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1、第三章圆的综合解答题同步练习1如图，四边形ABCD是正方形，E是AD边上的一个动点（有与A、D重合），以E为圆心，EA为半径的E交CE于G点，CF与E切于F点AD4，AEx，CF2y（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）是否存在x的值，使得FG把CEF的面积分成1：2两部分？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由2如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，点A作ADBO交BO的延长线于点D，且AODBAD（1）求证：AB为O的切线；（2）若BC6，tanABC，求O的半径和AD的长3已知锐角ABC内接于圆O，D为弧AC上一点，分别连接A
2、D、BD、CD，且ACB90BAD（1）如图1，求证：ABAD；（2）如图2，在CD延长线上取点E，连接AE，使AEAD，过E作EF垂直BD的延长线于点F，过C作CGEC交EF延长线于点G，设圆O半径为r，求证：EG2r；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，若ACBC，DE4CD，当ACD的面积为10时，求DG的长度4如图1是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形已知量角器所在的半圆O的直径DE与AB之间的距离为1，DE4，AB8，点N为半圆O上的一个动点，连结AN交半圆或直径DE于点M（1）当AN经过圆心O时，求AN的长；（2）如图2，若N为量角器上表示刻度为90的点，求M
3、ON的周长；（3）当时，求MON的面积5如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OEBC于点E，交O于点F，AF与BC交于点M，点D为OF延长线上一点，且ODBAFC（1）求证：BD是O的切线；（2）求证：CF2FMFA；（3）若AB10，sinA，求BM的长6如图，在ABC中，ABBC，ABC90，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交M于点G，连接BE（1）求证：点B在M上（2）当点D移动到使CDBE时，求BC：BD的值（3）当点D到移动到使30时，求证：AE2+CF2EF27四边形ABCD内接于O，连接AC、BD，2BDC+ADB180（1
4、）如图1，求证：ACBC；（2）如图2，E为O上一点，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若BFCBDC+ABD，求证：AT平分DAB；（3）在（2）的条件下，DTTE，AD8，BD12，求DE的长8如图，RtABC中，ACCB，点E，F分别是AC，BC上的点，CEF的外接圆交AB于点Q，D（1）如图1，若点D为AB的中点，求证：DEFB；（2）在（1）问的条件下：如图2，连结CD，交EF于H，AC4，若EHD为等腰三角形，求CF的长度如图2，AED与ECF的面积之比是3：4，且ED3，求CED与ECF的面积之比（直接写出答案）（3）如图3，连接CQ，CD，若AE+BFEF，求证：
5、QCD459如图1，四边形ABCD内接于圆O，BDC+2ADB180（1）求证：ABAC；（2）如图2，连接OB，ABODBC，求证：BDAC；（3）在（2）的条件下，如图3，在BD边取点F，连接AF，使DF2CD，若FAD45，AB，求半径OB的长度10如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，E在BC边上，且BE2，连结AE，P是AB边上的一点，以PE为直径的O交AE于另一点F（1）若F是AE的中点，求证：EPB2AEP（2）连结BF，若BFBE，求AP的长（3）当O与矩形ABCD的某一边所在的直线相切时，求所有满足要求的AP的长（4）将线段PO绕点P逆时针旋转90得到PO，当点O落在BF的
6、延长线上时，直接写出O的半径11已知：O中，AB是O直径，点C、E在O上，CDAB于D，连接CA、CB、CE（1）如图（1）求证：EDCB；（2）如图（2）F是CE上一点，连接DF，若CFD2CBA，求证：F是CE中点；（3）如图（3）在（2）问条件下，延长DF交BE于G，若CDEG，CFFE10，求线段DG的长度12已知，ABC内接于O，弦ADBC于点E，CAD2BAD（1）如图1，过点O作OPAD于点P，ONAC于点N，求证：OPON；（2）如图2，连接BD，过点O作OHBC于点H，求证：BD2EH；（3）如图3，在BE上取点M，使CMCA，在CA的延长线上取点F，连接FM，在CE上取点K
