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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲_二次函数的几何综合知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数与三角形综合知识精讲一二次函数与等腰三角形综合二次函数与等腰三角形存在性问题：解题思路：先找后求1找法：已知三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下：2求法：分类讨论；设出点坐标，利用两腰长相等，列方程求解二二次函数与直角三角形综合二次函数与直角三角形存在性问题：解题思路：先找后求1找法：已知直角三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： 2求法：分类讨论；设出点坐标，利用勾股定理，列方程求解三点剖析一考点：二次函数与三角形综合二重难点：二
2、次函数与等腰三角形和直角三角形的存在性问题三易错点：1不要漏解，按模型找到所有满足条件的点然后计算求解；2注意数形结合思想题模精讲题模一：等腰三角形例1.1.1如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由例1.1.2如图，已知直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线()经过点、.（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上的动点，过点作
3、垂直轴于点，在轴（原点除外）上是否存在点，使为等腰直角三角形? 若存在,求出点的坐标及对应的点的坐标；若不存在，请说明理由.题模二：直角三角形例1.2.1已知抛物线(、是不为的常数)的顶点是，抛物线的顶点是（1）判断点是否在抛物线上，为什么？（2）如果抛物线经过点求的值；这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点能否构成直角三角形？例1.2.2如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F
4、，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由随堂练习随练1.1已知抛物线经过点B和C，对称轴为直线（1）求该抛物线的解析式以及抛物线与x轴另一个交点A的坐标（2）点D在线段AB上，且，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度，若不存在，请说明理由；（3）在（
5、2）的结论下，直线x1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由xCBQDOPAy随练1.2平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示，抛物线经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由随练1.3如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2
6、）经探究可知，BCM与ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由随练1.4如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l点P是l上一动点设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0S18时，求t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由二次函数与四边形综合知
7、识精讲一二次函数与四边形综合二次函数与四边形综合主要是与平行四边形或者特殊的平行四边形（矩形，菱形，正方形）的综合在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点1如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验；2如果有两个动点，则常用的方法有两个，引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最后要检验；从已知条件直接进行分析二动点与平行四边形存在性问题常见模型： 1两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形（1）分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况（2）设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，
8、代入另一个点所在函数关系式2三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形（1）分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点大三角：连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点（2）利用中点公式法，求出点坐标中点坐标公式：若，为坐标系内任意两点，则中点的坐标为中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标总结：二次函数与四边形综合问题常用的解题方法是：设出动点坐标，然后用点的坐标表示线段长度，进而建立方程求出动点坐标三点剖析一考点：二次函数与四边形综合二重难点：二次函数与平行四边形的存在性问题，特殊平行四边形的存在性问题三易错点：二次函数与四
9、边形综合问题最容易出现的问题就是分类讨论不彻底导致漏解，解题时务必审清题意，按照模型分类讨论题模精讲题模一：二次函数与四边形综合例2.1.1如图，抛物线与直线交于点C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）若存在点P，使，请直接写出相应的点P的坐标例2.1.2已知：二次函数的图象与轴交于点（1）求二次函数的图象与轴的另一个交点B及顶点M的坐标；（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右
10、运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点O时，P、Q同时停止运动点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点，设四边形PQCD的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系表达式（不必写出t的取值范围）；（3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由例2.1.3如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）（1）求此抛物线的解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线A
11、B于点E，作PDAB于点D动点P在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标（结果保留根号）随堂练习随练2.1如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形
12、能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值随练2.2如图，在平面直角坐标系中顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积（3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由随练2.3已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结
13、AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF若，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：BFAB；（3）求的度数；（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，则点E所走过的路线长是CAOFDBExy自我总结 课后作业作业1如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点C的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点（与点A、C不重合），过点E作DEx轴于点D，连结DC，DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由BCOAyxDE作业
14、2如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N问在x轴上是否存在点P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由作业3如图，直线y=-x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A（-1，0）、C（3，-4）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段P
15、E的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由作业4如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P
16、、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标作业5在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：（1）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的顶点P的坐标及它的解析式（2）如果轴上有一动点M，那么在两条抛物线、上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由作业6如图，在直角坐标平面内，为原点，抛物线经过，且顶点在直线上（1）求的值和抛物线的解析式；（2）如在线段上有一点，满足，在轴上有一点，连接，且直线与轴交于点求直线的解析式；如点是直线上的一个动点，在轴上方的平面内有另一点，且以为顶点的四边形是菱形，请求出点的坐标作业7如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），且经过点（5，2），点B与点A关于对称轴对称，过点B作BCx轴，垂足为C，连结OB（1）求二次函数的解析式，并求出点B的坐标（2）把AOB以每秒1个单位的速度向右平移，得到PDE，PE交OB于点F，PD交BC于点M，设向右平移运动的时间为t（s）设平移过程中与OBC重叠部分的面积为S，试探求S 与t的函数关系式，并求当t为何值时，S最大？（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使OCE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由13