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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲_直线和圆的位置关系知识图谱错题回顾顾题回顾直线和圆的位置关系知识精讲直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交三点剖析考点：直线与圆的位置关系重难点：直线与圆的位置关系易错点：，相离；，相交题模精讲题模一：利用数量关系推导直线和圆的位置关系例1.1.1在RTABC中，C=9
2、0，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则C与直线AB的位置关系是（）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【解析】过C作CDAB于D，如图所示：在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB=5，ABC的面积=ACBC=ABCD，34=5CD，CD=2.42.5，即dr，以2.5为半径的C与直线AB的关系是相交；例1.1.2把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字、自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作，把第二次转动停止后指针指向的数字的倍记作，以长度分别为、的三条线段能构成三角形的概率为_【答案】【解析】列表可得因此，点的个数共有个；则、的三
3、条线段能构成三角形的有组，可得例1.1.3如图，AD是O的切线，切点为A，AB是O的弦过点B作BCAD，交O于点C，连接AC，过点C作CDAB，交AD于点D连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD（1）判断直线PC与O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6求PC的长【答案】（1）PC与圆O相切；（2）PC=【解析】（1）PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，CE为直径，EBC=90，即E+BCE=90，ABDC，ACD=BAC，BAC=E，BCP=ACDE=BCP，BCP+BCE=90，即PCE=90，CEPC，PC与圆O相切；（2）A
4、D是O的切线，切点为A，OAAD，BCAD，AMBC，BM=CM=BC=3，AC=AB=9，在RtAMC中，AM=6，设O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=6-r，在RtOCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6-r）2=r2，解得r=，CE=2r=，OM=6-=，BE=2OM=，E=MCP，RtPCMRtCEB，=，即=，PC=题模二：利用直线和圆的位置关系求参数的取值范围例1.2.1射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且ACQN，cm，cm动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与ABC的边相切，请写出可取的
5、所有值_【答案】或或【解析】该题考察的是三角形相关综合问题是等边三角形，N为BC中点，分为三种情况：如图1，当P切AB于M时，连接PM，则，即；如图2，当P于AC切于A点时，连接PA，则，即，当P于AC切于C点时，连接PC，则，即当时，P和AC边相切；如图3，当P切BC于N时，连接PN则，即；故答案为：或或例1.2.2直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）Ar6Br=6Cr6Dr6【答案】C【解析】直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离d=6，r6故选C例1.2.3已知AOB=30，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作P（1）若r=12cm，
6、试判断P与OB位置关系；（2）若P与OB相离，试求出r需满足的条件【答案】（1）相切；（2）0cmr12cm【解析】过点P作PCOB，垂足为C，则OCP=90AOB=30，OP=24cm，PC=OP=12cm（1）当r=12cm时，r=PC，P与OB相切，即P与OB位置关系是相切（2）当P与OB相离时，rPC，r需满足的条件是：0cmr12cm例1.2.4如图，在平面直角坐标系中，已知O的半径为1，动直线AB与x轴交于点，直线AB与x轴正方向夹角为，若直线AB与O有公共点，则x的取值范围是（ ）yxPOBAABBCD【答案】D【解析】该题考查的是直线与圆的位置关系若直线AB与O有公共点直线AB
7、与O相交或者相切，只要找到两个相切的临界值，相交位于之间即可，如图：连结OM，AB为O的切线，在RtOMN中，则x的取值范围是，故答案选DyxPOBAMN随堂练习随练1.1已知的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D不确定【答案】A【解析】该题考查的是直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d，若，直线与圆相离；若，直线与圆相切；若，直线与圆相交；由题意：，故相交，故选A随练1.2已知O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与O的位置关系是_【答案】相离 【解析】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d
8、与半径r的大小关系解答若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与O的位置关系为相离圆心O到直线l的距离是4cm，大于O的半径为3cm，直线l与O相离随练1.3如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是_A8AB10BAB8C8AB10D8AB10【答案】C【解析】当AB与小圆相切时，OCAB，则AB=2AC=2=24=8；当AB过圆心时最长即为大圆的直径10则弦长AB的取值范围是8AB10故选C随练1.4如图，在RtABC中，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位
9、置关系？为什么？【答案】当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相离；当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相切；当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相交【解析】作CDAB于D，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得AB=10，则；当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相离；当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相切；当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相交随练1.5如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明
10、理由（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积【答案】（1）BC所在直线与小圆相切（2）AC+AD=BC（3）16【解析】（1）BC所在直线与小圆相切理由如下：过圆心O作OEBC，垂足为E；AC是小圆的切线，AB经过圆心O，OAAC；又CO平分ACB，OEBC，OE=OA，BC所在直线是小圆的切线（2）AC+AD=BC理由如下：连接ODAC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，CE=CA；在RtOAD与RtOEB中，RtOADRtOEB（HL），EB=AD；BC=CE+EB，BC=AC+AD（3）BAC=90，AB=8cm，BC=10cm，AC=6cm；BC=AC+AD，AD=B
