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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲_绝对值知识图谱错题回顾顾题回顾绝对值知识精讲一非负性绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0即：对于一个数a，绝对值具有非负性即对于任意实数a，总有如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0例如：若，则，二绝对值的几何意义绝对值的几何意义：数轴上一个数所对应的点到原点的距离即的几何意义就是数轴上表示数a的点与原点的距离推而广之：代数式的几何意义就是数轴上数x、
2、数a所对应的两点之间的距离三点剖析一考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义二重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义三 易错点：1一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数即对于任意有理数a，总有，2 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值即对于任意实数a，3 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商即对于任意实数a、b，4 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面例如：，题模精讲题模一：非负性例1.1.1已知一个数的绝对值是4，则这个数是 【答案】4【解析】绝对值是4的数有两个，4或4例1.1.2若，则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】该题考查的是绝对
3、值的定义正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数，由题意的绝对值等于它的相反数，即，所以本题答案的是C例1.1.3当1a2时，代数式|a2|+|1a|的值是（）A1B1C3D3【答案】B【解析】当1a2时，|a2|+|1a|=2a+a1=1例1.1.4若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=_或_（按从小到大顺序填写）【答案】1；49 【解析】根据已知条件，结合绝对值的性质得到m，n的值，再根据乘方的意义进行计算|m-n|=n-m，m-n0，即mn又|m|=4，|n|=3，m=-4，n=3或m=-4，n=-3当m=-4，n=3时，（m+n）2=
4、（-1）2=1；当m=-4，n=-3时，（m+n）2=（-7）2=49例1.1.5已知，求、的值.【答案】，【解析】由绝对值的非负性知，题模二：绝对值的几何意义例1.2.1如果a，b，c，d为互不相等的有理数，且，那么_【答案】3【解析】可通过数轴画出得例1.2.2如果对于某一给定范围内的值，为定值，则此定值为_，此时x的取值范围是_【答案】4；【解析】利用绝对值的几何意义，结合数轴解题当时，为定值：例1.2.3（1）的几何意义是数轴上表示_的点与_之间的距离；_（选填“”，“”或“”）（2）的几何意义是数轴上表示_的点与表示_的点之间的距离，若，则_（3）的几何意义是数轴上表示_的点与表示_
5、的点之间的距离，若，则_（4）数轴上表示x的点与表示的点之间的距离可表示为_【答案】（1）x；原点；（2）x；3；2或4（3）x；0或（4）【解析】的几何意义是数轴上表示x的点与表示a的点之间的距离随堂练习随练1.1若|a|=a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A原点左侧B原点或原点左侧C原点右侧D原点或原点右侧【答案】B【解析】|a|=a，a一定是非正数，实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧随练1.2若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2012的值是（）A-1B0C1D2012【答案】C【解析】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式
6、都等于0列式是解题的关键根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解根据题意得，a-2=0，b-1=0，解得a=2，b=1，所以，（b-a）2012=（1-2）2012=1故选C随练1.3式子取最小值时，x等于（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】该题考查的是绝对值的性质绝对值大于等于0，原式取最小值时，解得，所以该题的答案是B随练1.4若x=a，且2a；=；=（2）（3）【解析】（1），所以；，所以；，所以（2）通过比较（1）中的结论，不难发现（当且仅当时取“”）（3）结合（2）中的结论，若，则应满足，即绝对值综合知识精讲一利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关