7、，连接FK交AB于点G，使BGK2MFK，BDA+MFKGKB，若FM，BD，求O直径的长13如图1，O中，AB为直径，H是AO中点，过H作AO垂线交O于C，连接AC（1）求证：AC2AH；（2）如图2，点D在半O上，连接AD，过C作AD的平行线交O于E，连接BE，延长BE与AD直线交于P，求证：P2ACH；（3）在（2）条件下，如图3，连接PO，M在AD上，若CMPO7，AM5，求MD的长14如图，平面直角坐标系中，函数y的图象与x、y轴分别交于点A、B以AB为直径作M（1）求AB的长；（2）点D是M上任意一点，且点D在直线AB上方，过点D作DHAB，垂足为H，连接BD当BDH中有一个角等于
8、BAO两倍时，求点D的坐标；当DBH45时，求点D的坐标15AB是O直径，点C、D依次在圆周上，连接AC、OC、OD，且ACOD（1）如图1，求证：D为的中点；（2）如图2，连接AD，交OC于点E，OD2CE，求证：AOC为等边三角形；（3）如图3，在（2）的条件下，点P在O外，PAAB，PFAC于点F，点G在AD上，AGPF，H为BP的中点，连接GH，若CF：GH：，AP8，求O的半径长16问题提出（1）如图1，在ABC中，A75，C60，AC6，求ABC的外接圆半径R的值；问题探究（2）如图2，在ABC中，BAC60，C45，AC8，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作O交边AB、
9、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，BAD90，BCD30，ABAD，BC+CD12，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）CF与E切于F点，EFCF，AEx，AD4，DE4x，四边形ABCD是正方形，CDAD4，ADC90，CE2DE2+CD2（4x）2+16，在RtEFC中，CF2CE2EF2，y（4x）2+16x2328x（0x4）；（2）FG把CEF的面积分成1：2两部分，EGEC，或EGEC，x，或xx，或x0x4，x，或x2证明：（1）过点O作OEAB于点E，ADBO于点D
10、，D90，BAD+ABD90，AOD+OAD90，AODBAD，ABDOAD，又BC为O的切线，ACBC，BOCD90，BOCAOD，OBCOADABD，OEOC，OEAB，AB是O的切线；（2）ABC+BAC90EOA+BAC90，EOAABC，tanABC、BC6，ACBCtanABC8，则AB10，由（1）知BEBC6，AE4，tanEOAtanABC，OE3，ABDOBC，DACB90，ABDOBC，即3（1）证明：如图1中，ADBACB，ACB90BAD，ADB90BAD，ABD180BAD（90BAD）90BAD，ABDADB，ABAD（2）证明：如图2中，连接BE交AC于L，连接
11、AO，延长AO交BD于J，交BE于T，连接CO，延长CO交O于K，连接BKAEAD，ADEAED，ADE+ADC180，ADC+ABC180，ADEABCAED，ABAD，ACBACE，AJBD，ACAC，ACBACE（AAS），CBCE，ABAE，ACBE，ALBAJB90，ATLBTJ，TALTBJ，ABADAE，BEDBADBAJ，EDFDBE+DEB，EDFBAC，KBAC，KEDF，CGCEEGBF，DFEGCG90，DEF+EDF90，DEF+G90，GEDFK，CBKGCE90，CBKECG（AAS），EGCK2r，（3）解：如图3中，在图2的基础上作AHDE于HDE4CD，可以
12、假设CDk，DE4k，则CECBCA5k，AEAD，AHDE，DHEH2k，CHCD+DH3k，AH4k，AD2k，SACDCDAHk4k10，k（负根已经舍弃），CD，ACBCEC5，ADAB10，设CK交AB于J，OAOCr，则BJAJ5，CJ10，在RtAOJ中，则有r252+（10r）2，解得r，EG2r，CG，DG4解：（1）如图1中，连接FO延长FO交AB于H则FHAB，FHDEFAFB，FHAB，AHHB4，在RtAOH中，OH1，AH4，OA，ANOA+ON+2（2）如图2中，连接OM，作OJMN在RtAHN中，AH4，NHON+OH2+13，AN5，由OJNAHN，可得，JN