11、CAC=4cm，圆环的面积为：S=（OD）2（OA）2=（OD2OA2），又OD2OA2=AD2，S=42=16（cm2）随练1.6如图：已知点，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是（ ）AB且CD且【答案】B【解析】作PAx轴，连结OP，如图，点P的坐标为，当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为且随练1.7如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1a，0），C（1+a，0）（a0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则a的最大值是【答案】6【解析】A（1，0），B（1a，0），C（1+a，
12、0）（a0），AB=1（1a）=a，CA=a+11=a，AB=AC，BPC=90，PA=AB=AC=a，如图延长AD交D于P，此时AP最大，A（1，0），D（4，4），AD=5，AP=5+1=6，a的最大值为6随练1.8如图，在ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，ADBC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）（1）求x为何值时，PQAC；（2）设PQD的面积为y（cm2），当0x2时，求y与x的函数关系式；（3）当0x2时，求证：AD平分PQD的面积；（4）探索以PQ为
13、直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）【答案】（1）x=；（2）y=x2+x；（3）证明见解析；（4）当0x或x或x4时，以PQ为直径的圆与AC相交【解析】（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4x；AB=BC=CA=4，C=60；若PQAC，则有QPC=30，PC=2CQ，4x=22x，x=；（2）y=x2+x，如图，当0x2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QNBC于N；C=60，QC=2x，QN=QCsin60=x；AB=AC，ADBC，BD=CD=BC=2，DP=2x，y=PDQN=（2
14、x）x=x2+x；（3）当0x2时，在RtQNC中，QC=2x，C=60；NC=x，BP=NC，BD=CD，DP=DN；ADBC，QNBC，ADQN，OP=OQ，SPDO=SDQO，AD平分PQD的面积；（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，由（1）可知，当x=时，以PQ为直径的圆与AC相切；当点Q在AB上时，82x=，解得x=，故当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0x或x或x4时，以PQ为直径的圆与AC相交自我总结 课后作业作业1已知O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：若d5，则m=0；若d=5，则m
15、=1；若1d5，则m=3；若d=1，则m=2；若d1，则m=4其中正确命题的个数是（）A1B2C3D5【答案】C【解析】考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数结合答案分析即可得到答案若d5时，直线与圆相离，则m=0，故正确；若d=5时，直线与圆相离，则m=1，故正确；若1d5，则m=2，故错误；若d=1时，直线与圆相交，则m=3，故错误；若d1时，直线与圆相交，则m=4，故正确故选：C作业2如图，M的圆心为，半径为2，直线AB过点，则M关于y轴对称的与直线AB的位置关系是_【答案】相交【解析】该题考查的是直线与圆
16、的位置关系以圆心到直线的距离与圆的半径的大小来判断：圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与圆相切；圆心到直线的距离小于圆的半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离大于圆的半径，直线与圆相离；题中，是M关于原点的对称点，为 直线解析式为，到直线的距离为故直线与圆相交作业3已知：AB是O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在O上，连接PQ（1）如图，线段PQ所在的直线与O相切，求线段PQ的长；（2）如图，线段PQ与O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；求线段PQ的长【答案】（1）PQ=2；（2）OQAC；理由见解析；PQ=2【解析
17、】（1）如图，连接OQ线段PQ所在的直线与O相切，点Q在O上，OQOP又BP=OB=OQ=2，PQ=2，即PQ=2；（2）OQAC理由如下：如图，连接BCBP=OB，点B是OP的中点，又PC=CQ，点C是PQ的中点，BC是PQO的中位线，BCOQ又AB是直径，ACB=90，即BCAC，OQAC如图，PCPQ=PBPA，即PQ2=26，解得PQ=2作业4在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（-3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），P与y轴相切于点O若将P沿x轴向左平移，平移后得到P（点P的对应点为点P），当P与直线l相交时，横坐标为整数的点P共有（）A1个B2个C3个D4个【答案】
18、C【解析】如图所示，点P的坐标为（1，0），P与y轴相切于点O，P的半径是1，若P与AB相切时，设切点为D，由点A（-3，0），点B（0，），OA=3，OB=，由勾股定理得：AB=2，DAM=30，设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P），MDAB，MD=1，又因为DAM=30，AM=2，M点的坐标为（-1，0），即对应的P点的坐标为（-1，0），同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（-5，0），所以当P与直线l相交时，横坐标为整数的点P的横坐标可以是-2，-3，-4共三个故选：C作业5如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，点P（P与O不重合）在数轴上运动，若过
19、点P且与OA平行的直线与O有公共点，设点P所表示的实数为x，则x的取值范围是（ ）A或BC或D【答案】C【解析】半径为1的圆，过点P且与OA平行的直线与O有公共点，当与圆相切时，切点为C，OC，过点P且与OA平行的直线与O有公共点，即，同理可得：过点P且与OA平行的直线与O有公共点，即综上所述：或作业6如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫做图形C已知，AEBF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上当一次函数的图像与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是_F【答案】【解析】该题考查的是函数交点由图易知，圆半径为1，D点坐标，计算
20、直线DE解析式为，由AEBF，故两直线斜率相等，BF解析式为，一次函数与两直线都平行，当一次函数与图象C有一个交点时，有两种情况：与半圆相切时，此时容易计算得到一次函数为，则在两直线中间时，此时观察图容易看出截距b的值应在到1之间，则综上所述，b的取值范围或F作业7如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CDABCDA=90点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP=15时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求
21、t的值【答案】（1）（0，3）；（2）4+或4+3；（3）1或4或5.6【解析】（1）BCO=CBO=45，OC=OB=3，又点C在y轴的正半轴上，点C的坐标为（0，3）；（2）分两种情况考虑：当点P在点B右侧时，如图2，若BCP=15，得PCO=30，故PO=COtan30=，此时t=4+；当点P在点B左侧时，如图3，由BCP=15，得PCO=60，故OP=COtan60=3，此时，t=4+3，t的值为4+或4+3；（3）由题意知，若P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：当P与BC相切于点C时，有BCP=90，从而OCP=45，得到OP=3，此时t=1；当P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合，此时t=4；当P与AD相切时，由题意，得DAO=90，点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6，t的值为1或4或5.620