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1、+- 2018年全国高考理科数学分类汇编函数与导数1.（北京）能说明“若f（x）f（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是f（x）=sinx【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）f（0）对任意的x（0，2都成立，当x0，）上为增函数，在（，2为减函数，故答案为：f（x）=sinx2. （北京）设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为f（x）=ax2
2、（2a+1）x+2ex由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（x）的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若a=0则x2时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a=，则f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a0，
3、则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+），（，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（，+）3. （江苏）函数f（x）=的定义域为2，+）【解答】解：由题意得：1，解得：x2，函数f（x）的定义域是2，+）故答案为：2，+）4. （江苏）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（xR），且在区间（2，2上，f（x）=，则f（f（15）的值为【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（161）=f（1）=|1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15）=，故答案为：5. （江苏）若函数f（x）=2x3ax2+1（aR
4、）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为3【解答】解：函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）=2x（3xa）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（x）=2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又f（x）只有一个零点，f（）=+1=0，解得a=3，f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x1，1，f（x）0的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）
5、上递减；f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=4+1=36. （江苏）记f（x），g（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足f（x0）=g（x0）且f（x0）=g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax21与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=x2+a，g（x）=对任意a0，判断是否存在b0，使函数
6、f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x2不存在“S点”；（2）f（x）=2ax，g（x）=，x0，由f（x）=g（x）得=2ax，得x=，f（）=g（）=lna2，得a=；（3）f（x）=2x，g（x）=，（x0），由f（x0）=g（x0），得b=0，得0x01，由f（x0）=g（x0），得x02+a=，得a=x02，令h（x）=x2a=，（a0，0x1），设m（x）=x3+3x2+axa，（a0，0x1），则m（0）=a0，m（1）=20，得m（0）m（
7、1）0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S”点7. （全国1卷）设函数f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）DAy=2xBy=xCy=2xDy=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D8. （全国1卷）已
8、知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）CA1，0）B0，+）C1，+）D1，+）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=xa，作出函数f（x）和y=xa的图象如图：当直线y=xa的截距a1，即a1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是1，+），故选：C9. （全国1卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是【解答】解：由题意可得T=2是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在0，2）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可
9、得f（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x1）=2（2cosx1）（cosx+1），令f（x）=0可解得cosx=或cosx=1，可得此时x=，或 ；y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，或 和边界点x=0中取到，计算可得f（ ）=，f（）=0，f（ ）=，f（0）=0，函数的最小值为，故答案为：10. （全国1卷）已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）=1+=，设g（x）=x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0
10、恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式=a24，当0a4时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递减 递增递减综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x2=1，则f（x1）f（x2）=（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则=2+，则问题转为证明1即可，即证明lnx
11、1lnx2x1x2，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求导得h（x）=1=0，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，则a2成立11.（全国2卷）函数f（x）=的图象大致为（）BABCD【解答】解：函数f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e0，排除D当x+时，f（x）+，排除C，故选：B12.（全国2卷）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（
12、）CA50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则f（x+2）=f（x），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C13.（全国2卷）曲线y=2ln（x+1）在
13、点（0，0）处的切线方程为y=2x【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当x=0时，y=2，曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x故答案为：y=2x14.（全国2卷）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=exx2则f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，则g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2当（0，ln2）时，h（x）0，当（ln2，+）时，h（x）0，h（x）h（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，
14、f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一个零点方程exax2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=15.（全国3卷）函数y=x4+x2+2的图象大致为（）DABCD【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B函数的导数f（x）=4x3+2x=2x（2x21），由f（x）0得2x（2x21）0，得x或0x，此时函
15、数单调递增，排除C，故选：D16.（全国3卷）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）BAa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b【解答】解：a=log0.20.3=，b=log20.3=，=，aba+b0故选：B17.（全国3卷）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a=3【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y=aex+（ax+1）ex，曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得a=3故答案为：318.（全国3卷）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，证明：当1x0时，
