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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲_三角形内角和定理知识图谱错题回顾顾题回顾三角形的内角和外角知识精讲1. 按角分类 2. 内角和定理三角形三个内角和等于.3. 内角和定理的推论（外角和定理）（1）外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角（2）外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和。外角和等于.（3）性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和.三点剖析考点：1. 按角分类；2.内角和定理；3. 内角和定理的推论（外角和定理）重难点：1. 尽管三角形的外角的性质是由内角和定理推理得出，但在
2、日常的计算中经常利用外角可以快速地提升解题速度。2. 在无法直接计算要求的角的度数时，可以通过先设未知数，然后通过列等式解方程的方法来求解.易错点：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角题模精讲题模一：按角分类例1.1.1一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形【答案】D【解析】三角形的三个角依次为180=30，180=45，180=105，所以这个三角形是钝角三角形故选D题模二：内角和定理例1.2.1如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，则的度数为（ ）
3、ABCD【答案】C【解析】由题意：，由，故，故。例1.2.2如图所示，将ABC沿着DE翻折，若1+2=80，则B=_度【答案】40 【解析】ABC沿着DE翻折，1+2BED=180，2+2BDE=180，1+2+2（BED+BDE）=360，而1+2=80，B+BED+BDE=180，80+2（180-B）=360，B=40故答案为：40题模三：内角和定理的推论（外角和定理）例1.3.1如图，已知ABC中，BAC=140，现将ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则DAE的度数为_【答案】100【解析】如图，BAC=140，B+C=180140=40；由题意得：B=DAB（设为），C=E
4、AC（设为），ADE=2，AED=2，DAE=1802（+）=18080=100例1.3.2如图，中，是高，分别是和的平分线，它们相交于点，求，【答案】；【解析】该题考查的是角度的计算AD是高，AE，BF是角平分线，随堂练习随练1.1若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都错【答案】A【解析】该题考查的是三角形内角和设三角形的三角的度数是，则，即三角形是直角三角形，故答案是A随练1.2如图，ABC中，BO，CO分别是ABC，ACB的平分线，A=50，则BOC等于（ ）A110B115C120D130【答案】B【解析】A=50，ABC
5、+ACB=180A=18050=130，BO，CO分别是ABC，ACB的平分线，OBC=ABC，OCB=ACB，OBC+OCB=（ABC+ACB）=130=65，BOC=180（OBC+OCB）=18065=115随练1.3如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，A = 50，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么DBC的度数为（ ）A10B15C20D30【答案】B【解析】，与关于对称故答案为B随练1.4点D、E分别在等边ABC的边AB、BC上，将BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G若ADF=80，则CGE=
6、_【答案】80 【解析】由翻折可得B1=B=60，A=B1=60，AFD=GFB1，ADFB1GF，ADF=B1GF，CGE=FGB1，CGE=ADF=80故答案为：80角度计算模型知识精讲一 “8”字形如图a所示的“”字型，其也存在着一个等式：，由三角形内角和知，又（对顶角相等），二 “A”字型如图b所示的“”字型，我们可称其为“A字型”或“塔形”，其存在一个等式：，由三角形内角和知，可知这种类型的应用在求有关角度时可以更加快捷和方便三 燕尾形如图c所示，其也存在着如下等式：，其证明过程如下：连接长到，BDE是ABD的外角，同理，四 角平分线模型1两条内角平分线相交（如图1）结论：2两条外角
7、平分线相交（如图2）结论：3内角平分线与外角平分线相交（如图3）结论：三点剖析考点：1. “8”字形；2. “A”字型；3. 燕尾形；4. 角平分线模型重难点：1. 在题目中给出的复杂图形中能够快速地识别找出相应的模型，并能够利用相应的结论来结题；2. 每个模型结论的证明过程也都要求掌握，解答题中需要先证明后才能使用易错点：在角度推导的过程中计算错误题模精讲题模一：“8”字形例2.1.1如图，求的度数【答案】【解析】连接，（对顶角相等）（等量减等量，差相等）（等量代换）（三角形内角和定理）（等量代换）例2.1.2如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P
8、14=P14A，则A的度数是_【答案】12 【解析】解：设A=x，AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，A=AP2P1=AP13P14=x，P2P1P3=P13P14P12=2x，P3P2P4=P12P13P11=3x，P7P6P8=P8P9P7=7x，AP7P8=7x，AP8P7=7x，在AP7P8中，A+AP7P8+AP8P7=180，即x+7x+7x=180，解得x=12，即A=12故答案为：12题模二：“A“字形例2.2.1如图，一个顶角为的直角三角形纸片，剪去这个角后得到一个四边形，则的度数是_度ABCFE【答案】270【解析】该题考查的是三角形内角和，题模三：角平分线
9、模型例2.3.1如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点O，若A=80，则BOC=_【答案】130【解析】在ABC中，A=80，ABC+ACB=18080=100，ABC和ACB的平分线交于O点，OBC+OCB=（ABC+ACB）=100=50，BOC=180（OBC+OCB）=18050=130例2.3.2如图，ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，An1BC的平分线与An1CD的平分线交于点An设A=则：（1）_（2）_【答案】（1）（2）【解析】该题考查的是角平分线的性质与找规律（1）是的平分线，是的平分线，又
