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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲_两条直线的位置关系知识图谱错题回顾顾题回顾垂线知识精讲一垂直与垂线定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足二垂线的性质1同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短简称：垂线段最短三垂线的画法1过直线上一点画已知直线的垂线；2过直线外一点画已知直线的垂线四点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离三点剖析一考点：垂直，垂线段
2、，角度的计算二重难点：角度的计算三易错点：1垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度；2画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；3过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上题模精讲题模一：垂直例1.1.1两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（ ）A有两个角相等B有两对角相等C有三个角相等D有四对邻补角【答案】C【解析】两条直线相交形成两对对顶角，四对邻补角，三个角相等，说明一组对顶角和邻补角相等，所以可以判定垂直例1.1.2过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据垂直的
3、定义可知C是正确的题模二：垂线段例1.2.1直线l外一点P与直线l上三点的所连线段的长分别为4cm，5cm，6cm，那么点P到直线l的距离是（ ）A小于4cmB5cmC不超过4cmD大于6cm【答案】C【解析】该题考查的是点到直线距离直线外一点和直线的连线中，垂线段最短，点到直线的垂线段是点到直线的距离，因此点P到直线l的距离一定不会超过该题的答案是C例1.2.2如图，在同一平面内，垂足为，则与重合的理由是（ ）A两点确定一条直线B垂线段最短C已知直线的垂线只有一条D同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】该题考查的是公理，垂足为O，OA与OB重合（同一平面内，过一点
4、有且只有一条直线与已知直线垂直）故本题答案选D例1.2.3已知：如图，射线OA和点P（1） 作射线OP；（2） 过点P作PMOP，与OA交于点M；（3） 过点P作PNOA，垂足为N；（4） 图中线段_的长表示点P到射线OA所在直线的距离【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）PN【解析】该题考查的是作图NM（1）连接OP并延长（2）如图所示（3）如图所示（4）从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，所以PN为点P到直线OA的距离题模三：角度计算例1.3.1如图，于点O，若，则【答案】【解析】该题考查的是角度的计算，例1.3.2如图，直线AB、CD相交于点O，OECE，则
5、等于（ ）AODBECABCD【答案】C【解析】该题考查的是角度计算，即已知所以该题的答案是C例1.3.3如图，、相交于点，为的平分线，为的平分线若，则_度EDHBACOFG【答案】【解析】该题考查的是角度计算设，因为OG为的角平分线，故，又因为，则可列出，解得，即因为OH平分，则，又因为，则随堂练习随练1.1下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线相互垂直；（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直；（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条
6、直线互相垂直A4B3C2D1【答案】C【解析】通过垂直的定义可以判定全部正确随练1.2过点P作线段或射线所在直线的垂线 【答案】见解析【解析】 随练1.3点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，若；，则点P到直线l的距离是（ ）AB小于C不大于D【答案】C【解析】该题考查的是点到直线的距离直线外一点到直线的距离是该点与直线上任一点间的长度的最小值故点P到直线l的距离不大于6cm故选C随练1.4如图，直线AB、CD相交于点O，OEAB，O为垂足，如果，则_【答案】125【解析】该题考查的是垂直性质，又，与互补，随练1.5如图，OG平分，求的度数MNOGP【答案】【解析】该题考查角度的计算MO
7、NO，OG平分，设，解得随练1.6如图。直线AB、CD相交于点O，OE是的平分线若，OFOE（1）判断OF把所分成的两个角的大小关系并证明你的结论；（2）求的度数OADEFCB【答案】（1）相等（2）120【解析】该题考查角度计算（1）又OE是的平分线，又（2）,且两条直线的位置关系（北师版）知识精讲一 两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行1若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线2在同一平面内，不相交的两条直线为平行线二对顶角1如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角2两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫对顶角3
8、对顶角的本质特征：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线4对顶角的性质：对顶角相等三余角和补角1余角如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角同角或等角的余角相等2补角如果两个角的和等于180，就说这两个角互为补角同角或等角的补角相等三点剖析一考点：1对顶角；2余角和补角二重难点：角度综合计算；余角和补角的性质应用三易错点：1只有两条直线相交时才能产生对顶角，对顶角是成对出现的2余角和补角的概念区分题模精讲题模一：对顶角例2.1.1判断题：（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（ ）（2）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（ ）（3）对顶角的角平分线在同一直线上（ ）【