16、f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上单调递增，又f（0）=0当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2
17、a+1）ln（x+1）当a0，x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意当a0时，h（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h（x）单调递减，令h（0）=0，解得a=当1x0时，h（x）0，当x0时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又h（0）=0，当1x0时，h（x）0，即f（x）0，当x0时，h（x）0，即f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0是f（x）的极大值点，符合题意；若
18、a0，则h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0在（0，+）上有唯一一个零点，设为x0，当0xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若a，则h（0）=1+6a0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0在（1，0）上有唯一一个零点，设为x1，当x1x0时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意综上，a=19. （上海）设常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）若f（x）的反
19、函数的图象经过点（3，1），则a=7【解答】解：常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）f（x）的反函数的图象经过点（3，1），函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），log2（1+a）=3，解得a=7故答案为：720.（上海）已知2，1，1，2，3，若幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，则=1【解答】解：2，1，1，2，3，幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，a是奇数，且a0，a=1故答案为：121.（上海）已知常数a0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）若2p+q=36pq，则a=6【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，）
20、，Q（q，）则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a0，故：a=6故答案为：622.（上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）BABCD0【解答】解：设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos=，故选：B23.（上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中x%（0
21、x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义【解答】解；（1）由题意知，当30x100时，f（x）=2x+9040，即x265x+9000，解得x20或x45，x（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0x30时，g（x）=30x%+40（1x%）=40；当30x100时，g（x）=
22、（2x+90）x%+40（1x%）=x+58；g（x）=；当0x32.5时，g（x）单调递减；当32.5x100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少24. （天津）已知a=log2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）DAabcBbacCcbaDcab【解答】解：a=log2e1，0b=ln21，c=log=log23log2e=a，则a，b，c的大小关系cab，故选：D25.（天津） 已知a0，函数f（x）=若关于x的方程f（x）
23、=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）【解答】解：当x0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=x2，得a=，设g（x）=，则g（x）=，由g（x）0得2x1或1x0，此时递增，由g（x）0得x2，此时递减，即当x=2时，g（x）取得极小值为g（2）=4，当x0时，由f（x）=ax得x2+2ax2a=ax，得x2ax+2a=0，得a（x2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x2时，a=设h（x）=，则h（x）=，由h（x）0得x4，此时递增，由h（x）0得0x2或2x4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f
24、（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4a8，故答案为：（4，8）26. （天津）已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a1（）求函数h（x）=f（x）xlna的单调区间；（）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（）证明当ae时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线【解答】（）解：由已知，h（x）=axxlna，有h（x）=axlnalna，令h（x）=0，解得x=0由a1，可知当x变化时，h（x），h（x）的变化情况如下表： x （，0） 0 （0，+）
25、 h（x） 0+ h（x） 极小值函数h（x）的单调减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）；（）证明：由f（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线的斜率为lna由g（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0，x1+g（x2）=；（）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：要证明当a时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a时，存在x1（，+
26、），x2（0，+）使得l1与l2重合，即只需证明当a时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当a时，关于x1 的方程存在实数解设函数u（x）=，既要证明当a时，函数y=u（x）存在零点u（x）=1（lna）2xax，可知x（，0）时，u（x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又u（0）=10，u=0，故存在唯一的x0，且x00，使得u（x0）=0，即由此可得，u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0），故lnlna1=下面证明存在实数t，使得u（t）0，由（）可得ax1+xlna，当时，有u（x）=存在实数t，使得u（t）0因此，当a
27、时，存在x1（，+），使得u（x1）=0当a时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线27. （浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）DABCD【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B当x=时，函数的值也为0，故排除C故选：D28. （浙江）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=8，y=11【解答】解：，当z=81时，化为：，解得 x=8，y=11
28、故答案为：8；1129.（浙江）已知R，函数f（x）=，当=2时，不等式f（x）0的解集是x|1x4若函数f（x）恰有2个零点，则的取值范围是（1，3【解答】解：当=2时函数f（x）=，显然x2时，不等式x40的解集：x|2x4；x2时，不等式f（x）0化为：x24x+30，解得1x2，综上，不等式的解集为：x|1x4函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则（1，3故答案为：x|1x4；（1，330.（浙江）已知函数f（x）=lnx（）若f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若a34ln2，证明：对于
29、任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点【解答】证明：（）函数f（x）=lnx，x0，f（x）=，f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，=，x1x2，+=，由基本不等式得：=，x1x2，x1x2256，由题意得f（x1）+f（x2）=ln（x1x2），设g（x）=，则，列表讨论： x （0，16） 16 （16，+） g（x） 0+ g（x） 24ln2g（x）在256，+）上单调递增，g（x1x2）g（256）=88ln2，f（x1）+f（x2）88ln2（）令m=e（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）knan（k）n（k）0，存在x0（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的aR及k（0，+），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h（x）=，其中g（x）=lnx，由（1）知g（x）g（16），又a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，h（x）0，即函数h（x）在（0，+）上单调递减，方程f（x）kxa=0至多有一个实根，综上，a34ln2时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点