7、键是去绝对值符号先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即，还是）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号如：计算_由于，所以，根据绝对值的代数意义，应有注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来例如，计算：当时，；当时，二利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简例如：化简第一个绝对值内部为，当时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为，当时第二个绝对值为零我们将、称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对
8、这三个部分进行分类讨论02当时，、均为负值，于是；当时，为非负值、为负值，于是；当时，、均为非负值，于是零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值三绝对值的最值问题的几何意义是数轴上表示数的点到表示数、数两点的距离之和，其中数、数的对应点为数轴上的一个定点，数的对应点为一个动点，可以在数轴上移动绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往
9、往能取得事半功倍的效果如计算的最小值12（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即123（3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值若将题目改为计算的最小值我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了经过总结归纳我们发现了这样的规律：对于代数式：（）：当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域对于代数式的最值问题，我们先将代数式转
10、化为特殊形式：（），然后通过上述方法求解如：三点剖析一考点：绝对值的化简和求最值二重难点：绝对值的化简和求最值三易错点： 1在进行有理数绝对值的求解和化简时，常因对问题分析不全面而出现错解漏解的现象题模精讲题模一：绝对值的化简与计算例2.1.1如图，数轴上，四点所表示的数分别为,且为原点，根据图中各点位置判断之值与下列何者不同（ ）ab0cdABCD【答案】A【解析】本题考查的是绝对值的性质A选项中；B选项中；C选项中；D选项中所以本题的答案是A例2.1.2有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则式子 化简后的结果为_。ab0【答案】【解析】该题考察的是绝对值的化简，由图可知：，原式例2.1
11、.3有理数，满足，求的值【答案】2或【解析】由知，所以，里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则；若含有3个负数，则例2.1.4用零点分段法化简：【答案】当时，原式=；当时，原式=【解析】利用零点分段法和绝对值的代数意义去绝对值号当，即时，原式=；当，即时，原式=例2.1.5用零点分段法化简：【答案】当时，原式=；当时，原式=；当时，原式=6【解析】利用零点分段法和绝对值的代数意义去绝对值号当，即时，原式=；当，且，即时，原式=；当，即时，原式=例2.1.6化简：【答案】当时，原式；当时，原式；当时，原式；当时，原式【解析】先找零点，解得，依这三个零点将数轴分为四段：，题模二：绝对值最值问
12、题例2.2.1计算下列式子的最小值：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）3（2）2（3）3（4）5【解析】结合数轴，利用绝对值的几何意义求解；也可以利用零点分段法（1）当时，取得最小值；（2）当时，取得最小值；（3）当时，取得最小值；（4）当时，取得最小值5例2.2.2已知，求取何值时的最大值与最小值【答案】当时，最大值为4；当时，最小值为【解析】数形结合，利用几何意义：表示到点和的距离差，画出数轴我们会发现当时两者的距离差最小为，即；当时，两者的距离差最大为4，即零点分段法：先找零点，根据零点分段，当时，；当时，当有最小值；当有最大值综上所得，当时，最大值为4；当时，最小值为例2.2.3阅
13、读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为当、两点中有一点在原点时,不妨设点在原点,如图甲，;当、两点都不在原点时， 如图乙,点、都在原点的右边，； 如图丙,点、都在原点的左边， 如图丁,点、在原点的两边综上, 数轴上、两点之间的距离（1）当在何范围，有最大值，并求出最大值；（2）当在何范围，有最大值，并求出它的最大值；（3）的最大值为_（直接写出结果）【答案】（1），（2），（3）【解析】本题考查的是数轴的综合（1）表示数轴上一点到与两点的距离差，当点不在和两点之间时候距离差最大，此时的取值为，最大值为两点距离；（2），表示到与两点的距离差和到与两点的距离差的和，当时
14、，原式取最大值，最大值为；（3）由（1），（2）可知，原式可以表示为个距离差的和，最大值为随堂练习随练2.1有理数a、b、c表示的点在数轴上的位置如下图所示，则（ ）ABCD【答案】C【解析】该题考查的是绝对值的化简由图像可以看出，并且有，即所以该题的答案是C随练2.2若，那么等于_【答案】【解析】，可得：，所以，随练2.3已知，且a、b、c都不等于0，求S的所有可能值【答案】S的所有可能值为4，0，【解析】对a、b、c的正负分类讨论：当a、b、c全是正数时，；当a、b、c两正一负时，；当a、b、c两负一正时，；当a、b、c全是负数时，随练2.4用零点分段法化简：【答案】当时，原式=；当时，原