13、，OJMN，JMJN，MN2JN，MON的周长2+2+（3）如图31中，连接AO，延长AO交O于K，作OJMN于J，连接OM，ON设AMMNx，OJy，则有，解得，MN，OJ，SMONMNOJ如图32中，连接ON，作NJAB于J交DE于KAMMN，MKAJ，NKJKOH1，NJAB，DEAB，NKOE，sinNOK，OKNK，四边形OKJH是矩形，HJOK，AJ4+，MKAJ2+，OMMKOK2，SMONOMNK（2）11，综上所述，满足条件的MON的面积为或15（1）证明：ACAC，AFCABC，又AFCODB，ABCODB，OEBC，BED90，ODB+EBD90，ABC+EBD90，OB
14、BD，BD是O的切线（2）连接ACOFBC，BFFC，BCFFAC，又CFMAFC，FCMFAC，CF2FMFA（3）连接BFAB是O的直径，AFB90，BF106，BFFC，FCBF6，CF2FMFA，62FM8，FM，BM6（1）证明：CD为M的直径，CMDMCDABC90，BMCMDMCD，点B在M上（2）解：连接DECD为M的直径，CDBEDEC90，DEA90，BDDE，ABBC，ABC90，AACB45，ADE180AAED45，ADEA45，AEDE，AEDEDB，ADBD，ABAD+BD（+1）BD，BCAB（+1）BD，BC：BD+1（3）证明：连接EMEMB2ECB， 由（
15、2）知ECB45，EMB90，EMF90，EM2+MF2EF2，弧CG等于30，CMG30，DME60，DMEM，DME是等边三角形，DEEMCDE60，由（2）知AEDE，AEME，AEC90CDE60，DCE30，DCECMG30，CFMF，EM2+MF2EF2，AE2+CF2EF27（1）证明：如图1中，四边形ABCD内接于O，ADC+ABC180，即ADB+BDC+ABC180，2BDC+ADB180，BACBDC，BACBDC，BACABC，ACBC（2）证明：如图2中，作TRTHTLTHAD于H，TRBD于R，TLAB于LBFCBAC+ABF，BACBDC，BFCBDC+ABF，B
16、FCBDC+ABD，ABFABD，BT平分ABD，ADEBDE，DT平分ADB，THAD于H，TRBD于R，TLAB于LTRTL，TRTH，TLTH，AT平分DAB（3）解：如图3中，连接EA，EB，作TRTHTLTHAD于H，TRBD于R，TLAB于L，AQBD于Q，EABEDBEDA，AEBE，TAEEAB+TAB，ATEEDA+DAT，TAEATE，AETE，DTTE，AEDT，AGEDHT90，EAGTDH（AAS），AGDH，AEEB，EGAB，AGBG，2DHAB，RtTDRRtTDH（HL），DHDR，同理可得ALAH，BRBL，设DHx，则AB2x，AD8，DB12，ALAH8
17、x，BR12x，AB2x8x+12x，x5，DH5，AB10，设TRTLTHh，DTm，SADBBDAQADh+ABh+DBh，12AQ（8+12+10）h，AQh，sinBDEsinADE，可得，sinAEDsinABD，可得，解得m4或4（舍弃），DE2m88（1）证明：连结CD在RtABC中，ACCB，AB45，CDDB，DCBB45，DEFDCB，DEFB（2）解：如图21中，当EHHD，可证四边形CFDE是正方形CF2如图22中，当EHED时，EDHEHD67.5，EDFCDB90，EDHBDF67.5，BFD1804567.567.5，BDFBFD，BDBF，ACBC4，ACB90
18、，AB4，BDBF2，CF42如图23中，当DAFH时，点E于A重合，点H与C重合，CF0综上所述，满足条件的CF的值为0或2或42如图24中，作DMAC于M，DNBC于N，连接DFCACB，ADDB，ACB90，CDAB，ACDBCD45，CDDADBDEDF，ADCEDF90，ADECDF，ADECDF（SAS），AECF，SADESCDF，DC平分ACB，DMAC，DNBC，DMDN，可得四边形DMCN是正方形，DMCMCNDN，可以假设DN3k，EC4k，则ACBC6k，AECF2k，（3）证明：连接OD，OQ，作ERAB，OHAB，FKABEROHFK，EOOF，RHHKOH（ER+
19、FK），ERAE，FKFB，OH（AE+BF）EFOEOQ，OQDODQ45，QOD90，QCD459（1）证明：如图1中，四边形ABCD是圆内接四边形，ABC+ADC180，ADCADB+BDC，ABC+ADB+BDC180，BDC+2ADB180，ABCADB，ADBACB，ABCACB，ABAC（2）如图2中，连接AO并延长交BC于HABAC，AHBC，BAHCAH，OAOB，BAOABO，ABOCBD，BAOCBDCAH，CAH+ACB90，CBD+BCE90，BEC90，BDAC（3）如图3中，延长AO交O于H，连接BH，DH，FH，HC，延长HC交AD于R，作FTAD于T设OAOB
