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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 图形的对称知识图谱错题回顾顾题回顾图形的对称知识精讲一轴对称1轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点2轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称3轴对称图形、图形成轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等轴对称图形沿对称轴分成的两个图形全等（2）轴对称图
2、形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线4垂直平分线：定义：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等判定：在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上作法：如图（1）分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，CD为所求直线二最短路径问题（1）将军饮马问题如图所示，将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于点C，
3、则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到营地B，所走的路程就是最短的（2）造桥选址问题如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行，桥与河岸垂直） 三、对称类综合问题对称类综合问题在题目中经常以图形翻折的形式出现，在解题的过程中首先判断确定该类问题考察的是轴对称的知识点，然后结合轴对称的性质注意对称轴左右两侧图形是全等的，进而得到对应的线段和角度相等，最后结合题目中的条件利用勾股定理、相似三角形或者是三角函数来解题方法点拨：一常见的将军饮马问题模型1如图，直线和的异侧两点、，在直线上求作一点，使最小2
4、如图，直线和的同侧两点、，在直线上求作一点，使最小3如图，直线和同侧两点、，在直线上求作一点，使最大4如图，直线和异侧两点、，在直线上求作一点，使最大5如图，点是内的一点，分别在，上作点、，使的周长最小6如图，点，为内的两点，分别在，上作点、，使四边形的周长最小7如图，点是外的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小8如图，点是内的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小三点剖析一考点：1轴对称；2最短路径问题；3对称类综合问题二重难点：最短路径问题；对称类综合问题三易错点：1把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形
5、关于这条对称轴对称2无论是将军饮马问题还是造桥选址问题给定的都是两个定点，很多学生可以直接套模型，但是如果两个点中只有一个定点，另外一个点是动点就要结合其它与最值有关的知识点，比如最常见的就是“垂线段最短”题模精讲题模一：轴对称例1.1.1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD例1.1.2如图，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为_A4cmB3cmC2cmD1cm例1.1.3两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路现电信部门需在C
6、处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，测得CMN=30，CNM=45，求点C到公路ME的距离题模二：对称类综合问题例1.2.1在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F（1）依题意补全图1；（2）若PAB=20，求ADF的度数；（3）如图2，若45PAB90，用等式表示线段AB，FE，FD之间
7、的数量关系，并证明例1.2.2如图，在ABC中，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过点D作DEBC，交AC于点E把ADE沿直线DE折叠，点A落在点处连结，设，ADE的边DE上的高为（1）求出与的函数关系式；（2）若以点、B、D为顶点的三角形与ABC相似，求的值；（3）当取何值时，是直角三角形第24题图ABCDEABC第24题备用图例1.2.3如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将ADE沿AE折叠后得到AFE，且点F在矩形ABCD内部将AF延长交边BC于点G若=，则=_用含k的代数式表示）题模三：最短路径问题例1.3.1如图，在锐角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分
8、线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_例1.3.2如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是例1.3.3小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得的值最小小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：作点A关于直线l的对称点连结，交直线l于点P则点P为所求APBl请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC边上的高为4，
9、请你在BC边上确定一点P，使得的周长最小在图1中作出点P（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）请直接写出周长的最小值_EDACB图1（2）如图2在矩形ABCD中，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值_ADGCB图2随堂练习随练1.1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（AA选项BB选项CC选项DD选项随练1.2如图在RtABC中，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=
10、1，则AC的长是（）A2B2C4D4随练1.3如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_随练1.4在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE已知AE=5，tanAED=，则BE+CE=_随练1.5联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已
11、知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长随练1.6如图，在矩形ABCD中，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E（1）若点E在AD边上，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：_随练1.7如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A2B2C3D随练1.8如图，在五边形ABCDE中，已知BAE=120，B=E=90，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分别找一点M、N，若要使AMN
12、的周长最小时，则AMN的最小周长为随练1.9阅读材料：例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值解：+=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值设点A关于x轴的对称点为A，则PA=PA，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA+PB的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以PA+PB的最小值为线段AB的长度为此，构造直角三角形ACB，因为AC=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值为3根据以上阅读材料，解答下列问题：（1
13、）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B_的距离之和（填写点B的坐标）（2）代数式+的最小值为_自我总结 课后作业作业1在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A2个B3个C4个D5个作业2如图，在RtABC中，ACB=90，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）ABCD2作业3如图，在ABC中，B=C=36，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A=BAD，AE将BAC三等分CA
14、BEACDDSADH=SCEG作业4如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2=（）A150B210C105D75作业5阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点；（2）作直线CD所以直线CD就是所求作的垂直平分线老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是_作业6如图，点A、B、C的坐标为、，则ABC的外心坐标是_OyxABC作业7
15、在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则B等于_作业8阅读下面材料：问题：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，若,，求BD的长小明同学的解题思路是：利用轴对称，把ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，若，求BD和AB的长图图作业9在RtABC中，点P在ABC的内部（1）如图1，点M、N分别在AB、BC边上，则_，PMN周长的最小值为_；（2）如图2，若条件不变，而，求ABC的面积；（3）若，且，直接写出的度数BB作业10如图，在平行四边形
16、ABCD中，E为AB边的中点，BF平分交AD于F，P是BF上任意一点，则的最小值为_.ABCEDFP作业11我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，AB在直线l的同一侧，在l上求作一点P，使得最小AB图1我们只要作点B关于l的对称点B（如图2所示），根据对称性可知，因此，求最小就相当于求最小，显然当A、P、B在一条直线上时，最小，因此连结AB，与直线l的交点，就是要求的点P，有很多问题都可以用类似的方法思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点，连结EP，CP，则的最
17、小值是_；ABOPl图2（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在的两边OM，ON上各找一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小；（不写画法，保留作图痕迹）（3）如图5，平面直角坐标系中有两点，在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标是_，点D的坐标是_作业12定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”（1）若P(1，2)，Q(4，2)在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是 ；若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标15