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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第05讲_勾股定理及逆定理知识图谱错题回顾顾题回顾勾股定理的证明知识精讲一勾股定理1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么2勾股定理的变形：，二勾股定理的证明1如下图，所以2如下图，所以三点剖析一勾股定理逆定理1如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形两者的题设和结论正好相反，应用时
2、要注意其区别二勾股数1满足的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数2常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41题模精讲题模一：证明例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理【答案】见解析【解析】ABC、BMD、DHE、AGE是全等的四个直角三角形，四边形ABDE是正方形，四边形GHMC是正方形，大正方形的面积是，大正方形的面积也可以是：，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方题模二：勾股定理例1.2.1如图，每个小正方形的边长为1，ABC的三边a，b，c的大小关系式（）AacbBabc
3、CcabDcba【答案】C【解析】AC=5=，BC=，AB=4=，bac，即cab故选C例1.2.2在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）ABCD【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=15，过C作CDAB，交AB于点D，又S ABC=ACBC=ABCD，CD=，则点C到AB的距离是故选A例1.2.3已知直角三角形的一直角边等于35cm，另外两条边的和为49cm，求斜边长【答案】斜边长为37cm【解析】设直角三角形的斜边长为x cm，则另一直角边为cm，根据勾股定理可列方程：，解得随堂练习
4、随练1.1设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是_A1.5B2C2.5D3【答案】D【解析】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值三角形的周长为6，斜边长为2.5，a+b+2.5=6，a+b=3.5，a、b是直角三角形的两条直角边，a2+b2=2.52，由可得ab=3，故选D随练1.2已知在RtABC中，如果，求a、b的值【答案】，【解析】中，可设，则，解得，随练1.3如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为、，则、的
5、关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】该题考查的是勾股定理直角三角形的两直角边的平方之和等于斜边的平方圆的面积公式为，设的半径为，的半径为，的半径为，直角三角形上有，即，两边同时乘以，得，即，所以该题的答案是B勾股定理的逆定理知识精讲一勾股定理逆定理1如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别二勾股数1满足的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍
6、为勾股数2常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41三点剖析一考点：1勾股定理逆定理；2勾股数二重难点：掌握常用的勾股数，结合勾股定理逆定理利用线段长度可证明直角三角形三易错点：勾股数除了要满足勾股定理外，还需要满足是整数题模精讲题模一：勾股定理逆定理例2.1.1下列说法正确的有（）ABC是直角三角形，C=90，则a2+b2=c2ABC中，a2+b2c2，则ABC不是直角三角形若ABC中，a2b2=c2，则ABC是直角三角形若ABC是直角三角形，则（a+b）（ab）=c2A4个B3个C2个D1个【答案】C【解析】ABC是直角三角形，
7、C=90，则a2+b2=c2符合勾股定理，故本小题正确；ABC中，a2+b2c2，则ABC是直角三角形故本小题错误；若ABC中，a2b2=c2，则ABC是直角三角形符合勾股定理的逆定理，故本小题正确；当C是斜边时（a+b）（ab）=c2不成立，故本小题错误例2.1.2如图，已知，ABAD判断BCBD吗？简述你的理由【答案】见解析【解析】在直角ABD中，已知，满足，BCD为直角三角形，即BCBD例2.1.3在ABC中，D为BC的中点，试判断AD与AB的位置关系【答案】ADAB【解析】延长AD至E，使得，连接BE，D为BC的中点，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），ADAB题模二：勾股数例
8、2.2.1分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能构成勾股数的有（ ）A1组B2组C3组D4组【答案】C【解析】，能构成勾股数；，能构成勾股数；，能构成勾股数；，不能构成勾股数例2.2.2已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】7200（元）【解析】该题考查的是勾股定理的应用如图，连接BD，在RtABD中，在CBD中，而，即，所以需费用（元）随堂练习随练2.1下
9、列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A4，5，6B1.5，2，2.5C2，3，4D1，3【答案】B【解析】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可A、42+52=4162，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32=1342，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+（）2=332，不可以构成直角三角形，故D选项错误故选：B随练2.2ABC的三边长a，b，c满足，判断ABC的形状，
10、并说明理由【答案】ABC的形状是直角三角形【解析】，随练2.3已知a、b、c为ABC的三边，且满足，试判断ABC的形状【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由题意知，因此当时，ABC为等腰三角形；当时，由，ABC为直角三角形自我总结 课后作业作业1如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草A5B4C3D2【答案】B【解析】该题考查的是勾股定理根据直角三角形勾股定理两直角边长的平方和等于斜边长的平方，可得斜边长为，因此少走的路为所以本题的答案是B作业2如图，点E在正方形ABCD内，满足，则阴影部分的面积是（ ）A48
11、B60C76D80【答案】C【解析】故选C作业3已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm【答案】4.8【解析】直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为68=10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm作业4如图，已知在RtABC中，ACB=90，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于_【答案】2 【解析】S1=（）2=AC2，S2=BC2，所以S1+S2=（AC2+BC2）=AB2=2故答案为：2作业5如图，在等腰直角三角形ABC中，A
12、BC=90，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长【答案】5【解析】连接BD，等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，BDAC（三线合一），BD=CD=AD，ABD=45，C=45，ABD=C，又DE丄DF，FDC+BDF=EDB+BDF，FDC=EDB，在EDB与FDC中，EDBFDC（ASA），BE=FC=3，AB=7，则BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5答：EF的长为5作业6操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c（如图），分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如
13、图的形状，图中的两个小正方形的面积、与图中小正方形的面积有什么关系？你能得到a、b、c之间有什么关系？【答案】三个小正方形的面积满足，其边长满足【解析】分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2、图3的形状，观察图2、图3可发现，图2中的两个小正方形的面积之和等于图3中的小正方形的面积，即，这个结论用关系式可表示为作业7三角形的三边长分别为、（、都是正整数），则这个三角形是（ ）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不确定【答案】A【解析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，三角形为直角三角形作业8ABC中，A、B、C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系：，试判断的形状【答案】直角三角形【解析】原式可化简为，由非负数的性质知，因此作业9常见勾股数有：3、_、_；5、_、_；6、_、_；7、_、_；8、_、_；9、_、_【答案】4；5；12；13；8；10；24；25；15；17；12；15【解析】常见勾股数有：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、1512