20、r，CDa，DTy由（2）可知，BAHCAHCAD，BHCHCDa，AH是直径，ADHHDRACH90，CDCH，CHDCDH，CHD+R90，CDH+CDR90，CDCRa，DFHR2a，AEFACH90，DFHR，四边形DFHR是平行四边形，FHDR，FHAR，FTDH，四边形FHDT是平行四边形，FTD90，四边形FHDT是矩形，FHDTDRy，FAT45，ATTFDH2r2y，在RtACH中，则有4r290+a2，在RtDHR中，则有（2r2y）2+y24a2在RtADH中，则有4r2（2ry）2+4a2y2由可得4r28ry+5y24a2由可得a2ry代入得到：4r212ry+5y2
21、0，解得xr或xr（舍弃），4r290+，r225，r0，r5，OB的长为510（1）证明：连结PF，如图1所示：PE是O的直径，PFAE，F是AE的中点，PF垂直平分AE，PAPE，EAPAEP，EPB2AEP；（2）解：如图2所示：BFBE，BEFBFEBPE，即tanBPEtanBEA，BP1，APABBP413；（3）解：由O与BC不相切，所以满足条件的情形共三种：当O与AB相切时，如图3所示：P与B重合，AP4；当O与CD相切时，过O作GHAB交CD于点G，交AB于点H，如图4所示：OHBE1，OG2，即PE4，BP2，AP42；当O与AD相切时，过点O作GHAD于点G，交BC于点H
22、，如图5所示：设OHx，则PE82x，BP2x，在RtPBE中，（2x）2+22（82x）2，解得：x，AP42x42；综上所述，所有满足要求的AP的长为：4或42或；（4）如图6中，当点P是 AB的中点时，将线段PO绕点P逆时针旋转90得到PO，可证点O落在BF的延长线上满足条件理由：PAPBBE2，PBE90，EPBPEB45，PFBPEB45，POPO，OPBOPA45，PBBA，OPBOPA（SAS），AOPPOB90，OAPOPA45，AOPAFP90，A，P，F，O四点共圆，OFP180OAP135，OFP+PFB180，B，F，O共线，PEPB2，O的半径为11（1）证明：如图（
23、1）所示：AB是O直径，ACB90，ACD+DCB90，CDAB，ADC90，DAC+ACD90，DACDCB，DACE，EDCB；（2）证明：延长CD交O于M，连接EM、OC，如图（2）所示：CDAB，CDMD，AOCCEM，OCOB，CBAOCB，AOCCBA+OCB2CBA，CFD2CBA，CEMCFD，DFME，CDMD，DF是CME的中位线，CFEF，即F是CE中点；（3）解：作EHCM交DG于H，如图（3）所示：则DCFHEF，在EFH和CFD中，EFHCFD（ASA），EHCD，ABCM，CDDM，CDEG，DMHE，四边形DMEH是平行四边形，四边形DMEG是等腰梯形，DMEM
24、EG，DME+EBC180，MEC+BCM180，MCBEBC，MEB+CBE180，BCEM，四边形BCME是等腰梯形，作MTBC于T，ENBC于N，连接BM则MTCENB（AAS），BMEC20，CTBN，在RtBDM中，BD，BDCM，BCBM20，设BNCTx，则有（2）2x2202（20x）2，解得x3，EMNTBC2BN20614，DGBCEM，DCDM，BGGE，DG（BC+EM）（20+14）1712（1）证明：如图1中，连接AO，延长AO交O 于M，连接CMAM是直径，ACM90，M+MAC90，ADBC，AEB90，B+BAD90，BM，BADCAM，DAC2BAD，DAM
25、CAM，OPAD，ONAC，OPON（2）证明：作ONAD于N连接AO，延长AO交O于M，连接DMBADDAM，BDDM，OHBC，ADBC，ONAD，OHEHENONE90，四边形ONEH是矩形，EHON，ONAD，ANND，AOOM，DM2ON2EH，BD2EH（3）连接OA，OC，OD，作OHAD于H设DEx，AEyOAOCOD，OACODAOCA，AODAOC（AAS），ACADx+y，BDA+MFKGKB，GKBKFC+ACK，ACKADB，MFKKFC，BGKAGF2MFK，BAC3CAOGFA+AGF3GFA，CAOCFK，CAECFM，FMAD，ADBC，FMBC，AEFM，C