15、式=；当时，原式=【解析】利用零点分段法和绝对值的代数意义去绝对值号当，即时，原式=；当，且，即时，原式=；当，即时，原式=；随练2.5计算下列式子的最小值：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】结合数轴，利用绝对值的几何意义求解；也可以利用零点分段法随练2.6已知且，求最小值与最大值【答案】0；2【解析】该题考查的是绝对值的性质当时，当时，可得1分当时当时，可得2分当时，当时，可得值恒为03分综上所述，当时，的最大值是2，最小值是0 5分自我总结 课后作业作业1若，则的值为_【答案】【解析】本题考查的是绝对值与完全平方式的非负性由于、，再由知，那么，从而故本题的答案是作业2数轴上点A、
16、B表示的数分别是5、3，它们之间的距离可以表示为（ ）A3+5B35C|3+5|D|35|【答案】D【解析】点A、B表示的数分别是5、3，它们之间的距离=|35|=8作业3若实数a满足a-|a|=2a，则（）Aa0Ba0Ca0Da0【答案】D【解析】本题考查了绝对值的性质，比较简单，熟记绝对值的性质是解题的关键先求出|a|=-a，再根据绝对值的性质解答由a-|a|=2a得|a|=-a，a0故选D作业4使等式成立的有理数x是（ ）A任意一个正数B任意一个非正数C小于1的有理数D任意一个有理数【答案】B【解析】x与同号，或作业5已知有理数x，y满足，则_.【答案】1【解析】该题考查的是绝对值的非负
17、性绝对值具有非负性，两个非负的数和为0，那么它们都是0，且即，作业6若，且，则_【答案】9【解析】该题考察的是绝对值的化简由题意，上式作业7（1）若，则a-b的值为_（2）若，且ab，则a-b的值为_【答案】（1）11（2）或【解析】该题考查的是非负性与绝对值的化简（1）由题干可得：，则（2）由可得，或，当时，当时，作业8点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|ab|利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和10两点之间的距离是_，数轴上表示2和10的两点之间的距离是_（2）数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为_（3）
18、若x表示一个有理数，|x1|+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由（4）若x表示一个有理数，求|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|【答案】（1）8，12；（2）|x+2|；（3）3；（4）见解析【解析】（1）|210|=8，|2（10）|=|2+10|=12；故答案为：8，12；（2）|x（2）|=|x+2|；故答案为：|x+2|（3）x1 原式=x1+x+2=2x+1 x=1，最小值为3 2x1 原式=1x+x+2=3x2原式=1xx2=2x1 x=2，最小值为3综上，|x1|+|x+2|有最小值，最小值为3；（4）当x1时，原式=1x+2x+3x+4x+5
19、x=155x；当1x2时，原式=x1+2x+3x+4x+5x=133x；当2x3时，原式=x1+x2+3x+4x+5x=9x；当3x4时，原式=x1+x2+x3+4x+5x=3+x；当4x5时，原式=x1+x2+x3+x4+5x=3x5；当x5时，原式=x1+x2+x3+x4+x5=5x15；作业9如果，那么的值为（ ）AB1CD不确定【答案】A【解析】由可知，、两正一负作业10已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，那么代数式的化简结果是_【答案】【解析】该题考查的是绝对值的定义与数轴的性质在数轴上，位于原点左边的点为负数，位于原点右边的点为正数绝对值内的代数式是负数时，去掉绝对值符号
20、后变为原来的相反数，绝对值内的代数式是正数时，去掉绝对值符号后与原来相同，所以，所以=3a，答案是3a作业11对于任意的有理数x，的最小值为_，取得最小值时x的值为【答案】；【解析】该题考查的是绝对值的最值由绝对值得几何意义可知，就是要在数轴上找2x，3x，4x12x这11个点，使它们到1对应的点的距离和最小2x，3x，4x12x这11个点的中点是7x，当中点7x与1对应的点重合时，y有最小值，此时，即，故y的最小值为，取得最小值时x的值为作业12三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，求的值【答案】1【解析】该题考查的是绝对值的性质三个数a、b、c的积为负数，和为正数，三个数中有两个正数，
21、一个负数或两个负数，一个正数；三个数中有两个正数，一个负数，则，；三个数中有两个负数，一个正数，则，；故作业13对于任意的有理数x，的最小值为_，取得最小值时x的值为_.【答案】；【解析】该题考查的是绝对值的最值由绝对值得几何意义可知，就是要在数轴上找2x，3x，4x12x这11个点，使它们到1对应的点的距离和最小2x，3x，4x12x这11个点的中点是7x，当中点7x与1对应的点重合时，y有最小值，此时，即，故y的最小值为，取得最小值时x的值为作业14小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子取最小值时，相应的x的取值范围是_，最小值是_”.小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了”小明说：“利用数轴可以解决这个问题”他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子取最小值时，相应的x的取值范围是_，最小值是_.（2）已知，求相应的x的取值范围及y的最大值写出解答过程【答案】（1）；8（2）当，时；当，时；当时，【解析】该题考查的是绝对值的最值问题（1）和8（每空1分） 当时，,，当时，当时，当时，当时，所以当时，式子取最小值，值为82（2）当，时3当，时 4当，时 5所以时，有最大值 617