211011 200121 2.00000rrrrr ,2 BRAR由由于于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 424
21、42342242102120021xxxxxxxxxxxx2142,xcxc令，令，第35页，此课件共46页哦121234111 2100.021 2010 xxccxx 12,.c c其中任意其中任意得方程组的通解为得方程组的通解为第36页，此课件共46页哦例例 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有有无无穷穷多多个个解解有有解解取取何何值值时时问问 解解 21111111 B1321111111rr 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAB 第37页，此课件共46页哦21312223110110111rrrr 3222223110
22、110021rr 22110111001211 第38页，此课件共46页哦 ,11时时当当 000000001111B .,3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为其通解为 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx第39页，此课件共46页哦 ,12时时当当 22120011011 B这时又分两种情形：这时又分两种情形：:,3,2)1方方程程组组有有唯唯一一解解时时 BRAR .21,21,212321 xxx第40页，此课件共46页哦 .,故故方方程程组组无无解解BRAR,2)2时时 300063304211B第41页，此课件共46页哦例例6 设有线性方程
23、组设有线性方程组问问 取何值时，此方程组（取何值时，此方程组（1）有唯一解）有唯一解;（2）无解）无解;（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxxB 1113111011131rr 01113111111 12rr 13)1(rr 222030111 23rr )3)(1()3(0030111 时时当当0)3()1(方方程程组组有有惟惟一一解解()()3r Ar B 时时当当0)2()()r Ar B 方方程程组组无无解解3)3(当当()()23r Ar B 方方程程组组有有无无穷穷多多解
24、解解解：第42页，此课件共46页哦 000063303211rr 000021101101为为自自由由未未知知量量3xcx 令令：3故方程组的通解为：故方程组的通解为：11xc 22xc cx 3B3)3(当当时时且且0 ()()23r Ar B 方方程程组组有有无无穷穷多多解解123xxx 112101c 第43页，此课件共46页哦三、小结若线性方程组若线性方程组bAx ）增增广广矩矩阵阵为为（bA则则有有下下列列结结论论：有有唯唯一一解解bAxnARBR)()(有有无无穷穷多多个个解解bAxnARBR )()(定理：定理：B记为记为无无解解bAxARBR )()(u w v B：推推论论1
25、则则：对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组0 Ax有有非非零零解解0)(AxnAR只只有有零零解解0)(AxnARu v)(bA 第44页，此课件共46页哦J求解线性方程组的步骤：求解线性方程组的步骤：u写出增广矩阵写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 v用初等用初等行行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵变换化增广矩阵为阶梯形矩阵w根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解x如果有解，进一步化为行最简形矩阵如果有解，进一步化为行最简形矩阵y行最简形矩阵首非零元素行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量未知量为自由未知量z令自由未知量为令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）从而得到方程组的通解（一般解）第45页，此课件共46页哦作业习题三习题三 10.10.（1 1）14.14.（3 3）本节习题要求：本节习题要求：习题三习题三 基础题目：基础题目：7,8,10,13,147,8,10,13,14提高题目：提高题目：11,12,16,1711,12,16,17兴趣题目：兴趣题目：9,15,18,19,20,219,15,18,19,20,21第46页，此课件共46页哦