26、Ey（x+y），BDEACE，DEBCEA，DEBCEA，CEx（x+y），y（x+y）x（x+y），3x2y，设x2k，y3k，则ACADCM5k，AE3k，EC4k，EMCMCEk，AE，AD，OHAD，AHDH，OHBD，OA，O的直径为13（1）证明：连接OCAHOH，CHOC，CACO，OAOC，OAOCAC，A60，AHC90，ACH30，AC2CH（2）证明：CEBCAB60，CEAP，PCEB60，ACH30，P2ACH（3）解：如图3中，连接AE，DE，OM，EM，OE，OD，作OKBE于K，CJDA交DA的延长线于J，PTOM交OM的延长线于TPACE，CAM+ACE180
27、，AECEADOEOB，OEBOBEACE，ACDE，ACOAODOE，ODE是等边三角形，OEP+OEB180，ACMOEP，CAJOEK，CAOE，JOKE90，CJAOKE（AAS），CJOK，AJEK，JPKO，CMOP，RtCJMRtOKP（HL），MJPK，AMPE5，AB是直径，AEBAEP90，APE60，PAE30，PA2PE10，AM5，AMPM5，EMPMAMPE，EPM是等边三角形，PEMDEO60，PEDMEO，EPEM，EDEO，PEDMEO（SAS），PDOM，EMOEPD60，PME60，PMT180606060，MPT30TMPM，PTTM，在RtOPT中，O
28、T，OMOTTM3，PDOM3，DMPMPD53214解：（1）在y，当x0时，y2；当y0时，x2可得点A（2，B（0，2），所以OB2，OA2（2分），根据勾股定理得，AB4（2）连接OM因为OM为RtAOB斜边AB上中线，所以OMAMBMAB2OB，所以OBM为等边三角形，则OBM60，所以BAO301）如图1中，当DBH2BAO60时，连接DM，并延长交AO于点NMDMB，DBM60，DMB是等边三角形，AMNDMB60，MNA180306090，MNAO，即DNAO，DMBMAM2，MNAM1，DN3，OND（，3）2）如图2中，当BDH2BAO60时，易证明四边形BDAO为矩形，可
29、得，DABO2，BDOA2D（2）如图3中，当DBH45时，易得DAB45，则AHDHBH，所以M、H重合作DCy轴于C，DEx轴于E，ADBEDC90，ADEBDC，DEADCB90，DADB，DCBDEA（AAS），CBAE，设CBAEa，则DCOE2，BD，由勾股定理得，DC2+CB2DB2，解得a，当a时，OCDE3+4，不符合题意a时，OCOE，D（）15（1）证明：如图1中，OAOC，AC，ODAC，BODA，DOCC，DOBCOD，（2）证明：如图2中，OD2CE，OCOD，ECOE，ODAC，CDOE，AECDEO，AECDEO（ASA），ACOD，OAOCOD，ACOAOC，
30、AOC是等边三角形（3）解：如图3中，连接PG，延长GH交BD的延长线于M设OAOBrAOC是等边三角形，ECEO，EACEAO30，AB是直径，ADBGDM90，BDABr，ADr，PAAB，CAO60，PAF906030，PFAF，F90，APF60，APFPAG，PAAP，PFAG，APFPAG（SAS），PGAFPAcos304，PFAGPA4，FPGA90，CF：GH：，可以假设CFk，GHk，r+k4，PGDBDA90，PGBM，MPGH，PHHB，PHGBHM，PHGBHM（AAS），BMPG4，GHHMk，在RtGDM中，则有（r4）2+（4r）2（2k）2由消去k得到：r21
31、1r+720，解得r3或8（舍弃），O的半径长为316解：（1）如图1中，作ABC的外接圆，连接OA，OCB180BACACB180756045，又AOC2B，AOC90，AC6，OAOC6，ABC的外接圆的R为6（2）如图2中，作AHBC于HAC8，C45，AHACsin4588，BAC60，当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，如图21中，当ADBC时，作OHEF于H，连接OE，OFEOF2BAC120，OEOF，OHEF，EHHF，OEFOFE30，EHOFcos3046，EF2EH12，EF的最小值为12（3）如图3中，将ADC绕点A顺时针旋转90得到ABE，连接EC，作EHCB交CB的延长线于H，设BECDxAEAC，CAE90，ECAC，AECACE45，EC的值最小时，AC的值最小，BCDACB+ACDACB+AEB30，BEC+BCE60，EBC120，EBH60，BEH30，BHx，EHx，CD+BC12，CDx，BC12xEC2EH2+CH2（x）2+（）2x212x+432，a10，当x6时，EC的长最小，此时EC18，ACEC9，AC的最小值为9