10、，；（2）同理可得，所以题模四：燕尾形例2.4.1如图，已知，求度数【答案】【解析】法1：如图1，延长交于，求得；法2：如图2，连接；法3：如图3，连接并延长到点本题的一个重要结论：如例题所示图形，我们有结论：该模型我们称为“燕尾模型”随堂练习随练2.1如图，已知，求_ 【答案】【解析】如图，连接EF，则，因此随练2.2如图，在中，、是外角平分线，、是内角平分线，、交于，、交于，试探索与的关系：_【答案】【解析】在和中，同理，随练2.3如图，BD平分CDA，EB平分AEC，则_【答案】【解析】该题考查的是角度计算BD平分，EB平分，设，在BDG中，AEG中，又，即即，随练2.4已知ABC中，A
11、BC的n 等分线与ACB的n 等分线分别相交于G1, G2, G3, , Gn-1，试猜想：BGn-1C 与A的关系(其中n 是不小于2 的整数) 首先得到：当n = 2时，如图3，BG1C =_，当n = 3时，如图4，BG2C = _，如图5，猜想 BGn-1C =_【答案】，【解析】该题考查找规律图3中，,所以图4中，,所以通过观察发现，随练2.5如图，在三角形中，和的三等分线分别交于、，求的度数【答案】【解析】设的三分之一为，的三分之一为，因为三角形内角和为，所以有：，即，所以随练2.6已知：ABC中，记BAC=，ACB=（1）如图1，若AP平分BAC，BP，CP分别平分ABC的外角C
12、BM和BCN，BDAP于点D，用的代数式表示BPC的度数，用的代数式表示PBD的度数；（2）如图2，若点P为ABC的三条内角平分线的交点，BDAP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论【答案】（1）（2）【解析】该题考察的是角度计算综合（1）如图BP，CP分别平分ABC的外角和，在PBC中，3分AP平分，于点D，在RtPBD中，是PAB的外角，5分（2）若点P为ABC的三条内角平分线的交点，如图26分7分自我总结 课后作业作业1若一个三角形的三个外角的度数之比为，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【答案】C【解析】该题考查的是角
13、度计算多边形的外角和是，又三个外角的度数之比为，三个外角的度数分别是，；三个内角的度数分别是，；该三角形是钝角三角形，故选C作业2如图，在ABC中，AD平分BAC，交BC于D，DEAB，交AC于E，则ADE的大小是（ ）A45B54C40D50【答案】C【解析】，AD平分BAC，DEAB，故选：C作业3如图所示，A，1，2的大小关系是（）AA12B21ACA21D2A1【答案】B【解析】1是ACD的外角，1A；2是CDE的外角，21，21A作业4如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，ab，1=50，2=60，则3的度数为（）A50B60C70D80【答案】C【解析】BCD中，1=50，2=60
14、，4=180-1-2=180-50-60=70，5=4=70，ab，3=5=70故选：C作业5如图，已知ABC中，若沿图中虚线剪去B，则（ ）A130B230C270D310【答案】B【解析】该题考查的是三角形的角度计算设虚线交AB边于D，交BC边于E则, 故选B作业6已知ABC中，B是A的2倍，C比A大20，则A等于（）A40B60C80D90【答案】A【解析】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180设A=x，则B=2x，C=x+20，再根据三角形内角和定理求出x的值即可设A=x，则B=2x，C=x+20，则x+2x+x+20=180，解得x=40，即A=40故选A作业7一个正方
15、形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则1+2=_A90B100C130D180【答案】B【解析】解：如图，BAC=180-90-1=90-1，ABC=180-60-3=120-3，ACB=180-60-2=120-2，在ABC中，BAC+ABC+ACB=180，90-1+120-3+120-2=180，1+2=150-3，3=50，1+2=150-50=100故选：B作业8已知的三个内角为，令，则，中锐角的个数至多为（ ）A个B个C个D个【答案】A【解析】实际是问至多有几个顶点所对应的外角是锐角，即至多有几个内角是钝角总结：一个三角形的内角至多有锐角3个，直角1个，钝角1个；至少有个
16、锐角作业9如图，求的大小【答案】的大小为【解析】，作业10如图，求的值【答案】【解析】连接、，那么，作业11如图1，五角星ABCDE（1）请你直接写出为_度； （2）若有一个顶点B在运动，五角星变为图2，(1)的结论还正确吗？请说明理由【答案】（1）（2）正确；【解析】该题考查的是角度计算（1） 如图所示，；（2）结论成立理由如下：，作业12如图，BD平分CDA，EB平分AEC，则_【答案】【解析】该题考查的是角度计算BD平分，EB平分，设，在BDG中，AEG中，又，即即，作业13如图，线段、把三等分，线段、把三等分，则的大小是_【答案】【解析】思路1：分析可知，因为，故可以先考虑求出的度数，
17、根据题设条件，线段、把三等分，线段、把三等分，所以，这样只要求出的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出解法1 ：在中，因为平分，平分，所以是的平分线即因为，所以，又因为、把三等分，、把三等分所以，又因为，所以，所以思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题同样由两个三等分得到，不同在于我们利用三等分的另一个结论，解法2 ：在中，因为平分，平分，所以是的平分线，即因为，所以，所以，所以作业14已知：如图，AM，CM分别平分BAD和BCD（1）求M的大小（2）当B，D为任意角时，探索M与B，D间的数量关系，并对你的结论加以证明【答案】
18、（1）（2）；见解析【解析】该题考查的是三角形中复杂的角度模型：八字形（如图）BADC（1），而AM，CM分别平分和，又，得，；（2）与，间的数量关系为，理由同上作业15如图，平分，平分，试探索与和的关系：【答案】【解析】如图，连接，在中，在中，又，在中，即：作业16在中，BO平分，点P为直线AC上一动点，于点OABCOBCOAPBOCPA图1图2图3（1）如图1，当，点P与点C重合时，；（2）如图2，当点P在AC延长线时，求证：；（3）如图3，当点P在边AC所示位置时，请直接写出与，等量关系式.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】该题考查的是角度的计算（1），BO平分，1分（2）作射线AO，如图，即，BO平分，5分（3）记CP与BO的交点为M，BO平分， 6分