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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 二次函数（一）知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数（1）知识精讲一 二次函数的概念1二次函数的定义：一般地，形如 （为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 2二次函数的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2；（2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项3二次函数图像与性质的图象与性质的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大
2、而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值的图象与性质的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值的图象与性质的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值二二次函数解析式与图像变换1二次函数的表达式（1）一般式：（2）顶点式：（3） 两根式（交点式）：（）2二次函数图象的平移（1）函数的图象可以看做是由函数的图象向上或向下平移个单位得到的；时，向上平移；时，向下平移（2）函数的图象可以看
3、做是由函数的图象向左或向右平移个单位得到的；时，向右平移；时，向左平移（3）函数的图象可以看做是由函数的图象先向左或向右平移个单位，再向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移（4）将二次函数，向左平移个单位，函数解析式变为；向右平移个单位，函数解析式变为（即：左加右减）（5）将二次函数，向上平移个单位，函数解析式变为；向下平移个单位，函数解析式变为（即：上加下减）通常，将平移前的函数利用配方法化成的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即不变3二次函数图象的轴对称变换（1）关
4、于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.（2）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.4二次函数图象的中心对称变换（1）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；（2）关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是（3）关于点对称关于点对称后，得到的解析式是三二次函数与一元二次方程的综合1. 抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交
5、点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.2. 平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.3. 抛物线与轴两交点之间的距离若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故方法点拨求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；1求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式2根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合3二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可
6、由对称性求出另一个交点坐标三点剖析一考点：二次函数的图像和性质，二次函数的解析式和图像变换，二次函数的代数综合，二次函数与三角形二重难点：1几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反2根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式三易错点：1确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次
7、项-二次项的系数是否为零即可；2注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程；3一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看题模精讲题模一：二次函数的图像和性质例1.1.1若是二次函数，则的值是_例1.1.2若点A（5，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_（用“”连接）例1.1.3如图为二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法：a0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3时，y0其中正确的个数为（ ）A1B2C3D4题模二：二次函数的解析式和图像变换例1.2.1将抛物线y=3x2向左
8、平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）Ay=3（x-2）2-1By=3（x-2）2+1Cy=3（x+2）2-1Dy=3（x+2）2+1例1.2.2已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x轴交于A、B两点（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（-2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出PAB的面积；如果不在，试说明理由例1.2.3将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）ABCD例1.2.4已知抛物线经过点和点，且顶点到轴的距离为，求抛物线的解析式题模三：二次函数的代数综合例1.3.1已知抛物线与x轴有两个不同的交点（1）求
9、k的取值范围；（2）若k为正整数，且该抛物线与x轴的交点都是整数点，求k的值（3）如果反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为，且满足，请直接写出m的取值范围例1.3.2已知：二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中ab0且a、b为实数（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1-x2|的范围例1.3.3已知，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过原点，顶点为A（h，k）（h0）（1）当h=1，k=2时，求抛物线
10、的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2x上，且2h1时，求a的取值范围例1.3.4如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，直线y=x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交直线CD于点E设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由随堂练习随练1.1将抛物线y=2（x1）21，先向上平移2个
11、单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A（2，1）B（1，2）C（1，1）D（1，1）随练1.2已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：abc0，ab+c0，2a=b，4a+2b+c0，若点（2，y1）和（，y2）在该图象上，则y1y2其中正确的结论是_填入正确结论的序号）随练1.3如果抛物线经过点，和，则的值为（ ）ABCD随练1.4将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）Ay=（x2）23By=（x2）2+3Cy=（x+2）23Dy=（x+2）2+3随练1.5将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）ABCD随练
12、1.6已知二次函数y=x2+2x+m（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标随练1.7已知关于的方程（1）求证：不论为任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P（，）与点Q（，）在（2）中抛物线上，（点P、Q不重合），且，求代数式的值随练1.8如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的
13、另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值随练1.9如图，抛物线y=x23x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标随练1.10已知：直线y=ax+b过抛物线y=-x2-2x+3的顶点P，如图所示（1）顶点P的坐标是_；（2）若直线y=ax+b经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称
14、，求直线y=mx+n与抛物线y=-x2-2x+3的交点坐标随练1.11如图，已知二次函数的图象经过点A点B（1）求二次函数的表达式；（2）若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，落在两个相邻的正整数之间，请你直接写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数（的图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，且，试求实数k的取值范围自我总结 课后作业作业1若是二次函数，则的值是（ ）ABCD作业2把抛物线y=x2-1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）Ay=(x+1)2-3By=(x-1)2-3Cy=(x+1)2+1Dy=(x-1)2+1作业3（1）若二次函数有
15、最大值，则_（2）若二次函数有最小值，则_作业4把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x22x+3，则b的值为（ ）A2B4C6D8作业5已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式作业6如图，直线y=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B（1）求该抛物线的解析式；（2）若点C（m，-）在抛物线上，求m的值作业7已知关于的方程有两个实数根，且为非负整数（1）求的值；（2）将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，若抛物线过点和点，求抛物线的表达
16、式；（3）将抛物线绕点()旋转得到抛物线，若抛物线与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求的取值范围作业8在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）AA选项BB选项CC选项DD选项作业9已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值作业10已知二次函数的图象与x轴交于点和，且（1）求x2的值；（2）求代数式的值作业11如图，已知抛物线经过点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称
17、轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度作业12设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn，我们就称此函数是闭区间m，n上的“闭函数”（1）反比例函数y=是闭区间1，2013上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k0）是闭区间m，n上的“闭函数”，求此函数的解析
18、式；（3）若二次函数y=x2-x-是闭区间a，b上的“闭函数”，求实数a，b的值作业13如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上（1）直接写出ABE、CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；（2）过F点作FGx轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PNBC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMNM、PM=MN、PMMN成立的x的取值范围13