9、答案】错，错，对【解析】两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角，所以（1）和（2）错；对顶角的角平分线在同一直线上，（3）正确例2.1.2如图，和是对顶角的图形有（ ）个ABCD【答案】A【解析】如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角，只有第一个图符合，所以答案为A选项.例2.1.3如图，直线a和直线b相交于点O，1=50，则2=_【答案】50【解析】根据对顶角相等即可求解2与1是对顶角，2=1=50故答案为50例2.1.4如图，直线AB、CD、EF相交于点O，已知，OG平分，求的度数【答案】【解析】利用对顶角和角平分线的性质可以
10、求得题模二：余角和补角例2.2.1若，则与的关系是（ ）A与互余B与互补C与相等D大于【答案】A【解析】，与互余例2.2.2如图，图中与AOC互补的角有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】根据题意可得：，BOC与AOC互补，与互补故图中与互补的角有2个例2.2.3一个角的度数比它的余角的度数大20，则这个角的度数是（ ）A20B35C45D55【答案】D【解析】该题考察的是余角和补角设这个角为x，则它的余角为，由题意得，解得：例2.2.4如图，已知AOC与AOB互补，OD平分AOC，求AOB的度数【答案】【解析】设，则，OD平分AOC，解得随堂练习随练2.1已知和是对顶角，若，则的
11、度数为（ ）A30B60C70D150【答案】A【解析】和是对顶角，根据对顶角相等可得故选：A随练2.2下面各图中1和2是对顶角的是（ ）ABCD【答案】B【解析】A、1和2不是对顶角，故本选项错误；B、1和2是对顶角，故本选项正确；C、1和2不是对顶角，故本选项错误；D、1和2不是对顶角，是邻补角，故本选项错误随练2.3如图，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_对，它们分别是_，AOD的补角是_【答案】2；AOC与BOD、AOD与BOC；AOC与BOD【解析】由图可知对顶角有两对分别为AOC与BOD，AOD与BOC；由图可知，所以AOD的补角为AOC和BOD随练2.4如图，三条直线相交于一点
12、，按从小到大的顺序排列，为_132【答案】【解析】该题考查平角和对顶角的性质、70和的和为，的度数为50，由于对顶角相等，容易得到随练2.5一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是（ ）A30B45C60D70【答案】B【解析】设这个角的度数为x，则它的余角为，补角为，依题意得：，解得随练2.6若一个角的补角比它的余角的4倍少，则这个角的度数为_【答案】55【解析】设这个角为x，则它的补角为，余角为，由题意得：，解得，即这个角为55随练2.7如图，直线AB，CD相交于点O，OE恰为的角平分线，（1），求的度数；（2）若，求的度数 【答案】；【解析】根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角
13、的性质求出的度数，根据余角的概念进行计算自我总结 课后作业作业1如图，以A为公共端点的两条线段AB、AC互相垂直，点B、D、C在同一条直线上ADBC，则图形中能表示点到直线的距离的线段有_条【答案】5【解析】该题考查的是点到直线的距离的定义从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离本题中，表示点到直线距离的线段共有5条，分别是（C到距离），（B到的距离），（A到的距离），（C到的距离），（B到的距离），答案是5作业2如图，点P在直线l外，点A, B, C, D在直线l上，PCl于C，则点P到直线l的距离为（）A线段PA的长B线段PB的长C线段PC的长D线段PD的长【答案】C【解析】该
14、题考查的是垂线段的定义点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离由题意知PC为直线l的垂线段，故PC的长为点P到直线l的距离故本题选C作业3如图，直线相交于点，平分，若，则_【答案】40【解析】因为，所以因为平分，所以作业4过点P分别向角的两边作垂线【答案】【解析】作业5已知：如图，ABCD于点O，BOE=40，OF平分AOE，求FOC的度数【答案】20【解析】该题考查的是角度计算OF平分作业6下图中，与是对顶角的是（ ）AB CD【答案】A【解析】A图所标的两个角满足对顶角的定义，故A正确；B图所标的两个角没有公共顶点，且其中一边不为反向延长线，故B错误；C、
15、D图所标的两个角的其中一边不为反向延长线，故C、D错误；作业7如图，直线，相交于点，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】与互为对顶角，作业8如图，三条直线交与一点，则图中共有对顶角_对【答案】6对【解析】根据对顶角的定义来判断作业9如图，已知，则图中互余的角共有_对【答案】4【解析】因为，所以，即，所以，所以，所以共有4对互余的角作业10若与互为余角，是的2倍，则为（ ）A20B30C40D60【答案】B【解析】与互为余角，则，又因为，所以，所以本题的答案是B作业11已知是锐角，与互补，与互余，则的值等于（ ）A45B60C90D180【答案】C【解析】由题意得，两式相减可得：作业12一个角的余角比它的补角的多1度，则这个角为_度【答案】63【解析】设这个角度为x，则方程为，解得作业13如图，直线AB，CD相交于点O，已知，OE把分成两部分，且，求【答案】【解析】由题意得，所以，所以作业14如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线、，且，（1）若OC平分，求的度数；（2）若，求和【答案】（1）；（2），【解析】（1）根据角平分线定义求出，可以推出；（2）求出，再求出，17